Как доказать что функция дифференцируема

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ.

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x0, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемасуществует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x0, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Если Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема, то Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема,

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0. Но тогда

Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемаРассмотрим на рисунке точки а, b, c.

В точке a при Δx→0 отношение Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемане имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δx→0–0 и Δx→0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к1 и к2. Такой тип точек называют угловыми точками. В точке b при Δx→0 отношение Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемаявляется знакопостоянной бесконечно большой величиной Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема. Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – «точка перегиба» c вертикальной касательной.

В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиеся вертикальные касательные. Тип – «точка возврата» с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемаПример.

Покажем, что она не имеет производной в этой точке.

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

Т.о., отношение Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемапри Δx→ 0 справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x| в точке x= 0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x= 0 данная «кривая» не имеет определенной касательной (в этой точке их две).

Источник

Дифференцируемые функции в точке – определение и свойства

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

Определение дифференцируемой функции

Как мы увидим ниже, определение дифференцируемой функции одной переменной эквивалентно существованию ее производной. Тогда возникает вопрос – почему нельзя сразу дать определение, что дифференцируемая функция – это функция, имеющая производную?

Ответ на этот вопрос раскрывается при рассмотрении функций нескольких переменных. Дело в том, что производные вычисляются только от функций, зависящих от одной переменной. Для функций двух и более переменных, вначале выбирают направление приближения к заданной точке (например, ось x или ось y ), а затем по этому направлению вычисляют производную. Поэтому в любой точке имеется бесконечное множество производных по различным направлением. Из-за этого производные не фигурируют в определении дифференцируемой функции.

Свойства дифференцируемой функции

Таким образом, в случае функции от одной переменной, дифференцируемость функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке. Забегая вперед укажем, что в случае функций многих переменных, для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.

Доказательства теорем

Связь дифференцируемости функции с существованием производной

В нашем случае это означает, что
.
Отсюда
.

Связь дифференцируемости функции с ее непрерывностью

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник

4.02. Дифференцируемость функции в точке и на промежутке

Производная функции, согласно ее математического определения (1.5) и (1.6) – это некий предел. Но, как и всякий предел, он может оказаться:

А) конечным; б) бесконечным; в) вообще не существовать.

Если для данного X имеет место вариант (а), то есть если при заданном X производная Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемафункции Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемаСуществует и конечна, то эта функция называется Дифференцируемой в точке x.

Функция, дифференцируемая в Каждой точке X некоторого промежутка оси Ох (например, интервала (A; B) или отрезка [A; B]) называется Дифференцируемой на этом промежутке. Кстати, сама процедура вычисления производной функции называется ее Дифференцированием (продифференцировать функцию – это значит найти ее производную).

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемаИз геометрического смысла производной функции, определяемого равенством (1.11) и рис. 4.5, вытекают следующие два наглядные необходимые и достаточные условия дифференцируемости заданной функции Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемав заданной точке X:

1) Существование касательной к графику функции в его точке с абсциссой X.

2) Невертикальность этой касательной (ибо Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемане существует).

Например, функция Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема, график которой изображен на рис. 4.7, не дифференцируема в точках X1, X2 и X3.

Действительно, точке X1 соответствует на графике функции точка M1 с вертикальной касательной. Точке X2 (точке максимума функции) соответствует остроконечная вершина M2, касательная в которой не существует. Точке X3 соответствует точка M3 – точка излома графика функции, в которой тоже касательная не существует.

Во всех же остальных точках M графика функции касательную к графику провести можно, и она невертикальна. Значит, для всех остальных X, отличных от (X1; X2; X3), существует производная функции. То есть во всех остальных точках X функция Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемадифференцируема.

Источник

Как доказать что функция дифференцируема

3.2.3. дЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНПУФШ ЖХОЛГЙК. оЕРТЕТЩЧОПУФШ ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНПК ЖХОЛГЙЙ

еУМЙ ЖХОЛГЙС ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНБ Ч ЛБЦДПК ФПЮЛЕ ОЕЛПФПТПЗП ПФТЕЪЛБ [ Б ; b ] ЙМЙ ЙОФЕТЧБМБ ( Б ; b ), ФП ЗПЧПТСФ, ЮФП ПОБ ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНБ ОБ ПФТЕЪЛЕ [ Б ; b ] ЙМЙ УППФЧЕФУФЧЕООП Ч ЙОФЕТЧБМЕ ( Б ; b ).

уРТБЧЕДМЙЧБ УМЕДХАЭБС ФЕПТЕНБ, ХУФБОБЧМЙЧБАЭБС УЧСЪШ НЕЦДХ ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНЩНЙ Й ОЕРТЕТЩЧОЩНЙ ЖХОЛГЙСНЙ.

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

фБЛЙН ПВТБЪПН, ЙЪ ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНПУФЙ ЖХОЛГЙЙ УМЕДХЕФ ЕЕ ОЕРТЕТЩЧОПУФШ.

еУМЙ Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема, ФП Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

ЗДЕ Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемаВЕУЛПОЕЮОП НБМБС ЧЕМЙЮЙОБ, Ф.Е. ЧЕМЙЮЙОБ, УФТЕНСЭБСУС Л ОХМА РТЙ Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема. оП ФПЗДБ

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

фБЛЙН ПВТБЪПН, Ч ФПЮЛБИ ТБЪТЩЧБ ЖХОЛГЙС ОЕ НПЦЕФ ЙНЕФШ РТПЙЪЧПДОПК. пВТБФОПЕ ХФЧЕТЦДЕОЙЕ ОЕЧЕТОП: УХЭЕУФЧХАФ ОЕРТЕТЩЧОЩЕ ЖХОЛГЙЙ, ЛПФПТЩЕ Ч ОЕЛПФПТЩИ ФПЮЛБИ ОЕ СЧМСАФУС ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНЩНЙ (Ф.Е. ОЕ ЙНЕАФ Ч ЬФЙИ ФПЮЛБИ РТПЙЪЧПДОПК).

тБУУНПФТЙН ОБ ТЙУХОЛЕ ФПЮЛЙ Б, b, c.

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

ч ФПЮЛЕ b РТЙ Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемаПФОПЫЕОЙЕ Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемаСЧМСЕФУС ЪОБЛПРПУФПСООПК ВЕУЛПОЕЮОП ВПМШЫПК ЧЕМЙЮЙОПК Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема.

жХОЛГЙС ЙНЕЕФ ВЕУЛПОЕЮОХА РТПЙЪЧПДОХА. ч ЬФПК ФПЮЛЕ ЗТБЖЙЛ ЙНЕЕФ ЧЕТФЙЛБМШОХА ЛБУБФЕМШОХА. фЙР ФПЮЛЙ – «ФПЮЛБ РЕТЕЗЙВБ» c ЧЕТФЙЛБМШОПК ЛБУБФЕМШОПК.

ч ФПЮЛЕ c ПДОПУФПТПООЙЕ РТПЙЪЧПДОЩЕ СЧМСАФУС ВЕУЛПОЕЮОП ВПМШЫЙНЙ ЧЕМЙЮЙОБНЙ ТБЪОЩИ ЪОБЛПЧ. ч ЬФПК ФПЮЛЕ ЗТБЖЙЛ ЙНЕЕФ ДЧЕ УМЙЧЫЙЕУС ЧЕТФЙЛБМШОЩЕ ЛБУБФЕМШОЩЕ. фЙР – «ФПЮЛБ ЧПЪЧТБФБ» У ЧЕТФЙЛБМШОПК ЛБУБФЕМШОПК – ЮБУФОЩК УМХЮБК ХЗМПЧПК ФПЮЛЙ.

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

тБУУНПФТЙН ЖХОЛГЙА y=|x|.

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

ьФБ ЖХОЛГЙС ОЕРТЕТЩЧОБ Ч ФПЮЛЕ x = 0, Ф.Л. Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема.

рПЛБЦЕН, ЮФП ПОБ ОЕ ЙНЕЕФ РТПЙЪЧПДОПК Ч ЬФПК ФПЮЛЕ.

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

оП ФПЗДБ РТЙ Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

б РТЙ Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема> 0

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируема

ф.П., ПФОПЫЕОЙЕ Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемаРТЙ Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемаУРТБЧБ Й УМЕЧБ ЙНЕЕФ ТБЪМЙЮОЩЕ РТЕДЕМЩ, Б ЬФП ЪОБЮЙФ, ЮФП ПФОПЫЕОЙЕ РТЕДЕМБ ОЕ ЙНЕЕФ, Ф.Е. РТПЙЪЧПДОБС ЖХОЛГЙЙ y=|x| Ч ФПЮЛЕ x = 0 ОЕ УХЭЕУФЧХЕФ. зЕПНЕФТЙЮЕУЛЙ ЬФП ЪОБЮЙФ, ЮФП Ч ФПЮЛЕ x = 0 ДБООБС «ЛТЙЧБС» ОЕ ЙНЕЕФ ПРТЕДЕМЕООПК ЛБУБФЕМШОПК (Ч ЬФПК ФПЮЛЕ ЙИ ДЧЕ).

Источник

Дифференцируемость функции многих переменных

Частные производные.

Пусть функция
$$
f(x) = f(x_<1>, \ldots, x_)\nonumber
$$
определена в окрестности точки \(x^ <0>= (x_<1>^<0>, \ldots, x_^<0>)\). Рассмотрим функцию одной переменной
$$
\varphi (x_<1>) = f(x_<1>,x_<2>^<0>, \ldots, x_^<0>)\nonumber
$$
Функция \(\varphi (x_<1>)\) может иметь производную в точке \(x_<1>^<0>\). По определению такая производная называется частной производной \(\frac<\partial f><\partial x_<1>>(x^<0>)\).

Аналогично определяются частные производные (первого порядка)
$$
\frac<\partial f><\partial x_>(x_<1>^<0>, \ldots, x_^<0>), i = \overline<2, n>.\nonumber
$$

Функция двух переменных может иметь в точке \(x^<0>, y^<0>\) две частные производные первого порядка
$$
\frac<\partial f><\partial x>(x^<0>, y^<0>),\quad \frac<\partial f><\partial y>(x^<0>, y^<0>).\nonumber
$$

Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных производных такая же, как техника вычисления производных функции одной переменной.

Дифференцируемость функции многих переменных в точке.

Дадим определение дифференцируемости функции в точке.

Функция \(f(x) = f(x_<1>, \ldots, x_)\) называется дифференцируемой в точке \(x^ <0>= (x_<1>^<0>, \ldots, x_^<0>)\), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа \(A_<1>, \ldots, A_\), что
$$
f(x) — f(x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>A_(x_ — x_^<0>) + o(\rho(x, x^<0>)),\quad при \ x \rightarrow x^<0>.\label
$$

Функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\) в том и только том случае, когда в некоторой окрестности точки \(x^<0>\) функция \(f(x)\) может быть представлена в следующем виде:
$$
f(x) = f(x^<0>) + \sum_^f_(x)(x_ — x_^<0>)\label
$$
где функции \(f_(x)\) непрерывны в точке \(x^<0>\).

\(\circ\) Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Тогда выполнено условие (1). Заметим, что равенство \(\psi(x) = o(\rho(x, x^<0>))\) при \(x \longrightarrow x^<0>\) означает, что \(\psi(x) = \varepsilon(x)\rho(x, x^<0>)\), где \(\displaystyle\lim_<\substack>>\varepsilon(x) = 0\).

Доопределим функции \(\varepsilon_(x)\) в точке \(x^<0>\) по непрерывности, полагая \(\displaystyle\lim_<\substack>>\varepsilon_(x) = \varepsilon_(x^<0>) = 0\).

Показать, что функция
$$
f(x, y) = \sqrt [3] + y^<4>>\nonumber
$$
дифференцируема в точке \((0,0)\).

\(\vartriangle\) Покажем, что существует число \(C > 0\) такое, что для любых \(x \in \boldsymbol \) и \(y \in \boldsymbol \) справедливо неравенство
$$
|\sqrt [3] + y^<4>> — x| \leq C |y|^<4>\label
$$

Если \(y = 0\), то неравенство \eqref справедливо при любом \(C\). Пусть \(y \neq 0\). Положим \(t = xy^<-4/3>\). Тогда неравенство \eqref эквивалентно неравенству \(\vert \psi(t) \vert Пример 2.

Показать, что функция
$$
f(x, y) = \sqrt [3] + y^<3>>\nonumber
$$
недифференцируема в точке (0,0).

\(\triangle\) Первый способ. Пусть функция дифференцируема в точке \((0,0)\), тогда, согласно определению, существуют числа \(A\) и \(B\) такие, что
$$
f(x, y) — f(0, 0) = Ax + By + o(\rho),\quad \rho = \sqrt + y^<2>>,\nonumber
$$
где \(f(x, y) = \sqrt [3] + y^<3>>, \ f(0, 0) = 0, \ A =\displaystyle \frac<\partial f(0, 0)> <\partial x>= 1, \ B = \frac<\partial f(0, 0)> <\partial y>= 1\).

Пусть \(x = y > 0\), тогда
$$
\sqrt [3] <2>x = 2x + o(x)\nonumber
$$
или \((\sqrt [3] <2>— 2) x = o(x)\) при \(x \rightarrow 0\), что противоречит определению символа \(o(x)\). Следовательно, функция \(\sqrt [3] + y^<3>>\), недифференцируема в точке \((0, 0)\).

Второй способ. Если функция \(f(x, y)\) дифференцируема в точке \((0,0)\), то ее можно в некоторой окрестности этой точки, согласно теореме 1, представить в следующем виде:
$$
\sqrt [3] + y^<3>> = x \varphi (x, y) + y \psi (x, y),\label
$$
где функции \(\varphi (x, y)\) и \(\psi (x, y)\) непрерывны в точке \((0,0)\).

Пусть \(k\) — произвольное число. Положим в \eqref \(y = kx\). Тогда
$$
\sqrt[3]<1 + k^<3>>=\varphi(x,kx)+k\psi(x,kx).\nonumber
$$
Переходя к пределу при \(x \rightarrow 0\) и пользуясь непрерывностью функций \(\varphi (x, y)\) и \(\psi (x, y)\) в точке \((0,0)\), получаем, что при любом \(k\) выполняется равенство
$$
\sqrt [3] <1 + k^<3>> = \varphi (0, 0) + k \psi (0, 0) = a + kb.\nonumber
$$
Это неверно, так как функция \(\sqrt [3] <1 + k^<3>>\) не есть линейная функция (ее вторая производная по \(k\) не обращается тождественно в нуль). \(\blacktriangle\)

Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.

Если функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^ <0>\in R^\), то она имеет в точке \(x^<0>\) все частные производные \(\displaystyle\frac<\partial f><\partial x_>(x^<0>),\ i = \overline<1, n>\), и
$$
f(x) — f(x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f><\partial x_>(x^<0>)(x_ — x_^<0>) + o(\rho(x, x^<0>))\quad при\ x \rightarrow x^<0>.\label
$$

\(\circ\) Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Тогда найдутся такие числа \(A_<1>, \ldots, A_\), что при \(x \rightarrow x^<0>\) будет выполнено равенство \eqref. Пусть в этом равенстве \(x_ <1>\neq x_<1>^<0>\), а \(x_ <2>= x_<2>^<0>, \ldots, x_ = x_^<0>\). Тогда равенство \eqref принимает следующий вид:
$$
f(x_<1>, x_<2>^<0>, \ldots, x_^<0>) — f(x_<1>^<0>, \ldots, x_^<0>) = A_ <1>(x_ <1>— x_<1>^<0>) + o (|\Delta x_<1>|)\nonumber
$$
при \(x_ <1>— x_<1>^ <0>= \Delta x_ <1>\longrightarrow 0\).

Аналогично доказывается, что у функции \(f(x)\) в точке \(x^<0>\) существуют и остальные частные производные и что
$$
A_ = \frac<\partial f><\partial x_>(x^<0>),\ i = \overline<2, n>.\nonumber
$$

Подставляя эти выражения в равенство \eqref, получаем \eqref. \(\bullet\)

Так как функция \(f(x, y) = \sqrt [3] + y^<3>>\) примера 2 недифференцируема в точке \((0,0)\), то этот пример показывает, что из существования частных производных в точке не следует дифференцируемость функции в этой точке. Существование частных производных функции в точке не гарантирует даже непрерывности функции в этой точке. Так, функция
$$
f(x, y) = \begin
\displaystyle\frac<2xy> + y^<2>> & \text <при \(x^<2>+ y^ <2>> 0\)>\\
0 & \text<при \(x = y = 0\)>
\end\nonumber
$$
не имеет предела при \(x, y) \rightarrow (0, 0)\), а поэтому и не является непрерывной в точке \((0,0)\). Тем не менее у этой функции в точке \((0,0)\) существуют обе частные производные:
$$
\frac<\partial f><\partial x>(0,0) = \lim_<\substack>\frac = 0,\quad \frac<\partial f><\partial y>(0,0) = 0.\nonumber
$$

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Если все частные производные \(\frac<\partial f><\partial x_>(x),\ i = \overline<1, n>\), определены в окрестности точки \(x^ <0>\in R^\) и непрерывны в точке \(x^<0>\), то функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\).

\(\circ\) Рассмотрим случай функции трех переменных. Общий случай рассматривается аналогично. Пусть функции \(\displaystyle \frac<\partial f><\partial x>(x, y, z),\ \frac<\partial f><\partial y>(x, y, z),\ \frac<\partial f><\partial z>(x, y, z)\), определены в некотором шаре \(S_<\varepsilon>(x^<0>, y^<0>, z^<0>)\) и непрерывны в центре шара \((x^<0>, y^<0>, z^<0>)\).

Запишем приращение функции в следующем виде:
$$
f(x, y, z) — f(x^<0>, y^<0>, z^<0>) = f(x, y, z) — f(x^<0>, y, z) +\\+ f(x^<0>, y, z) — f(x^<0>, y^<0>, z) + f(x^<0>, y^<0>, z) — f(x^<0>, y^<0>, z^<0>).\nonumber
$$

Пусть \(x^ <0>0\)>\\
0, & \text<при \(x = y = 0\)>
\end\nonumber
$$
дифференцируема в точке \((0,0)\), так как
$$
f(x, y) = 0 \cdot x + 0 \cdot y + o(\sqrt + y^<2>>)\nonumber
$$
при \((x, y) \rightarrow (0, 0)\).

Но при \(x^ <2>+ y^ <2>> 0\) частная производная
$$
\frac<\partial f><\partial x>(x, y) = 2x \sin \frac<1> <\sqrt+ y^<2>>> — \frac <\sqrt+ y^<2>>> \cos \frac<1> <\sqrt+ y^<2>>>\nonumber
$$
не имеет предела при \((x, y) \rightarrow (0, 0)\) и, следовательно, не является непрерывной функцией в точке \((0,0)\). Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что \(\displaystyle\frac<\partial f (x, 0)><\partial x>\) не имеет предела при \(x \rightarrow 0\).

Дифференцируемость сложной функции.

Пусть функции \(\varphi_ <1>(x), \ldots, \varphi_ (x)\) дифференцируемы в точке \(x^ <0>= (x_<1>^<0>, \ldots, x_^<0>) \in R^,\ y^ <0>= (\varphi_ <1>(x^<0>), \ldots, \varphi_ (x^<0>)) \in R^\) и функция \(f(y) = f(y_<1>, \ldots, y_)\) дифференцируема в точке \(y^<0>\).

\(\circ\) Так как функция \(f(y)\) дифференцируема в точке \(y^<0>\), то в силу теоремы 1 найдутся функции \(f_(y),\ y = \overline<1, m>\), непрерывные в точке \(y^ <0>= (y_<1>^<0>, \ldots, y_^<0>)\) и такие, что
$$
f(y) — f(y^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>f_(y)(y_ — y_^<0>),\quad f_(y^<0>) = \frac<\partial f><\partial y_>(y^<0>).\label
$$

Воспользовавшись тем, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке, а также теоремой о непрерывности сложной функции, получаем, что функции
$$
\psi_ (x) = f_(\varphi_ <1>(x), \ldots, \varphi_ (x)),\quad j = \overline<1, m>,\label
$$
непрерывны в точке \(x^<0>\), причем
$$
\psi_ (x^<0>) = f_(\varphi_ <1>(x^<0>), \ldots, \varphi_ (x^<0>)) = f_(y^<0>) = \frac<\partial f><\partial y_>(y^<0>).\label
$$

Подставив в \eqref \(y_ <1>= \varphi_ <1>(x), \ldots, y_ = \varphi_ (x)\) и воспользовавшись обозначениями \eqref, получаем
$$
\Phi (x) — \Phi (x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>\psi_(x)(\varphi_ (x^<0>) — \varphi_ (x^<0>)).\label
$$

Но функции \(\varphi_ (x^<0>),\ j = \overline<1, m>\), дифференцируемы в точке \(x^<0>\), поэтому найдутся такие непрерывные в точке \(x^<0>\) функции \(\varphi_(x)\), что
$$
\begin
\displaystyle \varphi_ (x) — \varphi_ (x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>\varphi_(x)(x_ — x_^<0>),\quad \varphi_(x^<0>)=\frac<\partial \varphi_><\partial x_>(x^<0>),\\ i = \overline<1, n>,\quad j = \overline<1, m>.
\end\label
$$

Так как функции \(\psi_(x)\) и \(\varphi_(x)\) непрерывны в точке \(x^<0>\), то и функции \(\Phi_(x)\) непрерывны в точке \(x^<0>\). А это означает, что сложная функция \(\Phi(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\) (теорема 1).

Вторая из формул \eqref дает правило нахождения частных производных сложной функции, аналогичное соответствующему правилу для функций одной переменной.

Пусть функция \(f(x, y)\) дифференцируема во всех точках пространства \(R^<2>\). Перейти к полярным координатам и найти выражения для \(\displaystyle\frac<\partial f><\partial r>\) и \(\displaystyle\frac<\partial f><\partial \varphi>\).

Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования.

Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Тогда при \(x \rightarrow x^<0>\) ее можно записать в виде \eqref:
$$
f(x) = f(x^<0>) + \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f(x^<0>)><\partial x_>(x^<0>)(x_ — x_^<0>) + o(\rho(x, x^<0>)).\nonumber
$$

Положим по определению
$$
dx_ = \Delta x_ = x_ — x_^<0>.\nonumber
$$

Если функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\), то линейную форму относительно приращений независимых переменных
$$
df(x^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f><\partial x_>(x^<0>)dx_\label
$$
назовем дифференциалом функции \(f(x)\) в точке \(x^<0>\). Тогда
$$
f(x) = f(x^<0>) + d f(x^<0>) + o(\rho(x, x^<0>)) \ \mbox <при>\ x \rightarrow x^<0>.\nonumber
$$

Иногда выражение \eqref называют первым дифференциалом функции \(f(x)\) в точке \(x^<0>\).

Если бы \(y_<1>, \ldots, y_\) были независимыми переменными, то \(df(y^<0>)\) отличался бы от дифференциала сложной функции \eqref только тем, что в выражении \eqref \(dy_(x^<0>)\) — дифференциалы функций \(\varphi_\), а в
$$
df(y^<0>) = \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f><\partial y_>(y^<0>)dy_\nonumber
$$
\(dy_\) — дифференциалы независимых переменных. Формальная запись дифференциала в обоих случаях одинакова. Говорят, что форма первого дифференциала инвариантна относительно замены переменных.

Инвариантность формы первого дифференциала является весьма удобным его свойством. При записи \(df(y^<0>)\) в виде \eqref мы можем не задумываться о том, являются ли переменные \(y_<1>, \ldots, y_\) независимыми. Заметим, что во многих прикладных задачах часто бывает затруднительно выяснить вопрос о независимости переменных.

Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема во всех точках некоторого открытого множества \(G \subset R^\). Тогда в каждой точке \(x \in G\) можно вычислить дифференциал
$$
df(x) = \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f><\partial x_>(y^<0>)dx_.\nonumber
$$

Он будет функцией \(2n\) переменных \(x_<1>, \ldots, x_\), \(dx_<1>, \ldots, dx_\), причем при фиксированных \(x_<1>, \ldots, x_\) дифференциал есть линейная функция \(dx_<1>, \ldots, dx_\). Правила дифференцирования такие же, как и для функций одной переменной:

Докажем, например, что \(d(uv) = u\ dv + v\ du\).

Найти дифференциал функции \(\displaystyle\operatorname\frac\).

Формула конечных приращений Лагранжа.

Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в выпуклой области \(G \subset R^\). Напомним, что выпуклая область есть открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области. Тогда для любых двух точек \(x = (x_<1>, \ldots, x_) \in G,\ y = (y_<1>, \ldots, y_) \in G\) найдется число \(\theta \in (0, 1)\) такое, что
$$
f(y) — f(x) = \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f><\partial y_>(x + \theta(y — x))(y_ — x_).\label
$$

Формула \eqref называется формулой конечных приращений Лагранжа. Докажем ее.

\(\circ\) Пусть точки \(x, y \in G\). Так как область \(G\) выпукла, то отрезок, соединяющий точки \(x\) и \(y\), лежит в области \(G\). Поэтому определена функция одной переменной
$$
\varphi (t) = f(x_ <1>+ t(y_ <1>— x_<1>), \ldots, x_ + t(y_ — x_)),\ 0 \leq t \leq 1.\label
$$

Очевидно, что \(\varphi (0) = f(x),\ \varphi (1) = f(y)\) и что функция \(\varphi (t)\) дифференцируема на отрезке [0,1]. По правилу нахождения производной сложной функции имеем
$$
\varphi'(t) = \sum_ <\substack>^<\substack>\frac<\partial f><\partial x_>(x_ <1>+ t(y_ <1>— x_<1>), \ldots, x_ + t(y_ — x_))(y_ — x_).\label
$$

Применим к функции \(\varphi (t)\) формулу конечных приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число \(\theta \in (0, 1)\) такое, что \(\varphi (1) — \varphi (0) = \varphi’ (\theta)\). Используя формулы \eqref и \eqref, теперь легко получаем формулу \eqref. \(\bullet\)

Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала.

Пусть функция \(f(x, y)\) дифференцируема на открытом множестве \(G \subset R^<2>\). Рассмотрим ее график
$$
\operatorname f = \<(x, y, z):\ z = f(x, y),\ (x, y) \in G\>.\nonumber
$$

Пусть точка \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) лежит на \(\operatorname f\), то есть \(z_ <0>= f(x_<0>, y_<0>)\), и пусть гладкая кривая
$$
\Gamma = \\nonumber
$$
лежит на графике и проходит через точку \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\). Это означает, что
$$
z(t) = f(x(t), y(t));\ (x(t_<0>),\ y(t_<0>),\ z(t_<0>) = (x_<0>, y_<0>, z_<0>),\ t_ <0>\in (\alpha, \beta).\label
$$

Дифференцируя тождество \eqref в точке \(t_<0>\) и пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, получаем
$$
dz = \frac<\partial f><\partial x>(x_<0>, y_<0>)dx + \frac<\partial f><\partial y>(x_<0>, y_<0>)dy.\label
$$

Вектор \(d \tau = (dx, dy, dz)\) есть касательный вектор к кривой \(\Gamma\) в точке \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\). Введем вектор
$$
\textbf = \left(- \frac<\partial f><\partial x>(x_<0>, y_<0>),\ — \frac<\partial f><\partial y>(x_<0>, y_<0>),\ 1\right).\label
$$

Условие \eqref означает, что вектор \(\textbf\) ортогонален к касательной к кривой \(\Gamma\) в точке \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\). Говорят, что вектор \(\textbf\) ортогонален к кривой \(\Gamma\) в точке \(P\). Но \(\Gamma\) — любая гладкая кривая, лежащая на \(\operatorname f\) и проходящая через точку \(P\). Поэтому вектор \(\textbf\) ортогонален к любой кривой, лежащей на \(\operatorname f\) и проходящей через точку \(P\). Он называется вектором нормали к \(\operatorname f\) в точке \(P\).

Плоскость, проходящая через точку \(P\) и ортогональная вектору нормали \(\textbf\), называется касательной плоскостью к \(\operatorname f\) в точке \(P\). Ее уравнение есть
$$
Z — f(x_<0>, y_<0>) = \frac<\partial f><\partial x>(x_<0>, y_<0>)(X — x_<0>) + \frac<\partial f><\partial y>(x_<0>, y_<0>)(Y — y_<0>).\label
$$

Прямая, проходящая через точку \(P\) и параллельная вектору \(N\), называется нормалью к \(\operatorname f\) в точке \(P\). Ее уравнение —
$$
\frac><- f_(x_<0>, y_<0>)> = \frac><- f_(x_<0>, y_<0>)> = Z — f(x_<0>, y_<0>).
$$

Найдем значение аппликаты касательной плоскости, построенной в точке \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \in \operatorname f\).

Таким образом, \(d\ f(x_<0>, y_<0>)\) есть приращение аппликаты касательной плоскости (рис. 26.1).

Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть фото Как доказать что функция дифференцируема. Смотреть картинку Как доказать что функция дифференцируема. Картинка про Как доказать что функция дифференцируема. Фото Как доказать что функция дифференцируемаРис. 26.1

Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция \(f(x, y, z)\) определена в области \(G \subset R^<3>\), и пусть точка \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \in G\). Рассмотрим луч, проходящий через точку и параллельный направлению
$$
\textbf = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma),\nonumber
$$
где
$$
\cos^ <2>\alpha + \cos^ <2>\beta + \cos^ <2>\gamma = 1.\nonumber
$$

Если функция \(f(x, y, z)\) дифференцируема в точке \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \in G\), то производную по направлению \(\textbf\) в этой точке можно вычислить при помощи следующей формулы:
$$
\frac<\partial f><\partial l>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) = \left.\frac

f(x_ <0>+ t\cos \alpha,\ y_ <0>+ t\cos \beta,\ z_ <0>+ t\cos \gamma)\right|_=\\= \frac<\partial f><\partial x>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \cos \alpha + \frac<\partial f><\partial y>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \cos \beta + \frac<\partial f><\partial z>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \cos \gamma.\label
$$

\(\circ\) Формула \eqref есть простое следствие правила нахождения производной сложной функции. \(\bullet\)

Если ввести символический вектор (оператор Гамильтона)
$$
\nabla = \textbf\frac<\partial> <\partial x>+ \textbf\frac<\partial> <\partial y>+ \textbf\frac<\partial><\partial z>\label
$$
и договориться, что векторы, стоящие слева от \(\nabla\), перемножаются с \(\nabla\) по правилам векторной алгебры, а на величины, стоящие справа, \(\nabla\) действует как дифференциальный оператор, то
$$
(\textbf, \nabla) =\cos \alpha \frac<\partial> <\partial x>+ \cos \beta \frac<\partial> <\partial y>+ \cos \gamma \frac<\partial><\partial z>.\nonumber
$$
Тогда формулу \eqref можно записать через оператор Гамильтона
$$
\frac<\partial f><\partial l>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) = (\textbf, \nabla)f(x_<0>, y_<0>, z_<0>).\nonumber
$$

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *