Как доказать что число является полным квадратом

Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

То есть они являются результатом умножения числа на само себя.

Что такое точные квадратные числа?

Определение полного квадратного числа можно понимать как положительное натуральное целое число, квадратный корень которого также является натуральным положительным целым числом.

Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Таблица умножения и вывески полных квадратных чисел до 15

Любой квадрат, стороны которого являются целыми числами, будет идеальным квадратом.

Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Примеры квадратов: 1 2 = 1 и 4 2 = 16

Как вычислить, является ли число полным квадратом?

Исходя из факторизации числа, если оно имеет точный квадратный корень и является результатом квадрата других чисел, мы можем сказать, что это полный квадрат.

Пример:

Чтобы ответить на вопрос, необходимо разложить 2704 на множитель, то есть вычислить

Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Следовательно, имеем: 2704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13 × 13 = 2 4 × 13 2.

√2704 = √ (2 2 × 2 2 × 13 2) = 2 × 2 × 13 = 52

Правила идеального квадрата

Другие отношения

Квадрат числа равен произведению его соседей плюс один. Например: квадрат семи (7 2 ) равен произведению смежных чисел (6 и 8) плюс один. 7 2 = 6 × 8 + 1 = 48 + 1 = 49. х 2 = (х-1). (х + 1) + 1.

Совершенные квадраты являются результатом математической последовательности между предыдущим точным квадратом и арифметической прогрессией.

Источник

Применение свойств квадрата целого числа в решении задач на делимость

Разделы: Математика

Цель: формирование знаний, умений и навыков при решении в целых числах уравнений, содержащих квадрат целого числа; создание условий для преодоления у выпускников трудностей при решении заданий ( Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом) ЕГЭ по математике.

Задачи:

Тип занятия: урок изучения нового материала.

Ход урока

I. Постановка цели

В 2009-2010 учебном году на ЕГЭ по математике задания Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомв основном состояли из задач на делимость. Большинство выпускников 11-х классов даже не приступали к этим задачам, увидев в них нагромождение различных символов, функций и значков. Для решения таких задач необходимо знать некоторые свойства делимости целых чисел и овладеть приёмами применения этих свойств. Сегодня на занятии мы решим ряд задач на делимость, в которых используются простейшие свойства точного квадрата числа.

II. Актуализация опорных знаний

При решении задач нам пригодятся признаки делимости чисел, с которыми вы познакомились ещё в 6-ом и последующих классах, а также определение числа Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Напомните, пожалуйста, признаки делимости:

И ещё вопрос: что такое Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратоми как найти значения 1!, 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, … Посмотрите, как изменяется последняя цифра числа Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

n! = 1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом3Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом4Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом5Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом6Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомКак доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомn – произведение первых n натуральных чисел.
1! = 1
2! = 1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2 = 2
3! = 1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом3 = 6
4! = 1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом3Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом4 = 24
5! = 1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом3Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом4Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом5 = 120
6! =1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом3Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом4Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом5Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом6 = 720 и т.д.

При n≥5 число n! всегда оканчивается нулём.

III. Ознакомление с новым материалом

Рассмотрим таблицу квадратов натуральных чисел. Все свойства точного квадрата числа спрятаны в этой таблице. Нам только надо проявить наблюдательность при анализе данных в таблице.

к1234567891011121314
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом149162536496481100121144169196

Обратите внимание на последние цифры квадратов чисел. Что вы заметили?

На какие натуральные числа может делиться точный квадрат числа?

Свойства квадрата целого числа

Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8, а также нечётным количеством нулей.
Первое свойство очевидное и доказательства не требует.

Квадрат натурального числа либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если а – число чётное, то есть а = 2к, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом= 4 Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– делится на 4.
Если а – число нечётное, то есть а = 2к + 1, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом= ( Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом= 4 Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом+ 4к + 1 = 4к (к+1) + 1 – при делении на 8 даёт остаток 1.

Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если число а кратно 3, значит а = 3к, тогда Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом= ( Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом= 9Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом— делится на 9.
Если же число а не кратно 3, то оно имеет вид а = 3к ± 1, тогда Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом= (Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом= 9 Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом± 6к + 1 = 3к (3к±2) + 1 – при делении на 3 даёт остаток 1.

Вот мы и сформулировали свойства точного квадрата числа. Теперь вашему вниманию я предлагаю ряд задач, в решении которых используются вышеперечисленные свойства.

1. Найти все натуральные n, при которых число Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом является точным квадратом.

Решение:

Если n=1, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– не является точным квадратом.
Если n=2, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– не является точным квадратом.
Если n=3, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– не является точным квадратом.
Если n=4, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, значит, при n=4 число Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомявляется точным квадратом числа.
Если Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомоканчивается 0, тогда Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомоканчивается 7, но по свойству (1) квадрат целого числа не может оканчиваться цифрой 7. Значит, других натуральных чисел n, удовлетворяющих данному условию, не существует.

Ответ: при n=4.

Эта задача могла быть сформулирована иначе:

Решить в целых числах уравнение Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.

Способ решения тот же. Только надо помнить, что по определению Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Ответ: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.

2. Решить в целых числах уравнение: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.

Решение:

Так как Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– произведение первых Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомнатуральных чисел, значит, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, а целым может быть только k.
Если n=1, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=2, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=3, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=4, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Но по свойству (1) квадрат целого числа не может оканчиваться ни 3, ни 8, значит, других целых решений уравнение не имеет.

Ответ: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.

3. Решить в целых числах уравнение: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.

Решение:

В решении этого уравнения надо использовать тот же приём, что и в предыдущих. Его легко решить устно.

Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Но тогда Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомоканчивается 8 или 3, а это противоречит свойству (1). Значит, при Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомуравнение не имеет решений в целых числах. Поэтому решения уравнения следует искать для Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=1, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=2, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.
Если n=3, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.
Если n=4, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.
Как видим, ни при каком Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомчисло Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомне является точным квадратом.

Ответ: уравнение не имеет целых решений.

4. Решить уравнение в целых числах: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.

Решение:

Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, и опираемся на свойство(1) квадрата целого числа.

Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Значит, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомоканчивается 7, но тогда и Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомоканчивается 7.
Но квадрат целого числа не может оканчиваться 7, значит, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомцелых решений нет.
Значит, решения уравнения следует искать при Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом= 1, 2, 3, 4.
Если n=1, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=2, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=3, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=4, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Ответ: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.

5. Решить в натуральных числах уравнение Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.

Решение:

В этом уравнении Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомдолжны быть натуральными числами, а в остальном – решение аналогично предыдущим.

Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Но квадрат целого числа не может оканчиваться 3, значит, при Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомнатуральных решений уравнение не имеет. Остаётся проверить наличие решений при Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=1, 2, 3, 4.
Если n=1, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=2, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=3, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=4, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Ответ: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

6. Решить уравнение в целых числах: 1!+2!+3!+…+ Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Решение:

Если Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=1, то 1! =Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, тогда Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=2, то 1!+2! = Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– число не целое.
Если Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=3, то 1!+2!+3! = Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=4, то 1!+2!+3!+4! = Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– число не целое.
Если Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, то 1!+2!+3!+4!+…+х! оканчивается цифрой 3, но квадрат целого числа не может оканчиваться 3.
Значит, при Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Ответ: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=1, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2)Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=3, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

7. Доказать, что уравнение Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом не имеет решений в целых числах.

Доказательство:

Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомесли Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомделится на 5, а это возможно, если Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомоканчивается 0 или 5, тогда
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Но квадрат целого числа не может оканчиваться ни цифрой 3, ни цифрой 8.

Значит, уравнение не имеет целых решений. Что и требовалось доказать.

8. Решить в целых числах уравнение Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.

Решение:

Если n=1, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=2, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=3, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если n=4, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомуравнение целых решений не имеет, так как при чётном Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом3Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом4Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомКак доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом(Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом3Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом4Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомКак доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом( Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=
=1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом3Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом4Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомКак доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом( Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
При нечётном Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом3Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом4Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомКак доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом(Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом3Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом4Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомКак доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом( Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом3Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом4Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомКак доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом( Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– не делится на 4, а при делении на 8 даёт остаток 3, а не 1.

Ответ: 1) Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

9. Решить уравнение в целых числах: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.

Решение:

Если Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=1, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Если Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=4, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
При Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом(1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом4Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом5Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомКак доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом+1) = Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– левая часть уравнения делится на 3, значит, число Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомдолжно делиться на 9.
Но Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом1Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом4Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом5Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомКак доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом+1 на 3 не делится, поэтому левая часть уравнения не кратна 9 Значит, при Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомуравнение не имеет целых решений.

Ответ: 1) Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=1, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом=4, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

10. Решить в целых числах уравнение: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Решение:

Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
1) Если m – число чётное, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– числа нечётные и их произведение
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– тоже число нечётное, но правая часть уравнения Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– чётное число. Значит, при чётном m уравнение не имеет решений.
2) Если m – число нечётное, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– числа чётные, причем, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– два последовательных чётных числа, одно из которых кратно 2, а другое – 4. Тогда Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, значит, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, но квадрат целого числа делится на 4 или при делении на 8 даёт остаток 1. А Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомлишь в единственном случае, если n=0. При n=0 уравнение примет вид:
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Ответ: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.

11. Решить в целых числах уравнение: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Решение:

Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
1) Если n – число четное, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– числа нечётные, значит, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– тоже нечетное число, а это возможно лишь тогда, когда Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, т.е. Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом. При всех других чётных Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомуравнение целых решений не имеет.
2) Если n – число нечётное, то – два последовательных чётных числа, одно из которых кратно 2, а другое – 4. Тогда их произведение Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом. Значит, и левая часть уравнения
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, но Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– число нечётное, значит, только
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом. Это возможно, если Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом. При Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомКак доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.
При Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомКак доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом,
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.
Если же Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, то Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомКак доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, а правая часть уравнения Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, значит, других решений уравнение не имеет.

Ответ: 1) Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом2) Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

12. Решить в целых числах уравнение: Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Решение:

Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– имеет решение, если:
1) Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом= 0, тогда Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом— число нечётное, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом. Тогда, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом,
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.
(Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом) – нечётное число при Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом. Значит, Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомтоже должно быть нечётным, а это возможно, если Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом. Тогда при Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомисходное уравнение примет вид Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.

Ответ: 1) Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом; 2) Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

13. Доказать, что число, оканчивающееся двумя одинаковыми цифрами, отличными от 0 и 4, не может быть точным квадратом. Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом

Доказательство:

Так как квадрат любого числа может оканчиваться цифрами: 0; 1; 4; 5; 6; 9, то кроме 0 и 4 последними цифрами могут быть: 11; 55; 66; 99.
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом— число чётное, тогда Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом
Значит, не существует таких чисел Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом, что Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомоканчивается 55, 66, 11 или 99.

Что и требовалось доказать.

14. Доказать, что тысячезначное число, все цифры которого пятёрки, за исключением, быть может, одной, не является точным квадратом.

Доказательство:

а) Если число оканчивается 5, то предпоследняя цифра может быть только 2, тогда 55….525 – число нечётное, оно не кратно 4, значит, при делении на 8 должно дать в остатке 1, но Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом. Значит, число не может быть точным квадратом.
б) Если последняя цифра не 5, то это может быть 0; 1; 4; 6; 9, тогда
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– не может быть, т.к. Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомоканчиваться чётным числом нулей.
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– не может быть, т.к. Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом.
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– чётно, но не кратно 4, т.к. 54 не делится на 4.
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– нечётное, но при делении на 8 даёт остаток 7, а не 1.
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратом– чётно и делится нацело на 4, но не всякое чётное число, кратное 4, является точным квадратом. Проверим, выполняется ли свойство (3) квадрата целого числа.
Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомсумма цифр Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть фото Как доказать что число является полным квадратом. Смотреть картинку Как доказать что число является полным квадратом. Картинка про Как доказать что число является полным квадратом. Фото Как доказать что число является полным квадратомне делится на 9, а при делении на 3 в остатке 0.

Таким образом, ни одно из перечисленных чисел не может быть точным квадратом. Что и требовалось доказать.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *