Как доказать что функция не является обратимой
Обратимые и обратные функции
Обратимой называется функция в которой произвольному значению функции соответствует единственное значение аргумента.
Примеры обратимых функций:
Исходная обратимая функция и функция, полученная из нее путем замены x на y и y на x, называются обратными.
Примеры обратных функций:
Однако, если рассматривать данную функцию только на множестве положительных чисел, она будет обратимой:
Графики функций будут симметричны относительно прямой y=x:
Функция y=arcsin(x)
Поскольку функция y=sin(x) является периодической, она не является обратимой.
Для построения функции, обратимой y=sin(x), необходимо взять один из полупериодов функции, обычно это отрезок [-π/2;π/2], на котором функция обратима.
График функции y=arcsin(x):
Например, чтобы найти arcsin(1), можно воспользоваться равенством 1=sin(y). Угол на отрезке [-π/2;π/2], синус которого равняется 1, будет равен 90° или π/2.
Функция y=arccos(x)
Поскольку функция y=cos(x) является периодической, она не является обратимой.
Для построения функции, обратимой y=cos(x), необходимо взять один из полупериодов функции, обычно это отрезок [0;π], на котором функция обратима.
График функции y=arccos(x):
Например, чтобы найти arccos(1), можно воспользоваться равенством 1=cos(y). Угол на отрезке [0;π], косинус которого равняется 1, будет равен 0.
Функция y=arctg(x)
Поскольку функция y=tg(x) является периодической, она не является обратимой.
Для построения функции, обратимой y=tg(x), необходимо рассматривать тангенсоиду на отрезке [-π/2;π/2], на котором функция обратима.
График функции y=arctg(x):
Функция y=arcctg(x)
Поскольку функция y=ctg(x) является периодической, она не является обратимой.
Для построения функции, обратимой y=ctg(x), необходимо рассматривать котангенсоиду на отрезке [0;π], на котором функция обратима.
График функции y=arcctg(x):
Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:
Код кнопки:
Политика конфиденциальности Об авторе
АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ.
Лекция по теме «Обратная функция»
ПОНЯТИЕ ОБРАТИМОЙ ФУНКЦИИ.
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ОБРАТИМОСТИ.
На рисунках приведены две функции, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет (рис.1). Таким образом, функция 
обладает свойством, не характерным для функции 
: какое бы число 
из множества значения функции f(x) ни взять, оно является значением функции только в одной точке 
. Говорят, что такая функция обратима.
У функции значение можно получить сразу в трех точках 
. Поэтому такая функция не обратима.
Определение 1. Функцию 
называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.
Теорема. Если функция 
монотонна на множестве X, то она обратима.
Попробуйте самостоятельно определить, какая из предложенных функций обратима?:
а) 
б) 
а) – функция и возрастает и убывает, значит, она немонотонна, поэтому необратима
б) – функция убывает, значит, она монотонна, поэтому обратима
в) – линейная функция, k=2, то есть функция возрастает, значит, она монотонна, поэтому обратима
г) – квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз, то есть функция и возрастает и убывает, значит, она немонотонна, поэтому необратима
Замечание. Монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.
Например, мы можем взять немонотонную функцию и рассмотреть ее только на одном промежутке, где она только возрастает или только убывает, тогда условие обратимости будет выполняться. Например, функция 
при 
будет возрастающей функцией, поэтому при таких значениях х она обратима.
ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ.
АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ.
Алгоритм составления обратной функции для функции y=f(x), 
.
Пример 1. Показать, что для функции y=2x-5 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
Решение. Линейная функция y=2x-5 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение 
относительно х;
Переобозначим переменные, получим искомую обратную функцию
Она определена и возрастает на R.
Пример 2. Показать, что для функции при существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
Решение. 
– квадратичная функция. При 
функция непрерывна, монотонно возрастает в своей области определения, следовательно, она обратима. Найдем ее:
Так как по условию , то 
– обратная функция для
Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики
Понятие обратной функции
Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?
Нахождение взаимно обратных функций
Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.
Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.
Решение
Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:
Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.
Решение
В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.
На графике обе функции будут выглядеть так:
Основные свойства взаимно обратных функций
a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р и в и д е н и я = a r c sin sin π 3 = π 3
Графики взаимно обратных функций
На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):
Графики для функций с a > 1 и a 1 будут выглядеть так:
Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):
График главной ветви косинуса и арккосинуса выглядит так:
График главной ветви арктангенса и тангенса:
График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:
Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.
Обратная функция. Урок алгебры в 10-м классе (профильный уровень)
Разделы: Математика
Воспитательная: формировать коммуникативную компетентность.
Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска SMART Board, раздаточный материал (самостоятельная работа) для работы в группе.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Цель – подготовка учащихся к работе на уроке:
— настрой учащихся на работу, организация внимания;
— сообщение темы и цели урока.
2. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.
Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.
По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы записаны на обыкновенной доске и в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока)
3. Объяснение нового материала.
Цель — формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; развивать предметную речь.
Учитель проводит изложение материала в соответствии с материалом параграфа. На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет, тем самым подводит учащихся под понятия обратимой функции.
Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.
Определение 1: Функцию y=f(x), x X называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.
Учащимся предлагается сделать вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.
Для рассмотрения вопроса о способах нахождения функции обратной данной, учитель привлек двух учащихся. Ребята накануне получили задание у учителя самостоятельно разобрать аналитический и графический способы нахождения функции обратной данной. Учитель выступил в роли консультанта при подготовке учащихся к уроку.
Сообщение первого ученика.
Замечание: монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.
Учащийся привел примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима
Затем ученик знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.
Затем решает два примера на нахождение функции обратной данной.
Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим 
Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.
Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.
Ответ: 
Во время объяснения на интерактивной доске выполняется следующее задание:
Построить в одной системе координат график функции 
и график обратной ей функции. Запишите аналитическое выражение обратной функции.
4. Первичное закрепление нового материала.
Цель – установить правильность и осознанность понимания изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала, провести их коррекцию.
Учащиеся делятся на пары. Им раздаются листы с заданиями, в которых они и выполняют работу в парах. Время на выполнение работы ограничено (5-7 мин). Одна пара учащихся работает на компьютере, проектор на это время выключается и остальным ребятам не видно, как работают учащиеся на компьютере.
По окончании времени (предполагается, что с работой справилось большинство учащихся) на интерактивной доске (вновь включается проектор) показывается работа учащихся, где и выясняется в ходе проверки правильность выполнения задания в паре. При необходимости учителем проводится коррекционная, разъясняющая работа.
Самостоятельная работа в парах
5. Итог урока. По вопросам, которые были заданы перед началом лекции. Объявление оценок за урок.
Домашнее задание §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12 (б)
Алгебра и начала анализа. 10 класс В 2-х частях для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др.; под ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозина, 2007 год
Конспекты уроков по теме «Обратная функция» (10 класс)
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Конспекты уроков по теме «Обратная функции»
Урок 1. Лекция по теме «Обратная функция»
Цель: Сформировать теоретический аппарат по теме. Ввести
— понятие обратимой функции;
— понятие обратной функции;
— сформулировать и доказать достаточное условие обратимости
— основные свойства взаимно обратных функций.
Актуализация знаний учащихся, необходимая для восприятия новой темы.
Постановка цели перед учащимися.
Изложение нового материала.
Подведение итогов урока.
Постановка домашнего задания.
1. Организационный момент.
Приветствие учителя, проверка готовности обучающихся к уроку.
2. Актуализация знаний. ( Фронтальный опрос по теме предыдущего урока.)
Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции (рис. 1). Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.
D(f) = [-4; 
), E(y) = [0; ).
Ни четная, ни нечетная, непериодическая, непрерывная, ограничена снизу.
y>0 при на [-4;0) и на (0; ).
Возрастает на (-2;-1) и на (0; );
убывает на (-4;-2) и на (-1;0).
Выпукла вниз на (4;-1), выпукла вверх на (1; ), невыпуклая на [-1;1].
3. Постановка цели перед учащимися.
По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока).
1. Какая функция называется обратимой?
2. Какая функция называется обратной?
3. Как связаны между собой области определения и множества значений прямой и обратной функций?
4. Сформулируйте достаточное условие обратимости функции.
5. Функция обратная возрастающей является убывающей или возрастающей?
6. Функция обратная нечетной является четной или нечетной?
7. Как расположены графики взаимно обратных функций?
4. Изложение нового материала.
1) Понятие обратимой функции. Достаточное условие обратимости.
Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.
Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.
Аналогично доказывается теорема в случае убывающей функции.
(По ходу доказательства теоремы учитель маркером делает все необходимые пояснения на чертеже)
Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций (рис. 3, 4) и записаны несколько аналитически заданных функций:
а ) 
б ) 
Замечание. Монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.
Учитель приводит примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима.
2) Понятие обратной функции. Алгоритм составления обратной функции.
Затем учитель знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.
На конкретных примерах учитель показывает как использовать данный алгоритм.
Пример 1. Показать, что для функции y=2x-5 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
Пример 2. Показать, что для функции y=x 2 , х ≤ 0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
3) Свойства взаимно обратных функций.
Свойство 2. Если функция возрастает (убывает) на множестве Х, а У – область значений функции, то обратная функция возрастает (убывает) на У.
Свойство 4. Если нечетная функция обратима, то обратная ей тоже нечетная.
5 . Подведение итогов
Проведение диагностической работы. Целью этой работы является определение уровня усвоения учебного материала, рассмотренного на лекции. Учащимся предлагается ответить на вопросы, сформулированные в начале лекции.
6 . Постановка домашнего задания.
1. Разобраться с материалом лекции, выучить основные определения и формулировки теорем.
2. Доказать свойства взаимно обратных функции.
Урок 2. Практикум по теме «Определение обратной функции. Достаточное условие обратимости функции»
Цель: сформировать умения применять теоретические знания по теме при решении задач, рассмотреть основные типы задач на исследование функции на обратимость, на построение обратной функции.
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний (фронтальная работа учащихся).
3. Закрепление изученного материала (решение задач).
4. Подведение итогов урока.
5. Постановка домашнего задания.
1. Организационный момент.
Приветствие учителя, проверка готовности обучающихся к уроку.
2. Актуализация знаний. ( фронтальная работа учащихся).
Учащимся предлагается выполнить устно следующие задания:
1. Сформулируйте достаточное условие обратимости функции.
2. Среди функций, графики которых изображены на рисунке укажите те, которые являются обратимыми.
3. Сформулируйте алгоритм составления функции, обратной данной.
4. Существуют ли функции, обратные данным? В случае положительного ответа, найдите их:
5. Являются ли функции, графики которых изображены на рисунке, взаимно обратными (рис. 6)? Ответ обоснуйте.
3. Закрепление изученного материала (решение задач).
Закрепление изученного материала состоит из двух этапов:
— индивидуальная самостоятельная работа учащихся;
— подведение итогов индивидуальной работы.
На первом этапе учащимся предлагаются карточки с заданиями, которые они выполняют самостоятельно.
Является ли функции обратимыми на всей области определения? Если да, то найдите обратную к ней.
Являются ли взаимно обратными функции:
Рассмотрите функцию на каждом из указанных промежутков, если на этом промежутке функция обратима, то задайте обратную ей аналитически, укажите область определения и область значений:
Докажите, что функция необратима. Найдите функцию обратную ей на промежутке и постройте ее график.
Постройте график функции и определите, существует ли для нее обратная функция. Если да, то на том же чертеже постройте график обратной функции и задайте ее аналитически:
На этапе подведение итогов индивидуальной работы учащихся проверка задач осуществляется только с фиксированием промежуточных результатов. Задачи, вызвавшие больше всего затруднений, рассматриваются на доске либо с раскрытием поиска решений, либо с записью всего решения.
4. Подведение итогов урока (рефлексия).
Учащимся предлагается мини-анкета:
— Что мне понравилось на уроке?______________________________
— Что мне не понравилось на уроке?_____________________________
— Укажите одно наиболее подходящее вам утверждение:
1) Я могу самостоятельно исследовать функцию на обратимость, строить обратную и уверен в правильности результата.
2) Я могу исследовать функцию на обратимость, строить обратную, но не всегда уверен в правильности результата, нуждаюсь в помощи товарищей.
3) практически не могу исследовать функцию на обратимость, строить обратную, нуждаюсь в дополнительной консультации учителя.
— Где я смогу применять полученные знания?____________________ __________________________________________________________________
5. Постановка домашнего задания.