Как доказать что функция является периодической
Исследование функции на периодичность
Разделы: Математика
Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла
“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров
I. Организационный этап.
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.
II. Проверка домашнего задания.
Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.
III. Обобщение и систематизация знаний.
1. Устная фронтальная работа.
1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+ π n)=tgx, n € Z
ctg(x+ π n)=ctgx, n € Z
sin(x+2 π n)=sinx, n € Z
cos(x+2 π n)=cosx, n € Z
5) Как построить график периодической функции?
1) Доказать следующие соотношения
a) sin( 740º ) = sin(2 0º )
b) cos( 54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin( 80º )
2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)
3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)
a) tg 375º
b) ctg 530º
c) sin 1268º
d) cos (-7363º)
5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?
Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.
Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.
6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.
7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?
Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.
IV. Коллективное решение задач.
(Решение задач на слайдах.)
Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.
Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+3
Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.
Положим x=-0,25 получим
Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1. Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1.
Так как
Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.
Задача 3. Найдите основной период функции
Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение
 | sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 cos
T= Выберем из всех “подозрительных” на период чисел f(x+ Значит Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x) Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т= π n, n € Z. Предположим. Что при некотором n число π n является периодом рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin| π n+x|=sin|x|
Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической. Задача 5. Проверить, является ли периодической функция f(x)= Пусть Т – период f, тогда
Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому
Значит, функция f не периодическая. Задания для группы 1. Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует). Задания для группы 2. Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует). Задания для группы 3. По окончании работы группы презентуют свои решения. VI. Подведение итогов урока. Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.
|
=1
, n € Z
, отсюда sinT=0, Т= π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2 π n будет периодом
