Как доказать что функция линейная и найти область определения
График линейной функции, его свойства и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!
Свойства линейной функции
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.
Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.
При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Область определения функции
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие области определения функции
Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.
Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.
Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).
Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.
Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.
Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.
Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.
Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.
Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].
Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.
Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:
Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:
Все положительные числа можно описать так:
Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.
Области определения основных элементарных функций
Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.
На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.
Рассмотрим области определения основных элементарных функций.
Область определения постоянной функции
Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.
Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.
Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.
Область определения функции с корнем
Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.
Рассмотрим две вариации такой функции.
Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:
Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).
Пример
Найти область определения функции: 
Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
Дискриминант положительный. Ищем корни:
Значит парабола a(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).
Область определения степенной функции
Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.
Перечислим возможные случаи:
Рассмотрим несколько примеров.
Область определения показательной функции
Область определения показательной функции — это множество R.
Примеры показательных функций:
Область определения каждой из них (−∞, +∞).
Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция выглядит так: y = logax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.
Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:
Рассмотрим примеры логарифмических функций:
Область определения этих функций есть множество (0, +∞).
Пример
Укажите, какова область определения функции: 
Составим и решим систему:
Область определения тригонометрических функций
Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.
Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что 
и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.
Пример
Найдите область определения функции f(x) = tg2x.
Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:
Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:
В результате 
. Отразим графически:
Ответ: область определения: 
.
Область определения обратных тригонометрических функций
Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.
Таблица областей определения функций
Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.
И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.
Функция
Область определения функции
Область определения функции
Прежде чем перейти к изучению области определения функции внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».
Вспомним кратко основные определения функции в математике.
Функция — это зависимость переменной « y » от независимой переменной « x ».
Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:
Вместо « x » (аргумента функции) в формулу « у = 2x » подставляем произвольные числовые значения и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».
Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу « у = 2x » и запишем результаты в таблицу.
| x | y = 2 x | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x = −2 | у = 2 · (−2) = −4 | ||||||
| x = 0 | y = 2 · 0 = 0 | ||||||
x =
| y = 2 ·
=
= 1 | ||||||
| x = 3 | y = 2 · 3 = 6 |
Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).
Обозначают область определения функции как:
Вернемся к нашей функции « у = 2x » и найдем её область определения.
Посмотрим ещё раз на таблицу функции « y = 2x », где мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».
| x | y = 2x | ||
|---|---|---|---|
| −2 | −4 | ||
| 0 | 0 | ||
| 1 | ||
| 3 | 6 |
Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать, что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.
Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:
В нашей функции « у = 2x » вместо « x » можно подставить любое число, поэтому область определения функции « у = 2x » — это любые действительные числа.
Запишем область определения функции « у = 2x » через математические обозначения.
Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на математические символы. Для этого вспомним понятие числовой оси.
Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции « у = 2x ». Так как в функции
« у = 2x » нет ограничений для « x », заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности « −∞ » до плюс бесконечности « +∞ ».
Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Запишем окончательный ответ для области определения функции.
По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как « x ∈ R ».
Читается « x ∈ R » как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
« x ∈ R » одинаковы по своей сути.
Область определения функции с дробью
Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.
№ 233 (2) Мерзляк 8 класс
Найдите область определения функции:
Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x » в функции
« f(x) =
| 8 |
| x + 5 |
».
По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя. Иначе говоря, знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.
Переменная « x » находится в знаменателе функции « f(x) =
| 8 |
| x + 5 |
». Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.
Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме « −5 ». На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».
Число « −5 » отмечено «пустой» точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.
Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.
Запишем промежутки через математические символы. Так как число « −5 » не входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять круглая скобка.
Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке «Как записать ответ неравенства».
Запишем окончательный ответ для области определения функции
« f(x) =
| 8 |
| x + 5 |
».
Область определения функции с корнем
Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.
№ 98 (5) Колягин (Алимов) 8 класс
Найти область определения функции:
Из урока «Квадратный корень» мы помним, что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.
Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
« у = √ 6 − x ». Подкоренное выражение
« 6 − x » должно быть больше или равно нулю.
Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».
Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число « 6 » отмечено «заполненной» точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.
Правило для определения области определения функции
Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:
При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:
Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.
Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.
№ 242 (3) Мерзляк 8 класс
Найдите область определения функции:
Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.
В функции « f(x) = √ x + 3 +
| 1 |
| x 2 − 9 |
» есть дробь «
| 1 |
| x 2 − 9 |
», где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель « x 2 − 9 » не может быть равен нулю.
Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.
x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
x1;2 =
| −0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−9) |
| 2 · 1 |
x1;2 ≠
| −0 ± √ 0 − (−36) |
| 2 |
Запомним полученный результат. Задаем себе второй вопрос. Проверяем, есть ли в формуле функции
« f(x) = √ x + 3 +
| 1 |
| x 2 − 9 |
» корень четной степени. В формуле есть квадратный корень « √ x + 3 ». Подкоренное выражение « x + 3 » должно быть больше или равно нулю.
Решим линейное неравенство.
Объединим полученные ответы по обоим вопросам:
Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.
Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях. Обратим внимание, что числа « −3 » и « 3 » отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.
Получаем два числовых
промежутка « −3 » и « x > 3 », которые являются областью определения функции
« f(x) = √ x + 3 +
| 1 |
| x 2 − 9 |
». Запишем окончательный ответ.
Примеры определения области определения функции
№ 101 Колягин (Алимов) 8 класс
Найти область определения функции:
Для поиска области определения функций задаем себе первый вопрос. Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?
Ответ: в формуле функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » нет дробей.
Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?
Ответ: в функции есть корень шестой степени: « 6 √ x ». Степень корня — число « 6 ». Число « 6 » — чётное, поэтому подкоренное выражение корня « 6 √ x » должно быть больше или равно нулю.
В формуле функции « y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » также есть корень пятой степени
« 5 √ 1 + x ». Степень корня « 5 » — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение « 1 + x » не накладывается.
Получается, что единственное ограничение области определения функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » — это ограничение подкоренного выражения « 6 √ x ».
Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.
№ 242 (4) Мерзляк 8 класс
Найдите область определения функции:
Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два. Выделим знаменатели с « x » красным цветом.
Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.
| √ x + 2 ≠ 0 |
| x 2 − 7x + 6 ≠ 0 |
Обозначим их номерами « 1 » и « 2 » и решим каждое уравнение отдельно.
| √ x + 2 ≠ 0 (1) |
| x 2 − 7x + 6 ≠ 0 (2) |
Решаем первое уравнение.
Если значение квадратного корня
« √ x + 2 ≠ 0 » не должно быть равно нулю, значит, подкоренное выражение
« x + 2 ≠ 0 » также не должно быть равно нулю.
Теперь решим уравнение под номером « 2 », используя формулу квадратного уравнения.
x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
x1;2 =
| −(−7) ± √ (−7) 2 − 4 · 1 · 6 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 7 ± √ 49 − 24 |
| 2 |
x1;2 =
| 7 ± 5 |
| 2 |
x1 ≠
| x2 ≠
|
x1 ≠
| x2 ≠
|
| x1 ≠ 6 | x2 ≠ 1 |
Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.
| x ≠ −2 |
| x ≠ 1 |
| x ≠ 6 |
В формуле функции
« f(x) =
| √ x − 4 |
| √ x + 2 |
+
| 4x − 3 |
| x 2 − 7x + 6 |
»
есть два корня « √ x − 4 » и « √ x + 2 ». Их подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.
| x − 4 ≥ 0 |
| x + 2 ≥ 0 |
| x − 4 ≥ 0 |
| x + 2 ≥ 0 |
| x ≥ 4 |
| x ≥ −2 |
Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.
Выпишем результат решения системы неравенств.
Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:
Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю
Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю
Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.