Как доказать что прогрессия является бесконечно убывающей
Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и парадокс Зенона
Когда в общеобразовательных школах изучают свойства упорядоченных последовательностей чисел, то в обязательном порядке рассматривают так называемую убывающую бесконечную геометрическую прогрессию. Раскроем подробнее этот вопрос в статье.
Что такое геометрическая прогрессия?
Вам будет интересно: Future in the Past: правила речи, склонение, время, понятие, определения, особенности изучения и нюансы произношения
Исходя из определения этого вида прогрессии, можно n-й ее член найти, используя следующее выражение: an = a1*r(n-1), то есть достаточно знать знаменатель и первый член числового ряда.
Например, найдем 8-е число в геометрической прогрессии, приведенной выше. Имеем: a8 = a1*r7 = 1*47 = 16384.
Еще одной важной формулой для геометрической прогрессии является выражение для нахождения суммы ее n первых членов. Эта формула имеет вид: Sn = a1*(rn-1)/(r-1). Применим ее для нахождения суммы 8-ми чисел из последовательности выше. Получаем: S8 = 1*(48-1)/(4-1) = 21845.
Какие бывают геометрические прогрессии
В зависимости от знака и модуля знаменателя r выделяют 4 вида геометрической прогрессии:
Черепаха и Ахиллес (парадокс Зенона)
Где можно использовать результат, полученный в пункте выше? Например, при объяснении парадокса древнегреческого философа Зенона. Суть этого парадокса заключается в том, что Ахиллес (с древнегреческого языка это имя переводится, как «тот, кто обладает «легкими» ногами»), будучи самым быстрым воином, не может догнать черепаху.
Зенон рассуждал следующим образом: если черепаха будет впереди Ахиллеса, и они одновременно начнут движение, то когда воин достигнет места, откуда взяла старт черепаха, последняя уже отползет на некоторое расстояние, поэтому Ахиллесу придется снова его преодолевать (хотя оно и меньше, чем первоначальное). Пробежав новый отрезок пути, воин все равно окажется позади черепахи, ведь она опять проползет некоторую дистанцию. Так способом можно рассуждать до бесконечности.
Каждый из нас знает, что не только Ахиллес, но и любой человек, двигаясь пешком, обгонит черепаху. В чем же ошибся философ? Он не учел, что хотя сумма отрезков является бесконечной, она приводит к конечному числу S∞. Как только Ахиллес преодолеет расстояние S∞, он сразу же обгонит черепаху.
Любопытно отметить, что сам философ объяснял тот факт, что Ахиллес на практике все же обгоняет черепаху, тем, что движение и время являются иллюзией, и в реальности не существуют.
План урока по алгебре «Бесконечно убывающая прогрессия»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Тема урока: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Цель урока: ознакомление студентов с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
формулирование начального представления о пределе числовой последовательности; знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
развитие интеллектуальных качеств личности студентов такие, как логическое мышление, способность к оценочным действиям, обобщению;
воспитание активности, взаимопомощи, коллективизма, интереса к предмету.
Оборудование: конспект, учебник.
Тип урока: урок – усвоение новой темы.
Оборудование: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровень». Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др.
I . Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II . Актуализация знаний.
В 9 классе вы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии.
1. Определение арифметической прогрессии.
(Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).
( 
)
3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
( 
или 
)
4. Определение геометрической прогрессии.
(Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел,
каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на
одно и то же число).
( 
)
6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.
( 
)
7. Какие формулы вы еще знаете?
( 
, где 
; 
;
; 
, 
)
5. Для геометрической прогрессии 
найдите пятый член. 
III . Изучение новой темы (демонстрация презентации).
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов 
образующих геометрическую прогрессию со знаменателем 
.
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.
Например, последовательность площадей квадратов:
. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.
при 
.
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. 
.
С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой:
; 
.
; 
; 
; 
.
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б) 
данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: 
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1. 
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых. 
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна 
.
Если n неограниченно возрастает, то 
или 
. Поэтому 
, т.е. 
.
Например, для прогрессии 
,
имеем 
Так как 
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле 
.
III . Осмысление и закрепление (выполнение заданий).
№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV . Подведение итогов.
С какой последовательностью сегодня познакомились?
Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?
Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
1. Читать § 3. Конспектировать «розовые правила».
Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия
I. Орг. момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся. 1. Проверка домашнего задания.
1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Два ученика готовят записи формул у доски.
2) Остальные учащиеся выполняют математический диктант по теме «Формулы суммы».
1. Арифметическая прогрессия задана формулой an = 7 – 4n. Найдите a10. (-33)
3. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите a17. (-35)
4. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите S17. (-187)
5. Для геометрической прогрессии найдите пятый член.
6. Для геометрической прогрессии найдите n-й член.
9. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите S5. (62)
III. Изучение новой темы (демонстрация презентации).
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.
Например, последовательность площадей квадратов:
. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
III. Осмысление и закрепление (выполнение заданий).
Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.
Задача №3. учебник [1], стр. 160, №433(1)
Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.
1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555… /•10 2-й способ. 0,(5)=0,555…=
Задача №5. учебник [1], стр. 162, №445(3) (самостоятельное решение)
Геометрическая прогрессия
| Справочник по математике | Алгебра | Последовательности чисел |
| Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия |
называют знаменателем этой геометрической прогрессии.
По этой причине многие задачи на геометрическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел b1 и q.
Из формул (1) вытекает общая формула
| bk = b1qk – 1, k = 1, 2, 3, … | (2) |
позволяющая по любому номеру k вычислить член bk геометрической прогрессии, зная первый член и знаменатель прогрессии. Эта формула носит название формулы общего члена геометрической прогрессии.
Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство формулируется так: — «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство геометрической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство
которое называется формулой для суммы первых k членов геометрической прогрессии.
В случае, когда q = 1, все члены геометрической прогрессии равны, что не представляет особого интереса.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Напомним, что геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, , , …, , …, где, что для всех натуральных выполняется равенство, где . Число называется знаменателем геометрической последовательности, число –первым её членом, а число– общим её членом.
Однако среди геометрических прогрессий особый интерес вызывают так называемые бесконечно убывающие геометрические прогрессии. Давайте познакомимся с такими прогрессиями.
Начнём с примера. Итак, перед вами изображены квадраты.
Хотелось бы отметить, что стороны квадратов и их площади с возрастанием номера становятся всё меньше и всё больше приближаются к. Так вот, каждую из прогрессий, что мы с вами записали, называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Если мы заштрихуем все получающиеся таким образом прямоугольники, то понятно, что весь квадрат покроется штриховкой. Разумеется, сумма площадей всех заштрихованных прямоугольников будет равна единице. То есть …
Обратите внимание: в левой части нашего равенства стоит сумма бесконечного числа слагаемых.
Решение. По условию нам даны и прогрессии.
math4school.ru
Числовые последовательности (основные понятия)
Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число an, то говорят, что задано числовую последовательность:
Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.
Число a1 называют первым членом последовательности, число a2 — вторым членом последовательности, число a3 — третьим и так далее. Число an называют n-м членом последовательности, а натуральное число n — его номером.
Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной, если она имеет бесконечно много членов.
последовательность двузначных натуральных чисел:
Последовательность простых чисел:
Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью.
Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.
первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:
Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены
то предыдущая формула сохраняет свою структуру:
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S10 – S3 = (10 + 28) · (10 – 4 + 1)/2 = 133. ◄
Если дана арифметическая прогрессия, то величины a1, an, d, n и Sn связаны двумя формулами:
Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом: