Как доказать что последовательность имеет пределом число

Предел последовательности – основные теоремы и свойства

Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Определение последовательности

Более подробно см. страницу Определение числовой последовательности >>>.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Верхнюю грань также называют точной верхней границей, а нижнюю грань – точной нижней границей. Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.

Определение предела последовательности

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:
.

Свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства

Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Теорема единственности предела числовой последовательности. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.

Арифметические действия с пределами

Свойства, связанные с неравенствами

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Бесконечно малая последовательность

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей приведены на странице
Бесконечно малые последовательности – определение и свойства >>>.

Бесконечно большая последовательность

Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то
.

Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом ( ), а – бесконечно малая с неравными нулю элементами, то
.

Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами приводится на странице
Определение бесконечно большой последовательности >>>.
Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей приведены на странице
Свойства бесконечно больших последовательностей >>>.

Критерии сходимости последовательностей

Монотонные последовательности

Аналогичными неравенствами определяются другие монотонные последовательности.

Строго убывающая последовательность:
.
Неубывающая последовательность:
.
Невозрастающая последовательность:
.

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Монотонная последовательность – это неубывающая или невозрастающая последовательность.

Теорема Вейерштрасса. Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M – некоторое число.

Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:

Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.

Критерий Коши сходимости последовательности

Фундаментальная последовательность – это последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Критерий Коши сходимости последовательности. Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия сходимости Коши приведено на странице
Критерий Коши сходимости последовательности >>>.

Подпоследовательности

Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Больцано – Вейерштрасса >>>.

Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице
Подпоследовательности и частичные пределы после­довательностей>>>.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.

Источник

Как доказать что последовательность имеет пределом число

`|x_n-a| oo) x_n=a` (читается: предел `x_n` при `n`, стремящемся к бесконечности, равен `a`). Последовательность, называется сходящейся, если существует число `a`, являющееся её пределом. Если такого числа `a` не существует, то последовательность называется расходящейся.

Часто в определении предела полагают число `k` натуральным. Однако, как нетрудно понять, получится эквивалентное определение.

Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Пусть выбрано произвольное `epsilon>0`. Нам нужно найти такое число `k`, что при всех `n>k` выполнялось бы неравенство `|x_n-c| k` имеет место неравенство `|x_n-c| oo)x_n=c`.

В разобранном примере число `k` удалось выбрать так, чтобы оно годилось сразу для всех `epsilon`. Такой случай не типичен.

Доказать, что `lim_(n->oo)1/n=0`.

Могут ли два разных числа быть пределами одной и той же последовательности?

Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`. Имеет ли предел последовательность `(x_(n+1))`?

Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`, `epsilon>o`. Можно ли утверждать, что найдётся такое число `k`, что `|x_n-a| k`?

Да. Поскольку `lim_(n->oo)x_n=a`, то по определению предела для любого положительного числа `alpha`, а следовательно, и для `alpha=epsilon//2`, найдётся число `k`, такое что `|x_n-a|k`.

Сформулируем необходимое условие существования предела.

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказать, что последовательность `x_n=(-1)^n` не имеет предела.

Предположим противное, т. е. какое-то число `a` является пределом этой последовательности. Тогда для `epsilon=1` найдётся такое число `k`, что `|x_n-a| k`. Пусть номер `N>k`, тогда `|x_N-a| oo)y_n!=0`). При этом

Ограничимся доказательством пункта 2. Фиксируем произвольное `epsilon>0`. Нам нужно показать, что существует такое число `k`, что `|x_ny_n-ab| k`. По теореме 2.1 последовательности `(x_n)` и `(y_n)` ограничены; тем самым найдётся такое `C>0`, что `|x_n| k_1`, а также число `k_2` такое, что `|y_n-b| k_2`. Если положить `k=max`, то при `n>k` имеем:

`|x_ny_n-ab| oo)cx_n=clim_(n->oo)x_n` для любого `cinR`.

В самом деле, рассмотрим последовательность `y_n=c`. Поскольку `lim_(n->oo)y_n=c` (пример 2.1), то по пункту 2 теоремы 2.2

Показать, что `lim_(n->oo) 1/(n^2)=0`.

Поскольку `lim_(n->oo) 1/n=0`, то по пункту 2 теоремы 2.2

`lim_(n->oo) 1/(n^2)=lim_(n->oo) 1/n*lim_(n->oo) 1/n=0`.

Теорему 2.2 можно обобщить на произвольное (конечное) число слагаемых (сомножителей). В частности, `lim_(n->oo)1/n^m=0` для любого `m inN`.

Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через `x_n`. В числителе и знаменателе `x_n` стоят последовательности, не являющиеся ограниченными (доказывается аналогично примеру 1.6). По теореме 2.1 они не имеют предела и теорема о пределе частного (теорема 2.2 3)) «напрямую» здесь неприменима. Поступим следующим образом: поделим числитель и знаменатель на наибольшую степень `n`. По формулам сокращённого умножения `(n+2)^3-n(n-1)^2=8n^2+11n+8`, так что `x_n` можно переписать в виде:

Теперь в числителе и знаменателе `x_n` стоят сходящиеся последовательности:

По пункту 3 теоремы 2.2

Следующее полезное свойство пределов известно под названием теоремы о «зажатой» последовательности.

Для данного `epsilon>0` существует такое число `k_1`, что члены `x_n` лежат в интервале `(a-epsilon, a+epsilon)` при всех `n>k_1`, и существует такое число `k_2`, что члены `z_n` лежат в интервале `a-epsilon;a+epsilon)` при всех `n>k_2`. Положим `k=max`. Тогда при `n>k` одновременно `x_n in(a-epsilon;a+epsilon)` и `z_n in(a-epsilon;a+epsilon)` и, следовательно, `a-epsilon oo)x_n=1`.

Попробуем «зажать» `x_n` между членами последовательностей, сходящихся к одному и тому же числу, и применим теорему 2.3.

`sqrt(n^2+n) 1/(n+1) iff n/(sqrt(n^2+n))>n/(n+1)`.

Учитывая `n/(sqrt(n^2+1)) oo)n/(n+1)=1` и `lim_(n->oo)1=1`, по теореме 2.3 `lim_(n->oo)x_n=1`.

Если для любого `n inN`, `n>=n_0` выполняется неравенство `a_n oo)a_n=a`, `lim_(n->oo)b_n=b`, то `a b`. По определению предела для `epsilon=(a-b)/2` найдутся такие `k_1`, `k_2`, что для `n>k_1` выполняется `|a_n-a| k_2` выполняется `|b_n-b| k` имеем `b_n oo)1/n=0`.

В теории пределов важную роль играет следующий факт.

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Эта теорема эквивалентна свойству полноты множества действительных чисел. Образно говоря, свойство полноты означает, что числовая ось является «сплошным» множеством, множеством без «дырок».

Источник

Предел последовательности

п.1. Определение последовательности

С понятием «последовательность» мы уже познакомились, когда изучали прогрессии (см. §24 справочника для 9 класса). По определению:

Т.е., числовая последовательность – это некий набор чисел с присвоенными им порядковыми номерами. Это набор можно задать формулой, описанием или просто перечислением.

Например:
1) Формула \(y_n=\frac1n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность дробей:

2) Формула \(y_n=(-1)^n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность «прыгающих» единиц:

3) Рекуррентная формула \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_(n+2)=y_(n+1)+y_n\) задает бесконечную последовательность чисел Фибоначчи:

4) Описание «число π точностью до \(10^<-n>\)» задает бесконечную последовательность все более «подробных» значений числа π:

Этот ряд можно также задать формулой \(y_n=\frac<[\pi\cdot 10^n]><10^n>\), где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

п.2. Предел последовательности

Поведение последовательности «на длинных дистанциях» может быть неочевидным. Чтобы лучше понять, возрастает или убывает заданный ряд чисел, ограничен ли он какой-либо величиной или уходит на бесконечность, проще всего построить график.

1) \(y_n=\frac1n\)
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число
Последовательность сходится к 0
2) \(y_n=(-1)^n\)
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число
Последовательность ни к чему не сходится
3) числа Фибоначчи \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_=y_+y_n\)
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число
Последовательность уходит на бесконечность
4) приближения числа π
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число
Последовательность сходится к π

п.3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?

\(\varepsilon\)0,10,010,0010,00010,000010,000001
\(N_<\varepsilon>\)797997999799997999997
\(\lg \varepsilon\)-1-2-3-4-5-6
\(\lg N_<\varepsilon>\)0,8451,9872,9994,0005,0006,000

И построим график (в логарифмическом масштабе):
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число
Мы видим, что чем меньше ε, тем больше \(N_<\varepsilon>\). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_\frac<1>=0\)
Ведь для любого сколь угодно малого \(\varepsilon\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_<\varepsilon>=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_<\varepsilon>\) разность \(\left|\frac<1>-0\right|\), т.е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.

Построенный график интересен еще и тем, что показывает одно из важных практических применений логарифмов: если разбросы по шкалам очень велики, отличаются на порядки, то графики удобней строить в десятичных логарифмах.
Такие графики часто можно увидеть у физиков-ядерщиков, копающих вглубь, от нанометров до планковских длин; или у астрономов, всматривающихся вдаль, от тысяч километров до гигапарсек.

п.4. Ограниченные и неограниченные последовательности

п.5. Как доказать неограниченность последовательности?

Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_n^2=+\infty\)
Ведь для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=[\sqrt]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=n^2\gt M\), т.е. члены последовательности становятся ещё больше.

п.6. Примеры

ε0,10,010,0010,00010,000010,000001
\(N_<\varepsilon>\)151281253125031250031250003

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac12\left(\frac<5><2\varepsilon>+3\right)\right]+1\), начиная с которого
\(\left|\frac<3-2n>+\frac12\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 2\).
Что и требовалось доказать.

Показанный приём с усилением неравенства часто применяется в математическом анализе. Найденное \(N_<\varepsilon>\) немного больше «точного» значения, которое следует из исходной дроби \(\frac<3(3n^2+n+1)>\), но наша задача в том, чтобы обоснованно построить любое выражение для стартового номера \(N_<\varepsilon>\) в зависимости от ε.
Если найденный номер будет немного больше исходного – не страшно; главное, чтобы он 1) был обоснован; 2) гарантировал размещение всех последующих \(y_n,\ n\geq N_<\varepsilon>\) в ε окрестности предела b.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac<1><3\sqrt<\varepsilon>>\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3n^2+n+1>-\frac13\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 3\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[-\log_3\varepsilon\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3^n+1><3^n>-1\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

ε0,10,010,0010,00010,000010,000001
\(N_<\varepsilon>\)23623960239960024·10 84·10 10

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\left(\frac<1><5\varepsilon>-1\right)^2\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<\sqrt><5\sqrt+1>-\frac15\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

Пример 2. Используя определения неограниченной последовательности, докажите, что:
a) \( \lim_2^n=+\infty \)
По условию: \(y_n=2^n\)
Записываем неравенство \(|y_n|\gt M\):
\begin 2^n\gt M\Rightarrow n\gt \log_2M\\ N_M=\left[\log_2M\right]+1 \end Например:

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[\log_2M\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=2^n\gt M\).
Что и требовалось доказать.

M101001 00010 000100 0001 000 000
NM10010 0001 000 00010 810 1010 12

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[M^2\right]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=\sqrt\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Источник

Числовая последовательность.
Как найти предел последовательности?

На данном уроке мы узнаем много интересного из жизни участников большого сообщества под названием Вконтакте числовые последовательности. Рассматриваемая тема относится не только к курсу математического анализа, но и затрагивает основы дискретной математики. Кроме того, материал потребуется для освоения других разделов вышки, в частности, в ходе изучения числовых рядов и функциональных рядов. Можно банально сказать, что это важно, можно ободряюще сказать, что это просто, можно сказать ещё много дежурных фраз, однако сегодня первая, необыкновенно ленивая учебная неделя, поэтому меня жутко ломает сочинять первый абзац =) Уже в сердцАх сохранил файл и собрался спать, как вдруг… голову озарила идея чистосердечного признания, которое невероятно облегчило душу и подтолкнуло к дальнейшему стуку пальцами по клавиатуре.

Отвлечёмся от летних воспоминаний, и заглянем в этот увлекательный и позитивный мир новой социальной сети:

Понятие числовой последовательности

Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.

Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числопо некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Тогда говорят, что задана числовая последовательность Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.

При этом:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числоназывают первым членом последовательности;
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числовторым членом последовательности;
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числотретьим членом последовательности;

Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числоэнным или общим членом последовательности;

На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена, например:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– последовательность положительных чётных чисел:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Таким образом, запись Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числооднозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числов соответствие ставятся числа Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:

Последовательность положительных нечётных чисел Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Ещё одна распространённая последовательность Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.

На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– первый член, а Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числошаг арифметической прогрессии. Тогда:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– второй член данной прогрессии;
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– третий член данной прогрессии;
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– четвертый;
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– пятый;

И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Примечание: в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.

Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. В нашем случае:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Подставьте в формулу Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числонатуральные номера Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числои проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.

Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии, энный член которой задаётся формулой Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, где Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– первый член Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, а Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числознаменатель прогрессии Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. В заданиях по матану первый член частенько равен единице.

прогрессия Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числозадаёт последовательность Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число;
прогрессия Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числозадаёт последовательность Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число;
прогрессия Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числозадаёт последовательность Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число;
прогрессия Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числозадаёт последовательность Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.

Прогрессию называют бесконечно убывающей, если Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число(последние два случая).

Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:

Последовательность Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числона математическом жаргоне называют «мигалкой»:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Таким образом, члены последовательности могут повторяться. Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.

А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числозадаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Факториал: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число
Всего лишь свёрнутая запись произведения:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Отнюдь не графомания, пригодится для задач 😉 Рекомендую осмыслить-запомнить и даже переписать в тетрадь. …Пришёл тут в голову один вопрос: а почему никто не создаёт такие полезные граффити? Едет себе человек в поезде, смотрит в окно и изучает факториалы. Панки отдыхают =)

Возможно, некоторым читателям всё-таки ещё не до конца понятно, как расписать члены последовательности, зная общий член. Тот редкий случай, когда контрольный выстрел возвращает к жизни:

Разберёмся с последовательностью Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

Сначала подставим в энный член значение Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числои внимательно проведём вычисления:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Далее подставим в общий член Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Потом подставим следующий номер Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Четвёрку:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Чего уж, теперь и отличную отметку не зазорно заработать:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

и так далее… пока разогреется самый последний чайник!

Понятие предела последовательности. Простейшие примеры

Для лучшего осмысления нижеследующей информации желательно ПОНИМАТЬ, что такое предел функции. Конечно, в стандартном курсе математического анализа сначала рассматривают предел последовательности и только потом предел функции, но дело в том, что о самой сущности предела я уже подробно рассказывал. Более того, в теории числовая последовательность считается частным случаем функции, и людям, которые знакомы с пределом функции, будет заметно веселее.

Впрочем, дальше могут читать все-все-все, однако если у вас возникнет непонимание или недопонимание чего-либо, то, пожалуйста, начните с пределов функций.

Пригласим на танец незамысловатую подругу Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой.

В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности через так называемую эпсилон-окрестность. Этому определению будет посвящёна следующая статья, а пока что разберём его смысл:

Изобразим на числовой прямой члены последовательности Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числои симметричную относительно нуля (предела) Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число-окрестность:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число
Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числоявляется пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число-окрестности (сколь угодно малой) внутри неё окажется бесконечно много членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью зайти в данную окрестность.

Последовательность Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числотоже бесконечно малА: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числос той разницей, что её члены не прыгают туда-сюда, а подбираются к пределу исключительно справа.

Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке».

Если у последовательности Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числосуществует конечный предел Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число). В противном случае – расходящейся, при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой. Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:

Последовательности Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числоявляются бесконечно большими, поскольку их члены уверенным ходом продвигаются к «плюс бесконечности»:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Арифметическая прогрессия с первым членом Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числои шагом Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числотоже бесконечно великА:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

К слову, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числобесконечно добавляется Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом.

У последовательностей Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числосхожая судьба:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как ясно уже из названия, бесконечно малА:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Если знаменатель геометрической прогрессии Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, то последовательность бесконечно великА:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Если же Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, например, Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, то предела Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числовообще не существует, так как члены Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числобез устали прыгают то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности». А здравый смысл и теоремы матана подсказывают, что если что-то куда-то и стремится, то это заветное место единственно.

После небольшого разоблачения Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числостановится понятно, что в безудержных метаниях виновата «мигалка», которая, кстати, расходится и сама по себе.
Действительно, для последовательности Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числолегко подобрать Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число-окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью заходить в ЛЮБУЮ Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число-окрестность своего предела. Вывод: предела Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числоне существует.

Факториал Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числоявляется бесконечно большой последовательностью:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Причём, растёт он как на дрожжах, так, Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числопредставляет собой число, у которого более 100 цифр (разрядов)! Почему именно 70? На нём просит пощады мой инженерный микрокалькулятор.

С контрольным выстрелом всё чуть сложнее, и мы как раз подошли к практической части лекции, в которой разберём боевые примеры:

Как найти предел последовательности?

А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремиться только к «плюс бесконечности» – в сторону увеличения натуральных номеров Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.
В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.

Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.

По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.

Начнём с прогрессий:

Найти предел последовательности
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Решение: нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Так как Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. В данном случае: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– первый член, Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– знаменатель прогрессии.

Главное, совладать с четырёхэтажностью дроби:

Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числов числителе потребуется применить формулу суммы Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числопервых членов арифметической прогрессии:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, где Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– первый, а Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– энный член прогрессии.

Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– одна из самых популярных.
И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций
!

Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Как вычислить эти пределы? Смотрите Примеры № 1-3 урока Пределы. Примеры решений.

А может быть что-нибудь посложнее наподобие Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число? Ознакомьтесь с Примером № 3 статьи Методы решения пределов.

С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн».
Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.

Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Как решать пределы вроде Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числоможно узнать из Примеров № 11-13 той же статьи.

Чтобы разобраться с пределом Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, обратитесь к Примеру № 7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.

Следующие четыре примера (№ 3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:

Найти предел последовательности
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Решение: сначала полное решение, потом пошаговые комментарии:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

(1) В числителе дважды используем формулу Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.

(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число(«эн» в старшей степени).

Как видите, ничего сложного.

Найти предел последовательности
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.

В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:

Найти предел последовательности
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Решение оформим по той же схеме:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

(1) Используя свойства степеней, вынесем из показателей всё лишнее, оставив там только «эн».

(2) Смотрим, какие показательные последовательности есть в пределе: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числои выбираем последовательность с наибольшим основанием: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. В целях устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

(3) В числителе и знаменателе проводим почленное деление. Поскольку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числоявляется бесконечно убывающей геометрической прогрессией Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, то она стремится к нулю. И тем более к нулю стремится константа, делённая на растущую прогрессию: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Делаем соответствующие пометки и записываем ответ.

Найти предел последовательности
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Это пример для самостоятельного решения.

Как-то незаслуженно остался в забвении стильный почерк, присущий только пределу последовательности. Пора исправить ситуацию:

Найти предел последовательности
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Решение: чтобы избавиться от «вечного соперника» Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числонужно расписать факториалы в виде произведений. Но прежде, чем приступить к математическому граффити, рассмотрим конкретный пример, например: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

Последним множителем в произведении идёт шестёрка. Что нужно сделать, чтобы получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: 6 – 1 = 5. Чтобы получить множитель, который располагается ещё дальше, нужно из пятёрки ещё раз вычесть единичку: 5 – 1 = 4. И так далее.

Не беспокойтесь, это не урок в первом классе коррекционной школы, на самом деле мы знакомимся с важным и универсальным алгоритмом под названием «как разложить любой факториал». Давайте разделаемся с самым злостным флудером нашего чата: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Очевидно, что последним множителем в произведении будет Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

Как получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Как достать прадедушку? Ещё раз вычесть единицу: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

Ну и ещё на один шаг продвинемся вглубь: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Таким образом, наше чудовище распишется следующим образом:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

С факториалами числителя всё проще, так, мелкие хулиганы.

Оформляем решение:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

(1) Расписываем факториалы

(2) В числителе ДВА слагаемых. Выносим за скобки всё, что можно вынести, в данном случае это произведение Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Квадратные скобки, как я где-то пару раз говорил, отличаются от круглых скобок только своей квадратностью.

(3) Сокращаем числитель и знаменатель на Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число…. …хммм, флуда тут и впрямь много.

(4) Упрощаем числитель

(5) Сокращаем числитель и знаменатель на Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Тут в известной степени повезло. В общем случае вверху и внизу получаются заурядные многочлены, после чего приходится выполнять стандартное действие – делить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени.

Более подготовленные студенты, которые легко раскладывают факториалы в уме, могут решить пример значительно быстрее. На первом шаге делим почленно числитель на знаменатель и мысленно выполняем сокращения:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Но способ с разложением всё-таки более основателен и надёжен.

Найти предел последовательности
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Это пример для самостоятельного решения.

Желающие набить руку на рассмотренных типах пределов могут обратиться к сборнику Кузнецова. Около 150 прорешанных примеров можно найти здесь >>> (задачи № 2-6).

Как и в любом обществе, среди числовых последовательностей попадаются экстравагантные личности.

Теорема: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность – есть бесконечно малая последовательность.

Если вам не очень понятен термин «ограниченность», пожалуйста, изучите статью об элементарных функциях и графиках.

Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.

Найти предел последовательности
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Решение: последовательность Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– ограничена: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, а последовательность Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– бесконечно малА, значит, по соответствующей теореме:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Просто и со вкусом. Да-да, так и оформляем.

Найти предел последовательности
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Это пример для самостоятельного решения.

Ещё две распространённые ограниченные функции – арктангенс и арккотангенс:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Аргументы перечисленных тригонометрических функций могут быть заполнены знатной абракадаброй, но это не должно приводить в панику – существенно то, что последовательности ограничены!

Иногда в ходе вычисления пределов последовательностей приходится использовать довольно неожиданные приёмы:

Найти предел последовательности
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Решение: неопределённость Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числоможно раскрутить двумя способами. Первый путь – через первый замечательный предел, который справедлив, как ни странно, и для последовательностей:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

(1) Используем формулу Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

(2) Избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице.

(3) Неопределённость Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числоне устранена, но теперь вместо тангенса у нас синус, и появляется возможность организовать 1-й замечательный предел. Проводим стандартный искусственный приём: делим всё выражение на Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числои, чтобы ничего не изменилось, домножаем на Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

(4) Используем первый замечательный предел Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, при этом, в качестве бесконечно малой величины выступает Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, которая, понятно, стремится к нулю при Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

Прокатывает и 2-й метод решения – через замечательные эквивалентности:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Заменим бесконечно малую последовательность эквивалентной:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числопри Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.
В данном случае Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Найти предел последовательности
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Это пример для самостоятельного решения. Здесь аргумент арктангенса также бесконечно мал, поскольку его знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель. Решать, разумеется, значительно выгоднее через замечательную эквивалентность.

Оба рассмотренных примера справедливы и для функций, похожие пределы также разобраны в Примерах 12-13 урока о бесконечно малых величинах.

В заключение урока рассмотрим ещё один важный вопрос:

Как найти предел знакочередующейся последовательности?

Такая последовательность уже неоднократно встречалась в статье, например, первая скрипка теоретического параграфа Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

Действительно, как аналитически найти предел знакочередующейся последовательности, если знак то «плюс», то «минус»?

И я, наконец-то, заряжаю в свой револьвер тот самый волшебный патрон:

Найти предел последовательности Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Решение: на первом шаге следует найти предел последовательности Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, которая составлена из модулей членов. Знак модуля уничтожает возможный минус, поэтому чтобы получить Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, нужно попросту убрать множитель, обеспечивающий знакочередование. Чаще всего это «мигалка»:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Теперь как ни в чём не бывало, вымучиваем наш обычный предел:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Получено конечное число. Очевидно, что знакочередование не поменяет сути – члены последовательности будут «прыгать» вокруг своего предела, бесконечно близко приближаясь к нему. Собственно, это проиллюстрировано на единственном рисунке данного урока.

Ситуация принципиально такая же, как, например, у более простых последовательностей Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

Ответ: так как последовательность является знакочередующейся и Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, то Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

Если в ходе исследования знакочередующейся последовательности Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числополучен бесконечный результат Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число(или если предела нет), то у последовательности Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числопредела не существует вообще. Такой инцидент напоминает историю с Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.

Наше увлекательное путешествие в мир последовательностей подошло к концу и, надеюсь, оно составило достойную конкуренцию Вконтакте =) =) =)

Пример 2: Решение:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число
Найдём предел последовательности:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число
Используем формулу суммы Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числопервых членов арифметической прогрессии Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.
В данном случае Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Пример 4: Решение:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Пример 6: Решение:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Пример 8: Решение:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Пример 10: Решение: последовательность Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число– ограничена: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, а последовательность Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число, значит, по соответствующей теореме:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Пример 12: Решение:
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число
Заменим бесконечно малую эквивалентной: Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом числопри Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.
В данном примере Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число.
Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть фото Как доказать что последовательность имеет пределом число. Смотреть картинку Как доказать что последовательность имеет пределом число. Картинка про Как доказать что последовательность имеет пределом число. Фото Как доказать что последовательность имеет пределом число Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *