Как доказать что функция периодична

Как определить периодичность функции

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Если F(x) — функция аргумента x, то она называется периодической, если есть такое число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.

Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.

Обычно математика интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.

Если F(x) — периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) — тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, то должна повторяться и производная. Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.

Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C — нет.

Если F1(x) и F2(x) — периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 — рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй — 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.

Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.

Источник

Периодические функции

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Дадим определение периодической функции:

Например, — периодические функции.

Для функций и период

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения

График функции может выглядеть, например, вот так:

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции на отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).

Построим график функции при

Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

3. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период функции равен

График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.

Источник

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 4 сентября 2021 г.

Урок 5. Периодичность тригонометрических функций

Из этого определения сразу следует, что если Т – период функции

– также периоды функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

у = х – [х] , где [х] – целая часть числа. Если к произвольному значение аргумента этой функции добавить 1 , то значение функции от этого не изменится :

Следовательно, при любом значении х

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

sin (α + 360 ° ) = sin α

Таким образом, функции sin α и cos α от прибавления к аргументу α одного полного оборота ( 2π или 360 ° ) не меняют своих значений.

где k – любое целое число.

Следовательно, функции sin α и cos α – периодические.

Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.

В самом деле, пусть α – произвольный угол, составленный с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной окружности.

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

отсюда следует, что значения tg α и с tg α не изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:

где k – любое целое число.

вычисляются по формуле

равен наименьшему числу, при делении которого на T 1 и T 2 получаются целые числа.

Найти период функции

не существует, так как такого числа, при делении которого на и на 2 получались бы целые числа, нет.

Периода не существует.

Доказать следующее утверждение :

Так как тангенс – периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 180 ° , то получим :

Доказать следующее утверждение :

Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом 2π , то получим :

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

Доказать следующее утверждение :

Так как синус – нечётная и периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 360 ° , то получим :

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

так как 2 πk период синуса, то получим :

sin (7х + 7 t ) = sin (7х + 2 πk ),

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

со s 0,3х = со s 0,3(х + t ) = со s (0,3х + 0,3 t )

так как 2 πk период косинуса, то получим :

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Найти период функции :

y = 5 sin 2 x + 2 ctg 3х.

Наименьшее число, при делении которого на

Найти период функции :

Находим периоды слагаемых. Период функции

Очевидно, что период заданной функции равен

Найти период функции :

Периода у заданной функции не существует, так как нет такого числа, при делении которого на 2 и на π одновременно получались бы целые числа.

Найти период функции :

Приведём к общему знаменателю периоды :

Тогда наименьшее общее кратное (НОК) будет :

Теперь найдём период заданной функции :

Источник

Исследование функции на периодичность

Разделы: Математика

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла

“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров

I. Организационный этап.

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.

II. Проверка домашнего задания.

Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.

III. Обобщение и систематизация знаний.

1. Устная фронтальная работа.

1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

tg(x+ π n)=tgx, n € Z
ctg(x+ π n)=ctgx, n € Z

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

sin(x+2 π n)=sinx, n € Z
cos(x+2 π n)=cosx, n € Z

5) Как построить график периодической функции?

1) Доказать следующие соотношения

a) sin( 740º ) = sin(2 0º )
b) cos( 54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin( 80º )

2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)

3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)

a) tg 375º
b) ctg 530º
c) sin 1268º
d) cos (-7363º)

5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?

Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.

6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

IV. Коллективное решение задач.

(Решение задач на слайдах.)

Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.

Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+35>

Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.

Положим x=-0,25 получим

Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1. Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1.

Так как=при любом Т, то f(x+1)=3<(x+0.25)+1>+1=3+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.

Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Задача 3. Найдите основной период функции

Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодичнаsin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

cosКак доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична=1

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична=2 π n, n € Z

T=Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична, n € Z

Выберем из всех “подозрительных” на период чисел Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодичнанаименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

f(x+Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична)=sin(1,5x+4 π )+5cos(0,75x+2 π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Значит Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична– основной период функции f.

Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)

Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х

Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т= π n, n € Z.

Предположим. Что при некотором n число π n является периодом

рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin| π n+x|=sin|x|

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.

Задача 5. Проверить, является ли периодической функция

f(x)= Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Пусть Т – период f, тогда

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична, отсюда sinT=0, Т= π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2 π n будет периодом

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому

Как доказать что функция периодична. Смотреть фото Как доказать что функция периодична. Смотреть картинку Как доказать что функция периодична. Картинка про Как доказать что функция периодична. Фото Как доказать что функция периодична

Значит, функция f не периодическая.

Задания для группы 1.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

Задания для группы 2.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

Задания для группы 3.

По окончании работы группы презентуют свои решения.

VI. Подведение итогов урока.

Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.

VII. Домашнее задание

1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)

Источник

Доказать периодичность функции и найти ее период

Выполняется при любом вещественном x.
Нужно доказать,что функция является периодической и найти сам период.

По определению функция является периодической,если
существует T,для которого выполняется :

Никогда таких заданий не решал и решил себя в этом попробовать,но далеко уйти не получилось. Решил спросить совета у знающих.

Найти основной (наименьший) период функции
Найти основной (наименьший) период функции у=sin^2(4x) Период sin x = 2pi Получаем.

Проверить функции на периодичность и симметричность
1) y=sin(ln(x)) 2) y=cos(x2-x-1) как их проверить на периодичность и симметричность?

Периодичность функции, заданной кусочно
Всем привет. Задал функцию кусочно (с использованием if). Пытаюсь просуммировать ее, для достижения.

Как сделать отчет по продажам за период (период в колонках) без СКД?
Всем привет! Покажите, пожалуйста, как сделать отчёт за период, период должен выводиться в колонки.

Решение

Вам нужно выразить f(x+1) через f(x) и f(x-1)
Потом написать выражение для f(x+2) и заменить в нём f(x+1) на предыдущую формулу, т.е. тоже выразить через f(x) и f(x-1)
Далее для f(x+n), пока справа не получите исходное выражение

Добавлено через 1 минуту
Пока на телефоне набирал, вам уже и ответ написали

Нет, если функция периодическая, это означает, что модуль комплексного корня должен быть равен 1 (обоих комплексно сопряженных корней). Если корень по модулю не равен 1, то функция будет экспоненциально раскручиваться и потому никак не может быть периодической. Можно ли сделать какие-то выводы о периоде из того, что модуль комплексного корня равен 1?

Неверно сказал. Модуль корня и так равен 1. Константы С1 и С2 должны быть комплексно сопряженными

Добавлено через 4 минуты
Ну Вы это в конце и сказали. Уже шарики за ролики заезжают. Sorry

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Мои умения исследовать
функции на периодичность
Мой вклад в работу
на уроке