Как доказать что предела не существует

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Доказать НЕ существование пределов функций

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Последний раз редактировалось Deggial 12.05.2013, 10:13, всего редактировалось 4 раз(а).
формулы поправил

Необходимо доказать, что предела не существует.

Заслуженный участник
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Последний раз редактировалось gris 11.01.2013, 19:26, всего редактировалось 2 раз(а).

Пределы удобнее записывыть так: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Админ форума
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

iТема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Последний раз редактировалось Gudsaf 11.01.2013, 18:48, всего редактировалось 1 раз.

Верно, во втором под знаком предела должно быть Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует(простите, спешил).

Что можете ещё посоветовать в заданиях данного типа? Какие иные методы,

Заслуженный участник
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Последний раз редактировалось gris 11.01.2013, 19:25, всего редактировалось 3 раз(а).

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Заслуженный участник
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Последний раз редактировалось gris 12.01.2013, 09:27, всего редактировалось 1 раз.

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Заслуженный участник
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Как доказать что предела не существует

`|x_n-a| oo) x_n=a` (читается: предел `x_n` при `n`, стремящемся к бесконечности, равен `a`). Последовательность, называется сходящейся, если существует число `a`, являющееся её пределом. Если такого числа `a` не существует, то последовательность называется расходящейся.

Часто в определении предела полагают число `k` натуральным. Однако, как нетрудно понять, получится эквивалентное определение.

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Пусть выбрано произвольное `epsilon>0`. Нам нужно найти такое число `k`, что при всех `n>k` выполнялось бы неравенство `|x_n-c| k` имеет место неравенство `|x_n-c| oo)x_n=c`.

В разобранном примере число `k` удалось выбрать так, чтобы оно годилось сразу для всех `epsilon`. Такой случай не типичен.

Доказать, что `lim_(n->oo)1/n=0`.

Могут ли два разных числа быть пределами одной и той же последовательности?

Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`. Имеет ли предел последовательность `(x_(n+1))`?

Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`, `epsilon>o`. Можно ли утверждать, что найдётся такое число `k`, что `|x_n-a| k`?

Да. Поскольку `lim_(n->oo)x_n=a`, то по определению предела для любого положительного числа `alpha`, а следовательно, и для `alpha=epsilon//2`, найдётся число `k`, такое что `|x_n-a|k`.

Сформулируем необходимое условие существования предела.

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказать, что последовательность `x_n=(-1)^n` не имеет предела.

Предположим противное, т. е. какое-то число `a` является пределом этой последовательности. Тогда для `epsilon=1` найдётся такое число `k`, что `|x_n-a| k`. Пусть номер `N>k`, тогда `|x_N-a| oo)y_n!=0`). При этом

Ограничимся доказательством пункта 2. Фиксируем произвольное `epsilon>0`. Нам нужно показать, что существует такое число `k`, что `|x_ny_n-ab| k`. По теореме 2.1 последовательности `(x_n)` и `(y_n)` ограничены; тем самым найдётся такое `C>0`, что `|x_n| k_1`, а также число `k_2` такое, что `|y_n-b| k_2`. Если положить `k=max`, то при `n>k` имеем:

`|x_ny_n-ab| oo)cx_n=clim_(n->oo)x_n` для любого `cinR`.

В самом деле, рассмотрим последовательность `y_n=c`. Поскольку `lim_(n->oo)y_n=c` (пример 2.1), то по пункту 2 теоремы 2.2

Показать, что `lim_(n->oo) 1/(n^2)=0`.

Поскольку `lim_(n->oo) 1/n=0`, то по пункту 2 теоремы 2.2

`lim_(n->oo) 1/(n^2)=lim_(n->oo) 1/n*lim_(n->oo) 1/n=0`.

Теорему 2.2 можно обобщить на произвольное (конечное) число слагаемых (сомножителей). В частности, `lim_(n->oo)1/n^m=0` для любого `m inN`.

Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через `x_n`. В числителе и знаменателе `x_n` стоят последовательности, не являющиеся ограниченными (доказывается аналогично примеру 1.6). По теореме 2.1 они не имеют предела и теорема о пределе частного (теорема 2.2 3)) «напрямую» здесь неприменима. Поступим следующим образом: поделим числитель и знаменатель на наибольшую степень `n`. По формулам сокращённого умножения `(n+2)^3-n(n-1)^2=8n^2+11n+8`, так что `x_n` можно переписать в виде:

Теперь в числителе и знаменателе `x_n` стоят сходящиеся последовательности:

По пункту 3 теоремы 2.2

Следующее полезное свойство пределов известно под названием теоремы о «зажатой» последовательности.

Для данного `epsilon>0` существует такое число `k_1`, что члены `x_n` лежат в интервале `(a-epsilon, a+epsilon)` при всех `n>k_1`, и существует такое число `k_2`, что члены `z_n` лежат в интервале `a-epsilon;a+epsilon)` при всех `n>k_2`. Положим `k=max`. Тогда при `n>k` одновременно `x_n in(a-epsilon;a+epsilon)` и `z_n in(a-epsilon;a+epsilon)` и, следовательно, `a-epsilon oo)x_n=1`.

Попробуем «зажать» `x_n` между членами последовательностей, сходящихся к одному и тому же числу, и применим теорему 2.3.

`sqrt(n^2+n) 1/(n+1) iff n/(sqrt(n^2+n))>n/(n+1)`.

Учитывая `n/(sqrt(n^2+1)) oo)n/(n+1)=1` и `lim_(n->oo)1=1`, по теореме 2.3 `lim_(n->oo)x_n=1`.

Если для любого `n inN`, `n>=n_0` выполняется неравенство `a_n oo)a_n=a`, `lim_(n->oo)b_n=b`, то `a b`. По определению предела для `epsilon=(a-b)/2` найдутся такие `k_1`, `k_2`, что для `n>k_1` выполняется `|a_n-a| k_2` выполняется `|b_n-b| k` имеем `b_n oo)1/n=0`.

В теории пределов важную роль играет следующий факт.

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Эта теорема эквивалентна свойству полноты множества действительных чисел. Образно говоря, свойство полноты означает, что числовая ось является «сплошным» множеством, множеством без «дырок».

Источник

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности n>, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности n> значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности n)> имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует(6.12)

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует(6.13)

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует(6.14)

в частности предел,

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а. Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если предел

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует(6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = xo функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(xo)= f(0) не определено, поэтому в точке xo = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке xo, если предел

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

и непрерывной слева в точке xo, если предел

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Непрерывность функции в точке xo равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке xo, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(xo). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетсуществует и не равен f(xo), то говорят, что функция f(x) в точке xo имеет разрыв первого рода, или скачок.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Пример 3.3. Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. Найти Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Решение.Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4. Найти (Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует).

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетКак доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Пример 3.6. Доказать, что предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетне существует.

Если xn= p n, то sin xn= sin ( p n) = 0 при всех n и предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетЕсли же
xn=2 p n+ p /2, то sin xn= sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. Таким образом, Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетне существует.

Пример 3.7 Найти предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Решение. Имеем: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. Обозначим t = 5x. При x →0 имеем: t →0. Применяя формулу (3.10), получим Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Пример 3.8. Вычислить предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Решение. Обозначим y=π-x. Тогда при x→π, y→0. Имеем:

sin 3x = sin 3(π-y) = sin(3π-3y) = sin 3y.

Предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетКак доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Пример 3.9. Найти предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x→0, t→0. Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Пример 3.10. Найти 1) Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует;

2) Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует;

3) Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

1) Применяя теорему 1 предел разности и предел произведения, находим предел знаменателя: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 предел частного, получаем:

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

2) Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ≠ 2 равенство:

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Так как предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, то, по теореме предел частного, найдем

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

3. Числитель и знаменатель при x → ∞ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема предел частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x 2 и к полученной функции применим теорему предел частного:

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Пример 3.11. Найти предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю:Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, x-9→0, т.е. имеем неопределенность вида Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, получим

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Пример 3.12. Найти предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Решение.Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Источник

Числовая последовательность.
Как найти предел последовательности?

На данном уроке мы узнаем много интересного из жизни участников большого сообщества под названием Вконтакте числовые последовательности. Рассматриваемая тема относится не только к курсу математического анализа, но и затрагивает основы дискретной математики. Кроме того, материал потребуется для освоения других разделов вышки, в частности, в ходе изучения числовых рядов и функциональных рядов. Можно банально сказать, что это важно, можно ободряюще сказать, что это просто, можно сказать ещё много дежурных фраз, однако сегодня первая, необыкновенно ленивая учебная неделя, поэтому меня жутко ломает сочинять первый абзац =) Уже в сердцАх сохранил файл и собрался спать, как вдруг… голову озарила идея чистосердечного признания, которое невероятно облегчило душу и подтолкнуло к дальнейшему стуку пальцами по клавиатуре.

Отвлечёмся от летних воспоминаний, и заглянем в этот увлекательный и позитивный мир новой социальной сети:

Понятие числовой последовательности

Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.

Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетпо некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. Тогда говорят, что задана числовая последовательность Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.

При этом:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетназывают первым членом последовательности;
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетвторым членом последовательности;
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуеттретьим членом последовательности;

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетэнным или общим членом последовательности;

На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена, например:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– последовательность положительных чётных чисел:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Таким образом, запись Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетоднозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетв соответствие ставятся числа Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:

Последовательность положительных нечётных чисел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Ещё одна распространённая последовательность Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.

На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– первый член, а Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетшаг арифметической прогрессии. Тогда:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– второй член данной прогрессии;
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– третий член данной прогрессии;
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– четвертый;
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– пятый;

И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Примечание: в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.

Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. В нашем случае:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Подставьте в формулу Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетнатуральные номера Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуети проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.

Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии, энный член которой задаётся формулой Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, где Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– первый член Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, а Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетзнаменатель прогрессии Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. В заданиях по матану первый член частенько равен единице.

прогрессия Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетзадаёт последовательность Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует;
прогрессия Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетзадаёт последовательность Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует;
прогрессия Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетзадаёт последовательность Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует;
прогрессия Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетзадаёт последовательность Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.

Прогрессию называют бесконечно убывающей, если Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует(последние два случая).

Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:

Последовательность Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетна математическом жаргоне называют «мигалкой»:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Таким образом, члены последовательности могут повторяться. Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.

А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетзадаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Факториал: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует
Всего лишь свёрнутая запись произведения:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Отнюдь не графомания, пригодится для задач 😉 Рекомендую осмыслить-запомнить и даже переписать в тетрадь. …Пришёл тут в голову один вопрос: а почему никто не создаёт такие полезные граффити? Едет себе человек в поезде, смотрит в окно и изучает факториалы. Панки отдыхают =)

Возможно, некоторым читателям всё-таки ещё не до конца понятно, как расписать члены последовательности, зная общий член. Тот редкий случай, когда контрольный выстрел возвращает к жизни:

Разберёмся с последовательностью Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Сначала подставим в энный член значение Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуети внимательно проведём вычисления:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Далее подставим в общий член Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Потом подставим следующий номер Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Четвёрку:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Чего уж, теперь и отличную отметку не зазорно заработать:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

и так далее… пока разогреется самый последний чайник!

Понятие предела последовательности. Простейшие примеры

Для лучшего осмысления нижеследующей информации желательно ПОНИМАТЬ, что такое предел функции. Конечно, в стандартном курсе математического анализа сначала рассматривают предел последовательности и только потом предел функции, но дело в том, что о самой сущности предела я уже подробно рассказывал. Более того, в теории числовая последовательность считается частным случаем функции, и людям, которые знакомы с пределом функции, будет заметно веселее.

Впрочем, дальше могут читать все-все-все, однако если у вас возникнет непонимание или недопонимание чего-либо, то, пожалуйста, начните с пределов функций.

Пригласим на танец незамысловатую подругу Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой.

В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности через так называемую эпсилон-окрестность. Этому определению будет посвящёна следующая статья, а пока что разберём его смысл:

Изобразим на числовой прямой члены последовательности Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуети симметричную относительно нуля (предела) Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует-окрестность:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует
Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетявляется пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует-окрестности (сколь угодно малой) внутри неё окажется бесконечно много членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью зайти в данную окрестность.

Последовательность Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуеттоже бесконечно малА: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетс той разницей, что её члены не прыгают туда-сюда, а подбираются к пределу исключительно справа.

Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке».

Если у последовательности Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетсуществует конечный предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует). В противном случае – расходящейся, при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой. Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:

Последовательности Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетявляются бесконечно большими, поскольку их члены уверенным ходом продвигаются к «плюс бесконечности»:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Арифметическая прогрессия с первым членом Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуети шагом Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуеттоже бесконечно великА:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

К слову, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетбесконечно добавляется Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом.

У последовательностей Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетсхожая судьба:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как ясно уже из названия, бесконечно малА:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Если знаменатель геометрической прогрессии Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, то последовательность бесконечно великА:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Если же Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, например, Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, то предела Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетвообще не существует, так как члены Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетбез устали прыгают то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности». А здравый смысл и теоремы матана подсказывают, что если что-то куда-то и стремится, то это заветное место единственно.

После небольшого разоблачения Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетстановится понятно, что в безудержных метаниях виновата «мигалка», которая, кстати, расходится и сама по себе.
Действительно, для последовательности Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетлегко подобрать Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует-окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью заходить в ЛЮБУЮ Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует-окрестность своего предела. Вывод: предела Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетне существует.

Факториал Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетявляется бесконечно большой последовательностью:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Причём, растёт он как на дрожжах, так, Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетпредставляет собой число, у которого более 100 цифр (разрядов)! Почему именно 70? На нём просит пощады мой инженерный микрокалькулятор.

С контрольным выстрелом всё чуть сложнее, и мы как раз подошли к практической части лекции, в которой разберём боевые примеры:

Как найти предел последовательности?

А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремиться только к «плюс бесконечности» – в сторону увеличения натуральных номеров Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.
В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.

Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.

По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.

Начнём с прогрессий:

Найти предел последовательности
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Решение: нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Так как Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. В данном случае: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– первый член, Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– знаменатель прогрессии.

Главное, совладать с четырёхэтажностью дроби:

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетв числителе потребуется применить формулу суммы Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетпервых членов арифметической прогрессии:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, где Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– первый, а Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– энный член прогрессии.

Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– одна из самых популярных.
И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций
!

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Как вычислить эти пределы? Смотрите Примеры № 1-3 урока Пределы. Примеры решений.

А может быть что-нибудь посложнее наподобие Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует? Ознакомьтесь с Примером № 3 статьи Методы решения пределов.

С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн».
Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.

Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. Как решать пределы вроде Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетможно узнать из Примеров № 11-13 той же статьи.

Чтобы разобраться с пределом Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, обратитесь к Примеру № 7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.

Следующие четыре примера (№ 3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:

Найти предел последовательности
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Решение: сначала полное решение, потом пошаговые комментарии:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

(1) В числителе дважды используем формулу Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.

(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует(«эн» в старшей степени).

Как видите, ничего сложного.

Найти предел последовательности
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.

В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:

Найти предел последовательности
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Решение оформим по той же схеме:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

(1) Используя свойства степеней, вынесем из показателей всё лишнее, оставив там только «эн».

(2) Смотрим, какие показательные последовательности есть в пределе: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуети выбираем последовательность с наибольшим основанием: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. В целях устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

(3) В числителе и знаменателе проводим почленное деление. Поскольку Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетявляется бесконечно убывающей геометрической прогрессией Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, то она стремится к нулю. И тем более к нулю стремится константа, делённая на растущую прогрессию: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. Делаем соответствующие пометки и записываем ответ.

Найти предел последовательности
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Это пример для самостоятельного решения.

Как-то незаслуженно остался в забвении стильный почерк, присущий только пределу последовательности. Пора исправить ситуацию:

Найти предел последовательности
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Решение: чтобы избавиться от «вечного соперника» Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетнужно расписать факториалы в виде произведений. Но прежде, чем приступить к математическому граффити, рассмотрим конкретный пример, например: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Последним множителем в произведении идёт шестёрка. Что нужно сделать, чтобы получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: 6 – 1 = 5. Чтобы получить множитель, который располагается ещё дальше, нужно из пятёрки ещё раз вычесть единичку: 5 – 1 = 4. И так далее.

Не беспокойтесь, это не урок в первом классе коррекционной школы, на самом деле мы знакомимся с важным и универсальным алгоритмом под названием «как разложить любой факториал». Давайте разделаемся с самым злостным флудером нашего чата: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Очевидно, что последним множителем в произведении будет Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Как получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Как достать прадедушку? Ещё раз вычесть единицу: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Ну и ещё на один шаг продвинемся вглубь: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Таким образом, наше чудовище распишется следующим образом:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

С факториалами числителя всё проще, так, мелкие хулиганы.

Оформляем решение:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

(1) Расписываем факториалы

(2) В числителе ДВА слагаемых. Выносим за скобки всё, что можно вынести, в данном случае это произведение Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. Квадратные скобки, как я где-то пару раз говорил, отличаются от круглых скобок только своей квадратностью.

(3) Сокращаем числитель и знаменатель на Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует…. …хммм, флуда тут и впрямь много.

(4) Упрощаем числитель

(5) Сокращаем числитель и знаменатель на Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует. Тут в известной степени повезло. В общем случае вверху и внизу получаются заурядные многочлены, после чего приходится выполнять стандартное действие – делить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени.

Более подготовленные студенты, которые легко раскладывают факториалы в уме, могут решить пример значительно быстрее. На первом шаге делим почленно числитель на знаменатель и мысленно выполняем сокращения:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Но способ с разложением всё-таки более основателен и надёжен.

Найти предел последовательности
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Это пример для самостоятельного решения.

Желающие набить руку на рассмотренных типах пределов могут обратиться к сборнику Кузнецова. Около 150 прорешанных примеров можно найти здесь >>> (задачи № 2-6).

Как и в любом обществе, среди числовых последовательностей попадаются экстравагантные личности.

Теорема: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность – есть бесконечно малая последовательность.

Если вам не очень понятен термин «ограниченность», пожалуйста, изучите статью об элементарных функциях и графиках.

Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.

Найти предел последовательности
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Решение: последовательность Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– ограничена: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, а последовательность Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– бесконечно малА, значит, по соответствующей теореме:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Просто и со вкусом. Да-да, так и оформляем.

Найти предел последовательности
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Это пример для самостоятельного решения.

Ещё две распространённые ограниченные функции – арктангенс и арккотангенс:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Аргументы перечисленных тригонометрических функций могут быть заполнены знатной абракадаброй, но это не должно приводить в панику – существенно то, что последовательности ограничены!

Иногда в ходе вычисления пределов последовательностей приходится использовать довольно неожиданные приёмы:

Найти предел последовательности
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Решение: неопределённость Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетможно раскрутить двумя способами. Первый путь – через первый замечательный предел, который справедлив, как ни странно, и для последовательностей:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

(1) Используем формулу Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

(2) Избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице.

(3) Неопределённость Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетне устранена, но теперь вместо тангенса у нас синус, и появляется возможность организовать 1-й замечательный предел. Проводим стандартный искусственный приём: делим всё выражение на Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуети, чтобы ничего не изменилось, домножаем на Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

(4) Используем первый замечательный предел Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, при этом, в качестве бесконечно малой величины выступает Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, которая, понятно, стремится к нулю при Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Прокатывает и 2-й метод решения – через замечательные эквивалентности:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Заменим бесконечно малую последовательность эквивалентной:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетпри Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.
В данном случае Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Найти предел последовательности
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Это пример для самостоятельного решения. Здесь аргумент арктангенса также бесконечно мал, поскольку его знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель. Решать, разумеется, значительно выгоднее через замечательную эквивалентность.

Оба рассмотренных примера справедливы и для функций, похожие пределы также разобраны в Примерах 12-13 урока о бесконечно малых величинах.

В заключение урока рассмотрим ещё один важный вопрос:

Как найти предел знакочередующейся последовательности?

Такая последовательность уже неоднократно встречалась в статье, например, первая скрипка теоретического параграфа Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Действительно, как аналитически найти предел знакочередующейся последовательности, если знак то «плюс», то «минус»?

И я, наконец-то, заряжаю в свой револьвер тот самый волшебный патрон:

Найти предел последовательности Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Решение: на первом шаге следует найти предел последовательности Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, которая составлена из модулей членов. Знак модуля уничтожает возможный минус, поэтому чтобы получить Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, нужно попросту убрать множитель, обеспечивающий знакочередование. Чаще всего это «мигалка»:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Теперь как ни в чём не бывало, вымучиваем наш обычный предел:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Получено конечное число. Очевидно, что знакочередование не поменяет сути – члены последовательности будут «прыгать» вокруг своего предела, бесконечно близко приближаясь к нему. Собственно, это проиллюстрировано на единственном рисунке данного урока.

Ситуация принципиально такая же, как, например, у более простых последовательностей Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Ответ: так как последовательность является знакочередующейся и Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, то Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Если в ходе исследования знакочередующейся последовательности Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетполучен бесконечный результат Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует(или если предела нет), то у последовательности Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетпредела не существует вообще. Такой инцидент напоминает историю с Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.

Наше увлекательное путешествие в мир последовательностей подошло к концу и, надеюсь, оно составило достойную конкуренцию Вконтакте =) =) =)

Пример 2: Решение:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует
Найдём предел последовательности:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует
Используем формулу суммы Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетпервых членов арифметической прогрессии Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.
В данном случае Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Пример 4: Решение:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Пример 6: Решение:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Пример 8: Решение:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Пример 10: Решение: последовательность Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует– ограничена: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, а последовательность Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует, значит, по соответствующей теореме:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Пример 12: Решение:
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует
Заменим бесконечно малую эквивалентной: Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существуетпри Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.
В данном примере Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует.
Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Как доказать что предела не существует. Смотреть фото Как доказать что предела не существует. Смотреть картинку Как доказать что предела не существует. Картинка про Как доказать что предела не существует. Фото Как доказать что предела не существует Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *