Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Данная глава рассказывает о том, как найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью при заданных уравнениях, определяющих эту плоскость. Будет рассмотрено понятие точки пересечения прямой с плоскостью, два способа нахождения координат точки пересечения прямой с плоскостью.

Точка пересечения прямой и плоскости – определение

Для углубленного изучения теории необходимо начать рассмотрение с понятия точки, прямой, плоскости. Понятие о точке, прямой линии рассматривается как на плоскости, так и в пространстве. Для детального рассмотрения необходимо обратиться к теме о прямой и плоскости в пространстве.

Существует несколько вариаций расположения прямой относительно плоскости и пространства:

Если рассмотреть третий случай, то отчетливо видно, что прямая с плоскостью при пересечении образуют общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. рассмотрим данный случай на примере.

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости

Была введена прямоугольная система координат О х у z трехмерного пространства. Каждая прямая имеет свое собственное уравнение, а каждая плоскость соответствует своему заданному уравнению, каждая точка имеет определенное количество действительных чисел – координат.

Чтобы подробно разобраться в теме координат пересечения, необходимо знать все виды уравнения прямой в пространстве и уравнений плоскости. в данном случае пригодятся знания о переходе от одного вида уравнения к другому.

Рассмотрим задачу, которая основывается на заданном пересечении прямой и плоскости. она сводится к нахождению координат пересечений.

Когда точка принадлежит некоторой прямой, координаты точки пересечения являются решением обоих уравнения. Из определения имеем, что при пересечении образуется общая точка. Для решения задания необходимо подставить в оба уравнения координаты точки М 0 и вычислить. Если она является точкой пересечения, то оба уравнения будут соответствовать.

Ответ: заданная точка с координатами является точкой пересечения.

Если координаты точки пересечения являются решением обоих уравнений, то они пересекаются.

Первый способ нахождения координат пересечения прямой и плоскости.

Необходимые нам координаты прямой a и плоскости α должны удовлетворять обоим уравнениям. Таким образом задается система линейных уравнений, имеющая вид

A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Следует обратить внимание на тему решения систем линейных уравнений.

Так как определитель матрицы не равен нулю, система имеет только одно решение. Для этого мы применим метод Крамера. Он считается очень удобным и подходящим для данного случая.

Ответ: нет координат точки пересечения.

Применив метод Гауса, стало понятно, что равенство неверное, так как система уравнений решений не имеет.

Ответ: нет точек пересечения, так как прямая параллельна плоскости.

Подробнее этот способ будет рассмотрен на примерах, приведенных ниже.

Для решения системы, необходимо произвести подстановку. Тогда получаем, что

Источник

Точка пересечения прямой и плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямой и плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости задайте вид уравнения прямой («канонический» или «параметрический» ), введите данные в уравнения прямой и плоскости и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Точка пересечения прямой и плоскости − теория, примеры и решения

1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямая L1:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке,(1)

Найти точку пересечения прямой L1 и плоскости α (Рис.1).

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (2), (5), (6) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого в уравнении (2) переведем свободный член в правую часть уравнения и запишем эту систему в матричном виде:

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (2), (5), (6)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или на примерах ниже. Если система линейных уравнениий (7) несовместна, то прямая L1 и плоскость α не пересекаются. Если система (7) имеет множество решений, то прямая L1 лежит на плоскости α. Единственное решение системы линейных уравнений (7) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямой L1 и плоскости α.

Замечание. Если прямая задана параметрическим уравнением, то уранение прямой нужно приводить к каноническому виду и применить метод, описанный выше, или же

2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L1 в параметрическом виде:

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и плоскости α можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямой L1 к каноническому виду.

Для приведения уравнения (8) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

Так как левые части уравнений (10) равны, то можем записать:

Далее, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плоскости α решим совместно уравнения (8) и (9). Из уравнений (8) подставим x, y, z в (9):

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеКак доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке(13)

Откроем скобки и найдем t:

Если числитель и знаменатель в уравнении (14) одновременно равны нулю, то это значит, что прямая L1 лежит на полскости α. Если в уравнении (14) числитель отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, то прямая и плоскость параллельны.

Если же числитель и знаменатель в уравнении (14) отличны от нуля, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Для нахождения координат точки пересечения прямой L1 и плоскости α подставим полученное значение t из (14) в (8).

3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой L1:

Представим уравнение (15) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (17) и (18):

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке
Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке
Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (19) и (20). Для этого переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (19) и (20):

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −7/3:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 4/3:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −3/2:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 1/2:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке
Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Ответ. Точка пересечения прямой L1 и плоскости α имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямой L1:

Представим уравнение (22) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (24) и (25):

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке
Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке
Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (26) и (27). Переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (26) и (27):

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для этого построим расширенную матрицу:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 6/5:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на −1/5:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:

Легко можно заметить, что последнее уравнение в (29) несовместна, так как несуществуют такие x, y, z чтобы выполнялось это равенство. Следовательно система линейных уравнений (2), (26) и (27) несовместна. Тогда прямая L1 и плоскость α не пересекаются, т.е. они параллельны.

Ответ. Прямая L1 и плоскость α параллельны, т.е. не имеют общую точку.

Пример 3. Найти точку пересечения прямой в параметрическом виде L1:

Решение. Для нахождения точки пересечения прямой L1 и плоскости α нужно найти такое значение t, при котором точка M(x, y, z) удовлетворяет уравнению (31). Поэтому подставим значения x, y, z из (30) в (31):

Упростив уравнение, получим:

Как видим, любое значение t удовлетворяет уравнению (33), т.е. любая точка на прямой L1 удовлетворяет уравнению плоскости α. Следовательно прямая L1 лежит на плоскости α.

Ответ. Прямая L1 лежит на плоскости α.

Источник

Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Содержание:

Плоскость в пространстве

Общее уравнение плоскости

Определение: Уравнение вида Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Определение: Порядок поверхности определяется по высшему показателю степени переменных х, у и z или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Определение: Уравнение вида Ax+By+Cz+D=O называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим частные случаи приведенного уравнения:

1. D = 0; Ах + By + Сz = 0. Из этого уравнения видно, что точка О(0; 0; 0) удов- летворяет этому уравнению, следовательно, это уравнение описывает плоскость, проходящую через начало координат (Рис. 36). Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Рис. 36. Плоскость, проходящая через начало координат.

2. С = 0; Ах + Ву + D = 0. Этому уравнению удовлетворяет любое значение переменной z, поэтому данное уравнение описывает плоскость, которая параллельна оси аппликат (Oz) (Рис. 37). Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Рис. 37. Плоскость, проходящая параллельно оси аппликат.

Замечание: При отсутствии в уравнении плоскости одной из переменных величин говорит о том, что плоскость параллельна соответствующей координатной оси.

Рис. 38. Плоскость, проходящая через начало координат параллельно оси аппликат.

4. Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке— плоскость проходит через точку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкепараллельно плоскости Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке(Pис. 39). Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Рис. 39. Плоскость, проходящая параллельно координатной плоскости Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Рис. 40. Координатная плоскость Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке.

Другие уравнения плоскости

1. Уравнение плоскости в отрезках. Пусть в уравнении Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкекоэффициент Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкетогда выполним следующие преобразования

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Введем следующие обозначения Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкетогда уравнение примет вид Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкекоторое называется уравнением плоскости в отрезках. Найдем точки пересечения плоскости с координатными осями:Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Откладывая на координатных осях точки М, N и Р, соединяя их прямыми лучим изображение данной плоскости (для определенности принято, что параметры а, b, с положительные) (Рис. 41): Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Рис. 41. Отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

Из рисунка видно, что числа а, b, с показывают отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, считая от начала координат.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданному вектору. Пусть задана точка Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкечерез которую проходит плоскость перпендикулярно к заданному вектору Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеОЗ. Вектор Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеназывается нормальным вектором плоскости, если он перпендикулярен любой паре неколлинеарных векторов, лежащих на плоскости.

Возьмем на плоскости произвольную точку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеи образуем вектор Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкесоединяющий точку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкес точкой М (Рис. 42). Тогда Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеКак доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Рис. 42. Плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору.

В силу того, вектор Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкележит в плоскости, то он перпендикулярен нормальному вектору Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеИспользуя условие перпендикулярности векторов Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкев проекциях перемножаемых векторов, получим уравнение плоскости, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через т. Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкепараллельно плоскости Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Решение:

Так как искомая плоскость параллельна плоскости (Q), то нормальный вектор этой плоскости Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке(см. коэффициенты при переменных величинах х, у и z в уравнении плоскости Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке) перпендикулярен к искомой плоскости и может быть взят в качестве нормального вектора этой плоскости. Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к данному вектору, получаем: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Пример:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Решение:

Построим на искомой плоскости вектор Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеи вычислим нормальный вектор Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкекак векторное произведение векторов Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеКак доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеперпендикулярно к заданному вектору Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеимеет вид:Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Отметим, что при выборе точки, через которую проходит искомая плоскость из точек Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкебрать как точку, через которую проходит искомая плоскость.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть плоскость проходит через 3 известные точки Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеВозьмем произвольную точку плоскости М(х; у; z) и образуем векторы Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеКак доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Рис. 43. Плоскость, проходящая через три заданные точки.

Вектора Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкекомпланарные, используя условие компланарности векторов Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеполучим уравнение плоскости, проходящей через 3 известные точки: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Замечание: Полученный определитель третьего порядка раскрывается по элементам первой строки.

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Решение:

Основные задачи о плоскости в пространстве

1. Угол между пересекающимися плоскостями. Пусть даны две пересекающиеся плоскости Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкекоторые имеют нормальные векторы

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Пусть линия пересечения плоскостей определяется прямой (l). Из одной точки этой прямой проведем два перпендикулярных к прямой вектора Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеМеньший угол между этими векторами определяет угол между плоскостями (Рис.44):

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Рис.44. Угол между плоскостями.

В силу того, что Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкето угол между нормальными векторами равен углу между векторами Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеИз векторной алгебры известно, что угол между векторами определяется формулой: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Следствие: Если плоскости перпендикулярны (Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке), то условием перпендикулярности плоскостей является равенство: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке.

Следствие: Если плоскости параллельны, то нормальные вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности плоскостей: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

2. Расстояние от данной точки до заданной плоскости. Расстояние от данной точки Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкедо заданной плоскости Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеопределяется по формуле: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Пример:

На каком расстоянии от плоскости Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкенаходится точка Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Решение:

Воспользуемся приведенной формулой: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Прямая в пространстве

Общее уравнение прямой

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Определение: Геометрическое место точек пространства, удовлетворяющих системе уравнений (1), называется прямой в пространстве, а система уравнений (1) называется общим уравнением прямой.

Замечание: Для того чтобы система уравнений (1) определяла прямую в пространстве необходимо и достаточно, чтобы нормальные вектора плоскостей, определяющих прямую, Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкебыли неколлинеарными, т.е. выполняется одно из неравенств: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Пусть прямая проходит через точку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкепараллельно вектору Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкекоторый называется направляющим вектором прямой (см. Лекцию Ле 7), тогда ее уравнение называется каноническим и имеет вид:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Замечание: Если в уравнении (2) одна из проекций направляющего вектора равна 0, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Пример:

Как расположена прямая Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеотносительно координатных осей.

Решение:

Согласно замечанию эта прямая будет перпендикулярна осям абсцисс и ординат (параллельна оси аппликат) и будет проходить через точку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеПриравняв каждую дробь уравнения (2) параметру t, получим параметрическое уравнение прямой:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Пример:

Записать уравнение прямой Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкев параметрическом виде.

Решение:

Приравняем каждую дробь к параметру t: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеЕсли прямая проходит через две известные точки Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкето ее уравнение имеет вид: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеи называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример:

Решение:

Составим каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеПерейдём к параметрическому уравнению Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеили Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеСоставим каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеПерейдём к параметрическому уравнению прямой Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Основные задачи о прямой в пространстве

1. Переход от общего уравнения прямой к каноническому. Пусть прямая задана общим уравнением Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеДля того, чтобы перейти от этого уравнения прямой к каноническому, поступают следующим образом:

Пример:

Записать уравнение прямой Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкев каноническом и параметрическом виде.

Решение:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Запишем каноническое Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеи параметрическое уравнения прямой:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Угол между пересекающимися прямыми

Угол между двумя пересекающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Если прямые Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеимеют направляющие вектора

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

соответственно, то угол между прямыми определяется по формуле: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Следствие: Если прямые перпендикулярны (Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке), то условием перпендикулярности прямых является равенство: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Следствие: Если прямые параллельны, то направляющие вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности прямых: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Координаты точки пересечения прямой и плоскости

Пусть прямая (L) задана общим уравнением Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеа плоскость (Q) уравнением Ax+By+Cz+D=0. Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно обоим этим объектам, то ее координаты находят из системы уравнений: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеЕсли прямая (L) задана каноническим уравнением Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеа плоскость (Q)

Рассмотрим возможные случаи:

Пример:

Найти координаты точки пересечения прямой (L), заданной уравнением Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеи плоскости (Q): 2x-y+3z-4=0.

Решение:

Перепишем уравнение прямой (L) в параметрическом виде Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеПодставим найденные величины в уравнение плоскости (Q)? получим

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Найденное значение параметра Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеподставим в параметрическое уравнение прямой Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеТаким образом, прямая пересекает заданную плоскость в точке Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Угол между прямой и плоскостью

Пусть дана плоскость (Q) с нормальным вектором Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеи пересекающая ее прямая (L) с направляющим вектором Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке(Рис.45). Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Рис. 45. Угол между прямой и плоскостью.

Угол Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеявляется углом между прямой (L) и плоскостью (Q). Угол между нормальным вектором плоскости и прямой обозначим через Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеИз рисунка видно, что Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеСледовательно,

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Следствие: Если прямая перпендикулярна плоскости (Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке), то условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Следствие: Если прямая параллельна плоскости (Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке), то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны (Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке), следовательно, условие параллельности прямой и плоскости: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке.

Плоскость и прямая в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкезадает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты А, В, С одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

Уравнения координатных плоскостей: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Прямая в пространстве может быть задана:

Тогда прямая определяется уравнениями: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеназывается направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеРешая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных х и у, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой.Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке— нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкев уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеравносильна системе Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкетакая прямая перпендикулярна к оси Ох. Система Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеравносильна системе Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкепрямая параллельна оси Oz.

Пример:

Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение:

По условию задачи вектор Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеявляется нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеПодставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеИтак, Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Пример:

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и образующей с плоскостью Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Решение:

Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнениемКак доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеодновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно 0, Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеПо формуле косинуса угла В между двумя плоскостями Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Решая квадратное уравнение Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкенаходим его корни Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеоткуда получаем две плоскости Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Пример:

Составьте канонические уравнения прямой: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеКак доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Решение:

Канонические уравнения прямой имеют вид:

Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеКанонические уравнения прямой имеют вид: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Пример:

В пучке, определяемом плоскостями Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкенайти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М (1,0,1).

Решение:

Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкегде Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкене обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Тогда уравнение плоскости, содержащей М, найдем, подставив Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкев уравнение пучка: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Т.к. и Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке(иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеВторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид: Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точкеили Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Смотреть картинку Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Картинка про Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке. Фото Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *