Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Тема урока «Множество значений функции в задачах ЕГЭ»

Сегодня на уроке мы обратимся к одному из основных понятий математики — понятию функции; более детально рассмотрим одно из свойств функции — множество ее значений.

Ход урока

Учитель. Решая задачи, мы замечаем, что подчас именно нахождение множества значений функции ставит нас в затруднительные ситуации. Почему? Казалось бы, изучая функцию с 7-го класса, мы знаем о ней достаточно много. Поэтому у нас есть все основания сделать упреждающий ход. Давайте сегодня сами «поиграем» с множеством значений функции, чтобы снять многие вопросы этой темы на предстоящем экзамене.

Множества значений элементарных функций

Учитель. Для начала необходимо повторить графики, уравнения и множества значений основных элементарных функций на всей области определения.

На экран проецируются графики функций: линейной, квадратичной, дробно-рациональной, тригонометрических, показательной и логарифмической, для каждой из них устно определяется множество значений. Обратите внимание учащихся на то, что у линейной функции E(f) = R или одно число, у дробно-линейной Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Это наша азбука. Присоединив к ней наши знания о преобразованиях графиков: параллельный перенос, растяжение, сжатие, отражение, мы сможем решить задачи первой части ЕГЭ и даже чуть сложнее. Проверим это.

Условия задач и системы координат напечатаны для каждого ученика.

1. Найдите множество значений функции на всей области определения:

а) y = 3 sin х ;
б) y = 7 – 2 х ;
в) y = –arccos (x + 5):
г) y = | arctg x |;
д) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

2. Найдите множество значений функции y = x 2 на промежутке J, если:

3. Задайте функцию аналитически (уравнением), если множество ее значений:

а) квадратичная,
б) логарифмическая,
в) показательная;

При обсуждении задания 2 самостоятельной работы обратите внимание учащихся на то, что, в случае монотонности и непрерывности функции y = f(x) на заданном промежутке [a; b], множество ее значенийпромежуток, концами которого являются значения f(a) и f(b).

Варианты ответов к заданию 3.

2.
а) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияб) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Нахождение множества значений функции с помощью производной

Учитель. В 10-м классе мы знакомились с алгоритмом нахождения экстремумов непрерывной на отрезке функции и отыскания ее множества значений, не опираясь на график функции. Вспомните, как мы это делали? (С помощью производной.) Давайте вспомним этот алгоритм.

1. Убедиться, что функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке J = [a; b].

2. Найти значения функции на концах отрезка: f(a) и f(b).

3. Найти производную, а затем критические точки xk Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияJ.

4. Найти значения функции в критических точках f(xk).

5. Сравнить значения функции f(a), f(b) и f(xk), выбрать наибольшее и наименьшее значения функции и дать ответ: E(f)= [fнаим; fнаиб].

Задачи на применение данного алгоритма встречаются в вариантах ЕГЭ. Так, например, в 2008 году была предложена такая задача. Вам предстоит решить ее дома.

Задание С1. Найдите наибольшее значение функции

Нахождение множества значений сложной функции

Учитель. Основную часть нашего урока составят нестандартные задачи, содержащие сложные функции, производные от которых являются очень сложными выражениями. Да и графики этих функций нам неизвестны. Поэтому для решения мы будем использовать определение сложной функции, то есть зависимость между переменными в порядке их вложенности в данную функцию, и оценку их области значений (промежутка изменения их значений). Задачи такого вида встречаются во второй части ЕГЭ. Обратимся к примерам.

Задание 1. Для функций y = f(x) и y = g(x) записать сложную функцию y = f(g(x)) и найти ее множество значений:

а) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = sin x;
б) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = log7 x;
в) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция g(x) = x 2 + 1;
г) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияКак доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Решение. а) Сложная функция имеет вид: y = –sin 2 x + 2sin x + 3.

Вводя промежуточный аргумент t, мы можем записать эту функцию так:

У внутренней функции t = sin x аргумент принимает любые значения, а множество ее значений — отрезок [–1; 1].

Таким образом, для внешней функции y = –t 2 +2t + 3 мы узнали промежуток изменения значений ее аргумента t: t Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция[–1; 1]. Обратимся к графику функции y = –t 2 +2t + 3.

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Замечаем, что квадратичная функция при t Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция[–1; 1] принимает наименьшее и наибольшее значения на его концах: yнаим = y(–1) = 0 и yнаиб = y(1) = 4. А так как эта функция непрерывна на отрезке [–1; 1], то она принимает и все значения между ними.

Ответ: y Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция[0; 4].

б) Композиция этих функций приводит нас к сложной функции которая после введения промежуточного аргумента, может быть представлена так:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

x Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция(0; + ∞ ), t Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция(– ∞ ; + ∞ ).

У функции y = –t 2 + 2t + 3 (см. график) аргумент t принимает любые значения, а сама квадратичная функция принимает все значения не больше 4.

Ответ: y Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция(– ∞ ; 4].

в) Сложная функция имеет следующий вид:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Вводя промежуточный аргумент, получаем:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция где t = x 2 + 1.

Так как для внутренней функции x Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияR, а t Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция[1; + ∞ ), то по графику функции Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция нетрудно видеть, что множеством значений будет промежуток (0; 3].

Ответ: y Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция(0; 3].

г) Композиция двух данных функций дает нам сложную функцию

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

которая может быть записана как

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция где k Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияZ, t Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция[–1; 0) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция(0; 1].

Нарисовав график функции Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция видим, что при этих значениях t

y Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция(– ∞ ; –4] Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция[4; + ∞ ).

Ответ: y Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция(– ∞ ; –4] c [4; + ∞ ).

— Kакая из четырех композиций более сложная и почему?

Четвертая: функция имеет точки разрыва 2-го рода, в которых имеются вертикальные асимптоты.

— Какая из четырех композиций более простая и почему?

Итак, мы познакомились с иным алгоритмом нахождения множества значений сложной функции:

1. Разложить сложную функцию на составляющие ее элементарные функции.

2. Оценить множества значений этих функций в порядке их вложенности в сложную функцию.

Дома вы попробуете решить эту же задачу, но для функции y = g(f(x)) (поменяете порядок вложенности функций).

Учитель. Данные задачи имеют красивое логическое продолжение. Любое уравнение (неравенство) — это две функции, соединенные знаком равенства (неравенства). Зная области значений этих функций, мы можем их сравнить. И если мы увидим, что эти области, границы которых параллельны оси Ох, не имеют общих точек, то их графики не пересекаются. А это значит, что исходное уравнение не имеет решений. Возможны и другие интересные случаи.

Метод оценки при решении уравнений и неравенств

Метод решения уравнений (неравенств), при котором сравниваются множества значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения (неравенства), называют методом оценки.

Задание 2. Учитывая найденные множества значений функций из задания 1, составьте такие уравнения и неравенства, которые решаются методом оценки, и объясните их решение.

Сравнивая множества значений функций из левой и правой частей уравнения, замечаем, что они имеют только один общий элемент — число 4. То есть решениями этого уравнения могут быть только те значения x, при которых обе функции будут принимать значение равное 4.

— Как вы думаете: сколько решений может иметь уравнение в этом случае?

Потребуем выполнения этого необходимого условия от каждой функции и получим систему двух уравнений:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

2) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияx — любое число, кроме Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция где k Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияZ.

3) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция— не имеет решений.

4) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция — не имеет корней.

5) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция — не имеет решений.

6) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияx — любое число, кроме Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция где k Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияZ.

Можно выбрать и нестрогие знаки неравенств.

В вариантах ЕГЭ во второй и третьей частях встречаются задачи, которые решаются методом оценки. Вот одно из таких заданий из вариантов ЕГЭ 2008 года.

Задание В8. Решите уравнение Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Рассмотрите его решение дома.

Свойство монотонности сложной функции

Учитель. В ходе урока вы, надеюсь, заметили, что если данная функция монотонна и непрерывна, то поиск области ее значений упрощается. Остановимся на свойстве монотонности сложной функции подробнее.

— От каких данных может зависеть монотонность?

От монотонности входящих в нее функций.

Задание 3. Докажите, что если функция t = g(x) — непрерывна и убывает на некотором промежутке J, а функция y = f(t) также непрерывна и убывает на промежутке J1, причем из того, что x Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияJ, следует, что t Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияJ1, то сложная функция y = f(g(x)) есть функция возрастающая на J.

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Доказательство. Так как функции t = g(x) и y = f(t) — убывающие, то каждое свое значение они принимают ровно один раз и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. А тогда для любых x1 и x2 из J и для t1 = g(x1) и t2 = g(x2) из J1 имеем:

для g(x): (x1 Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияg(x1) > g(x2)) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция(x1 Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияt1 > t2),

для f(t): t1 > t2 Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияf(t1) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияf(t1) Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Û (x1 Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияf(g(x1)) > f(g(x2))).

То есть функция y = f(g(x)) — возрастает на J. Что и требовалось доказать.

Аналогично можно доказать, что

Задание 4. Найдите множество значений функции у = log5 (arcctg x) на J, если

б) на всей области определения.

Решение. Вначале исследуем данную функцию на монотонность. Функция t = arcctg x — непрерывная и убывающая на R и множество ее значений (0; π). Функция y = log5 t определена на промежутке (0; π), непрерывна и возрастает на нем. Значит, данная сложная функция убывает на множестве R. И она, как композиция двух непрерывных функций, будет непрерывна на R.

Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то она непрерывна и на любой ее части, в частности, на данном отрезке. А тогда она на этом отрезке имеет наименьшее и наибольшее значения и принимает все значения между ними:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
f
(4) = log5 arcctg 4.

— Какое из полученных значений больше? Почему? И каким же будет множество значений?

Ответ: Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Ответ: у Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция(– ∞ ; log5 π) на всей области определения.

Задача с параметром

Теперь попробуем составить и решить несложное уравнение с параметром вида f(x) = a, где f(x) — та же функция, что и в задании 4.

Задание 5. Определите количество корней уравнения log5 (arcctg x) = а для каждого значения параметра а.

Решение. Как мы уже показали в задании 4, функция у = log5 (arcctg x) — убывает и непрерывна на R и принимает значения меньше log5 π. Этих сведений достаточно, чтобы дать ответ.

Ответ: если а ≥ log5 π, то корней нет.

Учитель. Сегодня мы рассмотрели задачи, связанные с нахождением множества значений функции. На этом пути мы открыли для себя новый метод решения уравнений и неравенств — метод оценки, поэтому нахождение множества значений функции стало средством решения задач более высокого уровня. При этом мы увидели, как конструируются такие задачи и как свойства монотонности функции облегчают их решение.

И мне хочется надеяться, что та логика, которая связала рассмотренные сегодня задачи, вас поразила или хотя бы удивила. Иначе и быть не может: восхождение на новую вершину никого не оставляет равнодушным! Мы замечаем и ценим красивые картины, скульптуры и т.д. Но и в математике есть своя красота, притягивающая и завораживающая — красота логики. Математики говорят, что красивое решение — это, как правило, правильное решение, и это не просто фраза. Теперь Вам самим предстоит находить такие решения и один из путей к ним мы указали сегодня. Удачи вам! И помните: дорогу осилит идущий!

Источник

Возрастание и убывание функции

Вы будете перенаправлены на Автор24

При исследовании заданной функции особое внимание уделяется характеру ее поведения: возрастает, не возрастает, убывает, не убывает.

Примеры монотонных функций приведены на рисунках:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Рисунок 1. Возрастающая функция

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Рисунок 2. Убывающая функция

Монотонные функции делят на:

Функция является возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции тоже возрастают, то заданная функция возрастает.

Функция является убывающей, если для большего значения аргумента соответствует меньшее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции убывают, то заданная функция убывает.

Готовые работы на аналогичную тему

Функция является не возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее или равное значение заданной функции.

Функция является не убывающей, если для большего значения аргумента соответствует меньшее или равное значение заданной функции.

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Не возрастающая, не убывающая и постоянная функции не являются монотонными.

Монотонные функции обладают следующими свойствами:

Между монотонностью заданной функции и ее производной существует определенная связь, которая описывается следующими теоремами:

Сформулируем обратные теоремы.

Теорема, обратная к теореме 1.

Если заданная функция является возрастающей на некотором промежутке, то производная данной функции неотрицательна или не существует.

Теорема, обратная к теореме 2.

Если заданная функция является убывающей на некотором промежутке, то производная данной функции неположительная или не существует.

Для постоянной функции имеет место следующая теорема:

Алгоритм исследования функции на возрастание и убывание включает следующие этапы:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Следовательно, заданная функция убывает на всей области определения

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 16 02 2021

Источник

Композиция функций и функциональные уравнения

Школьный курс математики предполагает обучение учащихся различным методам решения задач на композицию функций, функциональные уравнения и неравенства. Однако, пожалуй впервые, в явном виде учащиеся общеобразовательных классов сталкиваются с понятием «композиция функций» в теме «Производная и ее применение» при выводе формулы производной сложной функции. Использование же этого понятия даже в достаточно простых задачах из других тем школьного курса вызывает у них большие трудности. Поэтому обращение авторов к данной теме является актуальным.
Наш опыт показывает, что и в ЕГЭ, и на олимпиадах разного уровня довольно часто встречаются задания на композицию функций, функциональные уравнения и неравенства, которые необходимо решать нетрадиционными способами, но в школьных учебниках не уделяется должного внимания методам их решения. Кроме того, при решении этих задач не подходит ни один стандартный (известный) алгоритм и учащимся приходится применять более широкий спектр теоретических знаний, проявлять сообразительность и умение рассуждать. Можно добавить, что они просто интересны, а решения некоторых из них необыкновенно красивы. Заметим, что такие задачи не выходят за рамки школьной программы, поскольку могут быть решены школьными методами. Поэтому изучение школьниками данной тематики улучшает закрепление пройденного материала, способствует развитию интереса к предмету, позволяет отработать различные способы решения задач при подготовке к ЕГЭ, олимпиадам разного уровня и вступительным испытаниям в вузы (в которых эти испытания сохранились).
Авторы настоящей статьи ставили перед собой цель познакомить заинтересованного читателя с основными подходами и методами решения задач, в которых фигурирует понятие сложной функции. Надеемся, что подобранный и систематизированный нами материал, а также максимально подробное его изложение будет полезно как учителям, так и школьникам.
Для начала напомним определение.
Пусть заданы две функции y = f(x) и x = g(t), причем область определения функции f содержит множество значений функции g. Тогда каждому числу t из области определения функции g соответствует значение x = g(t), принадлежащее области определения функции f, а ему, в свою очередь, соответствует число y = f(x).
Таким образом, каждому числу t из области определения функции g ставится в соответствие единственное число y из множества значений функции f, а это означает, что на области определения функции g задана функция, которую называют сложной функцией или композицией функций. При этом пишут y = f(g(x)).

Спонсор публикации статьи учебный центр «Стимул». Центр предлагает Вам пройти учебные семинары для парикмахеров, семинары по парикмахерскому делу, косметологии, ногтевому сервису, организации туристического бизнеса, компьютерные курсы и другие. Профессиональная программа, квалифицированные преподаватели, доступные цены. Узнать подробнее о курсах в Ульяновске, цены и контакты Вы сможете на сайте, который располагается по адресу: http://www.stimul-kursy.ru/.

Пример 1. (Открытый банк заданий ЕГЭ-2010.) Найти Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияесли Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияпри | x | ≠ 2.
Решение. Функция g(x) определена при x ∈ (–∞; +∞); g(2 – x) — композиция функций g(x) и f(x) = 2 – x, а g(2 + x) — композиция g(x) и h(x) = 2 + x. Тогда

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Отсюда получаем, что выражение Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияимеет смысл при всех | x | ≠ 2 и Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Пример 2. Дана функция f(x) = –x 2 + 4x – 3. Решить уравнение f(2x + 3) = 4f(x – 2).
Решение. Опуская некоторые очевидные рассуждения и выкладки, получим для всех действительных x:
f(2x + 3) = –(2x + 3) 2 + 4(2x + 3) – 3 = –4x 2 – 4x,
f(x – 2) = –(x – 2) 2 + 4(x – 2) – 3 = –x 2 + 8x – 15.
Тогда уравнение f(2x + 3) = 4f(x – 2) примет вид:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Ответ: Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Пример 3. Дана функция Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияРешить неравенство
2f(x + 3) 2 + 13x + 16 > 0 для всех действительных x, то последнее неравенство выполняется при x ∈ (–4; –2).
Ответ: (–4; –2).

Пример 4. (МИЭТ, 2004, № 9 из 11.) Найти значение f(f(1)), если Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Решение. Найдем вначале f(1). Поскольку
1 ≥ –2, то f(1) = –1 – 5 = –6. Значит, f(f(1)) = f(–6). Так как –6 Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция(18; 25].

Пример 6. (Московская межвузовская олимпиада, 2009, № 5.) Пусть Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияНайти значение функции Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияв точке x = 4.
Решение. Установим вид функции Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функциядля первых трех натуральных значений n.
При Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
При Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Возникает предположение, что
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Докажем это утверждение методом математической индукции.
При n = 1, согласно условию задачи, Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияУтверждение истинно.
Пусть при n = k утверждение истинно, и функция Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияимеет вид: Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Докажем, что при n = k + 1 функция Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияимеет вид:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Действительно,
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Что и требовалось доказать.
Итак,
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

при всех натуральных n. Следовательно, при
n = 2009:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

В последнем соотношении выражение, заключенное в скобки, представляет собой сумму первых 2009 членов геометрической прогрессии со знаменателем Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияи первым членом, равным 2. Тогда
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Подставляя в последнее соотношение x = 4, получим ответ:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Пример 7. (МИЭТ, 2002, № 10 из 11.) Построить график функции y = 3| f(f(x)) | + 1, где Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Решение. Выполним (по определению композиции функций) формальные преобразования:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Найдем область определения функции f(f(x)):
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Таким образом, функция y = 3 ∙ | f(f(x)) | + 1 может быть представлена в виде:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

График функции y = 3 ∙ | f(f(x)) | + 1 изображен на рисунке 1.

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Пример 8. (МИЭТ, 1999, № 7 из 11.) Изобразите на плоскости Oxy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функциягде f(x) = 1 – | x |.
Решение. Преобразуем уравнение, задающее на плоскости Oxy искомое множество точек:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Множество точек на плоскости Oxy, удовлетворяющих уравнению
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
очевидно, симметрично относительно координатных осей. Поэтому можно изобразить точки этого множества в первой координатной четверти, а затем окончательно достроить его, последовательно симметрично отразив относительно осей Ox и Oy. Итак, при x ≥ 0 и y ≥ 0 уравнение
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
примет вид
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Тогда, раскрывая по определению модуль, получим:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Поскольку при 0 ≤ x 2 – 6t + 8 на отрезке [x + 1; x + 2]. Постройте график функции f(x).
Решение. Приведем функцию g(t) к виду: g(t) = (t – 3) 2 – 1.
Графиком функции g(t) является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (3; –1). Значит, наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно –1, если 3 ∈ [x + 1; x + 2], то есть, записав систему неравенств

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

получим x ∈ [1; 2].
Если 3 Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция[x + 1; x + 2], то наименьшее значение функции g(t) достигается на левом конце отрезка [x + 1; x + 2] (в случае 3 x + 2).
Следовательно, если x > 2, то наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно
g(x + 1) = (x + 1 – 3) 2 – 1 = (x – 2) 2 – 1.
Если же x 2 – 1 = (x – 1) 2 – 1.
Окончательно получим:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

График функции f(x) изображен на рисунке 5.

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Далее рассмотрим тип задач, в которых надо найти функцию, если задано некоторое уравнение, в котором в качестве неизвестной выступает сама функция. Такие уравнения называют функциональными уравнениями. В дальнейшем будем рассматривать функциональные уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одной переменной с помощью операции образования сложной функции. Отметим также, что функциональные уравнения можно рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций. Например, f(x) = f(–x) — уравнение четности, f(x + T) = f(x) — уравнение периодичности и т.д.
Рассмотрим сначала задачи, в которых требуется найти значения функции, не заданной явно, но обладающей свойствами четности (нечетности), периодичности, или когда из данного функционального уравнения надо вывести (доказать) указанные свойства.

Пример 11. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом
T = 10. Найти значение f(2004), если f(–4) = 1,5.
Решение. Воспользуемся вначале условием периодичности функции f(x). Тогда
f(2004) = f(4 + 10∙200) = f(4).
Поскольку функция f(x) нечетная, то
f(–x) = –f(x),
следовательно,
f(4) = –f(–4) = –1,5.
Ответ: –1,5.

Таким образом получаем, что искомая сумма равна

Пример 13. (МИЭТ, 1994, № 6 из 11.) Известно, что равенство f(x + 2) = –f(x) имеет место для всех действительных x. Доказать, что функция f(x) является периодической с периодом 4.
Решение. Пусть t = x + 2, тогда x = t – 2, и соотношение f(x + 2) = –f(x) примет вид
f(t) = –f(t – 2).
В последнем уравнении вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая буква. Поэтому, заменив t на x, получим: f(x) = –f(x – 2). Подставим последнее выражение для f(x) в исходное уравнение и выполним преобразования:
f(x + 2) = –(–f(x – 2)) ⇔ f(x + 2) = f(x – 2).
Пусть u = x – 2, тогда x + 2 = u + 4, и соотношение f(x + 2) = f(x – 2) примет вид:
f(u + 4) = f(u) ⇔ (переобозначение: u ↔ x) ⇔ f(x + 4) = f(x).
Это означает, что функция f(x) является периодической с периодом 4.

Пример 14. (МИЭТ, 1999, № 9 из 11.) Функция f(x), определенная при всех значениях x и не равная 1 ни при каком значении x, удовлетворяет условию

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Найти f(2000), если f(2) = 3.
Решение. Докажем, что функция f(x) является периодической и найдем ее период.
Пусть t = x + 2, тогда x = t – 2, и соотношение

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

В последнем уравнении вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая буква. Поэтому, заменив t на x, получим:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Подставим последнее выражение для f(x) в исходное соотношение и выполним преобразования:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Пусть u = x – 2, тогда x + 2 = u + 4, и соотношение
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Пусть v = x + 4, тогда x = v – 4, и соотношение
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Подставим последнее выражение для f(x) в уравнение Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияи выполним преобразования:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Пусть w = x – 4, тогда x + 4 = w + 8, и уравнение f(x + 4) = f(x – 4) примет вид:
f(w + 8) = f(w) ⇔ (переобозначение: w ↔ x) ⇔ f(x + 8) = f(x).
Таким образом, функция f(x) является периодической с периодом 8. Отсюда следует, что значение функции f(x) при x = 2000 будет равно значению f(x) при x = 8,
так как 2000 = 8 ∙ 249 + 8.
Найдем:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Следовательно, f(2000) = f(8) = 0,5.
Ответ: 0,5.

Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если при подстановке ее в уравнение последнее превращается в тождество при всех значениях аргумента в области ее определения. Решить функциональное уравнение означает установить, имеет ли оно решения, и найти их, если таковые имеются.

Пример 16. (LXVIV Московская математическая олимпиада, окружной тур, 11-й класс, 2006, № 3.) Найти все такие функции f(x), что
f(2x + 1) = 4x 2 + 14x + 7.
Решение. Пусть t = 2x + 1, тогда

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Совершив замену переменной в уравнении
f(2x + 1) = 4x 2 + 14x + 7,
получим:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

В последнем соотношении для функции f(t) вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая переменная (буква). Поэтому, заменив букву t на букву x, получим:
f(x) = x 2 + 5x + 1.
Ответ: f(x) = x 2 + 5x + 1.

Пример 17. (МИЭТ, 1995, № 11 из 11.) Найти f(x), если для всех x ≠ 0 имеет место соотношение

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Решение. Предположим, что функция f(x), удовлетворяющая функциональному уравнению

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

существует. Тогда можно выполнить описанные ниже преобразования.
Пусть Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функциятогда Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияи исходное уравнение примет вид:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Получаем систему

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Из первого уравнения системы выразим Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Подставим Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияво второе уравнение системы. Получим:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
получаем f(1) = 1.
Проверкой убеждаемся, что функция f(x) = 1 при всех x ≠ 0 удовлетворяет условию задачи.
Замечание. В условии данной задачи не было указано, что функция f(x), удовлетворяющая функциональному уравнению

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

существует. Предположив, что такая функция f(x) имеется, мы осуществили логический переход к следствию. Поэтому проверка в этой ситуации необходима.
Ответ: f(x) = 1, x ≠ 0.

Пример 19. (МГУ, экономический факультет, 1997, № 6.) Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4, и на промежутке 0 ≤ x ≤ 2 ее значения вычисляются по правилу
f(x) = 1 – | x – 1 |.
Решить уравнение
2f(x)∙f(x – 8) + 5f(x + 12) + 2 = 0.
Решение. Раскроем модуль в выражении для функции f(x) на отрезке [0; 2]:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Так как функция f(x) — нечетная, то

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

По условию, функция f(x) — периодическая с периодом 4. Значит, f(x – 8) = f(x), f(x + 12) = f(x). Значит, исходное уравнение примет вид:Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Найдем вначале решения последней совокупности на отрезке [–2; 2] (то есть на одном из полных периодов функции f(x)).
Если f(x) = –2, то:
при x ∈ [–2; –1] получим уравнение –x – 2 =
= –2, решением которого является x = 0, не удовлетворяющее условию x ∈ [–2; –1];
при x ∈ (–1; 1) получим x = –2, что не удовлетворяет условию x ∈ (–1; 1);
при x ∈ [1; 2] получим уравнение –x + 2 = –2, решением которого является x = 4, не удовлетворяющее условию x ∈ [1; 2].
Если f(x) = –0,5, то:
при x ∈ [–2; –1] получим уравнение –x – 2 = –0,5, решением которого является
x = –1,5, –1,5 ∈ [–2; –1];
при x ∈ (–1; 1) получим x = –0,5, –0,5 ∈ (–1; 1);
при x ∈ [1; 2] получим уравнение –x + 2 = –0,5, решением которого является x = 2,5, не удовлетворяющее условию x ∈ [1; 2].
Поскольку функция f(x) является периодической с периодом 4, то окончательно получим две серии решений уравнения
2f(x)∙f(x – 8) + 5f(x + 12) + 2 = 0:
x = –1,5 + 4k, k ∈ Z;
x = –0,5 + 4n, n ∈ Z.
Ответ: –1,5 + 4k, k ∈ Z; –0,5 + 4n, n ∈ Z.

Пример 20. (LXX Московская математическая олимпиада, окружной тур, 11-й класс, 2007, № 4.) Функция f(x) такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство
f(xy) = f(x) + f(y). Найти f(2007), если Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Решение. По условию f(1∙1) = f(1) + f(1), или f(1) = 2f(1). Значит, f(1) = 0. Кроме того, для всех положительных x выполнено:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Отсюда при x = 2007 получим:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Ответ: –1.
Пример 21. (МГУ, биологический факультет, 2005, № 7.) Функция f(x) такова, что для всех рациональных чисел x и y выполнено равенство f(x + y) = f(x) + f(y). Известно, что f(10) = –π. Найти Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Решение. По условию f(0 + 0) = f(0) + f(0), или f(0) = f(0) + f(0). Значит, f(0) = 0. Кроме того,
f(0) = f(x – x), или 0 = f(x + (–x)). Отсюда получим:
f(x + (–x)) = f(x) + f(–x) ⇔ 0 = f(x) + f(–x).
Следовательно, f(–x) = –f(x). Значит,

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Таким образом, Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияОтсюда искомое значение Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Ответ: Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Пример 22. (LXXI Московская математическая олимпиада, окружной тур, 11-й класс, 2008, № 4.) Непрерывная функция f(x) такова, что для всех действительных x выполняется неравенство Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функцияВерно ли, что функция f(x) обязательно имеет точки экстремума?
Решение. При x = 0 получим:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Аналогично, при x = 1:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Так как непрерывная функция принимает одинаковые значения на концах отрезка [0; 1], то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка максимума или точка минимума.
Замечание. Если Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функциядля всех x ∈ [0; 1], то любая точка этого отрезка является точкой экстремума.
Ответ: да, верно.

В заключение статьи рассмотрим задачу C5 одного из вариантов ЕГЭ по математике 2009 года.

Пример 23. Решить уравнение
87cos x 2 + (8 – 6x) 4 = x 8 + 87cos (8 – 6x).
Решение. Приведем исходное уравнение к виду
x 8 – 87cos x 2 = (8 – 6x) 4 – 87cos (8 – 6x).
Введем непрерывную четную функцию
f(t) = t 4 – 87cos t.
Найдем ее производную:
f ‘(t) = 4t3 + 87sin t.
При t ∈ (0; π)
f ‘(t) = 4t 3 + 87sin t > 0 + 0 = 0,
при t ∈ [π; +∞)
f ‘(t) = 4t 3 + 87sin t > 4π 3 – 87 > 4∙33 – 87 = 4∙27 – 87 > 0.
Таким образом, f'(t) > 0 при t ∈ (0; +∞), следовательно, f(t) возрастает на промежутке [0; +∞). Значит, каждое свое значение функция принимает в точности в двух симметричных относительно
t = 0 точках (если t = 0, то исходное уравнение не имеет решений, так как при x 2 = 0 не выполняется 8 – 6x = 0), а стало быть, исходное уравнение равносильно совокупности:

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Ответ: Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

В заключение читателю предлагается подборка заданий для самостоятельного решения с ответами. Авторы не сомневаются, что решение этих задач поможет учащимся при подготовке к различным творческим и аттестационным испытаниям.

Задачи для самостоятельного решения

1. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом T = 40. Найдите значение f(2004), если f(–4) = –4,5.

2. (МИЭТ, 2004, № 9 из 11.) Найдите значение f(f(1)), если

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

3. (МИЭТ, 2002, № 9 из 11.) Пусть Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Решите неравенство f(4) ≤ g(f(x + 3)).

4. (МИЭТ, 2002, № 10 из 11.) Постройте график функции y = 2∙| f(f(x)) | – 1, где Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

5. (МИЭТ, 1999, № 7 из 11.) Изобразите на плоскости Oxy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функциягде f(x) = x – 2.
6. (МИЭТ, 1998, № 10 из 11.) Постройте график функции y = f(f(x)), где

Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

7. (МИЭТ, 2003, № 10 из 11.) Функция f(x) для каждого x равна наибольшему значению многочлена g(t) = –t 2 – 8t – 15 на отрезке [x – 3; x + 1]. Постройте график функции f(x).

8. Найдите f(x), если:
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

9. (МИЭТ, 1994, № 6 из 11.) Известно, что равенство Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
имеет место для всех действительных x. Докажите, что функция f(x) является периодической с периодом 2.

10. (МИЭТ, 1999, № 9 из 11.) Функция f(x), определенная при всех значениях x и не равная 0 ни при каком значении x, удовлетворяет равенству Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Найдите f(2004), если f(8) = 5.

12. (МИЭТ, 1995, № 11 из 11.) Найдите f(x), если для всех x имеет место соотношение xf(x) + f(2 – x) = 2(x + 1).

13. (МИЭТ, 2005, № 8 из 11.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет равенству f(x + 4) = 2x – 1 – f(x), а при x ∈ [0; 4) задается формулой f(x) = x 2 – 3x.
Найдите f(135).

14. (МГУ, ВМК, устный экзамен, 1997.) Существует ли линейная функция f(x), удовлетворяющая для всех x соотношению
2f(x + 2) + f(4 – x) = 2x + 5?

15. (МГУ, химический факультет, 2001, № 7.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет уравнению f(x + 1) = f(x) + 2x + 1. Найдите f(2001), если f(0) = 0.

16. (МГУ, биологический факультет, 2005, № 7.) Функция f(x) такова, что для всех рациональных чисел x и y выполнено равенство
f(x + y) = f(x)∙f(y). Известно, что f(4) = 16. Найдите f(–1,5).

17. (ЕГЭ-2009, задача С5.) Решите уравнение
x 6 – | 7 – 6x |3 = 26cos x 2 – 26cos (7 – 6x).

18. (ЕГЭ-2009, задача С5.) Решите уравнение
x 6 – | 4x + 3 |3 = 25cos x 2 – 25cos (4x + 3).

Ответы: 1. 4,5. 2. 9. 3. [8,5; 13) c (13; +∞).
4. Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
5. Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция
6. Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Смотреть картинку Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Картинка про Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция. Фото Как доказать что композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *