Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Признаки параллелограмма

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDКак доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Доказательство:

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

3. Итак, АD = ВC, АDКак доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныВС, Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

1. Рассмотрим Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныАОD и Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныАОD и Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныВОС (как вертикальные углы), Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныКак доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныАОD =Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныВОС (по 1 признаку равенства треугольников), Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныАD = ВC и Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны1 = Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны2.

2. Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны1 и Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны1 = Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны2, Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныпо признаку параллельности двух прямых АDКак доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныВС.

3. Итак, АD = ВC, АDКак доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныВС, Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Как доказать, что фигура – параллелограмм? Какие его признаки?

Содержание:

Параллелограммом – 4-угольник, где противоположные стороны попарно параллельные, одинаковые по длине, а диагонали в точке пересечения делятся на равные отрезки. Изучим признаки параллелограмма по двум, четырём сторонам, внутренним углам, центру симметрии.

Что такое параллелограмм, свойства фигуры

Особенность высоты геометрической фигуры – отрезка, опущенного из любой точки многоугольника на противоположную ей сторону: отсекает от фигуры равнобедренный треугольник.

Свойства биссектрис – отрезков, делящих углы пополам:

У 4-угольника противоположные углы равны, а сумма прилегающих к одному отрезку составляет 180°.

Как доказать, что фигура параллелограмм

Признаки

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Дан 4-угольник, где AB=CD, BC=AD. Доказать, что AB∥CD, BC∥AD.

Проведём диагональ BD. В итоге получим пару одинаковых треугольников, исходя из условий задачи и общего отрезка BD.

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Отсюда вытекают равенства: ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 – подобные треугольники имеют одинаковые по величине углы, образованные подобными сторонами. Значит AB∥CD и BC∥AD (из свойства: если накрест расположенные углы равны, значит прямые будут параллельными).

В данном четырёхугольнике BC=AD, BC∥AD. Нужно доказать параллельность AB и CD для подтверждения, что это параллелограмм.

Исходя из условий, понимаем, что BCD и ABD – подобные треугольники. Из условия задачи: BC = AD, BD – общая для обоих, значит, ∠2 = ∠3 – следствие того, что накрест лежащие углы подобные. Из равенства 3-угольников: ∠1 = ∠4 получается, что AB параллельна CD.

Признаки параллелограмма по диагоналям с доказательством

Четырёхугольник обладает и прочими особенностями, рассмотрим одну на примере задачи: докажите признак параллелограмма по точке пересечения диагоналей.

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Треугольник AOD равен BOC, потому что AD=BC – лежащие напротив стороны четырёхугольника. ∠1=∠2, ∠3=∠4 – они лежат накрест и параллельных прямых. Если треугольники подобные, значит: OC=OA, OB=OD.

Прочие способы как доказать параллелограмм

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Получается, треугольник OAF равен OCE, потому что у них стороны AO = OC. Углы, расположенные у общей вершины O, также равны, ведь они вертикальные. ∠1=∠2 – следствие равности накрест лежащих при параллельных прямых углов. Как результат: OF=OE.

Если у четырёхугольника есть точка, которая обладает описанным свойством, её называют центром симметрии этой геометрической фигуры. Для рассматриваемого многоугольника центром симметрии является точка O, разделяющая диагонали на подобные отрезки.

При повороте геометрической фигуры вокруг центра симметрии на 180° она будет совмещена с предыдущим местоположением, ведь противоположные точки поменяются местами относительно оси симметрии.

Для проверки качества усвоения материала самостоятельно сформулируйте признаки параллелограмма без доказательств.

Источник

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Свойства параллелограмма

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны 5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

7. Диагонали Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныпараллелограмма и стороны
Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельнысвязаны следующим соотношением: Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныявляется параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны: Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

2. Противоположные углы попарно равны: Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны: Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

5. Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:


Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельныФормулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Источник

Параллелограмм

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема (первый признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Теорема (второй признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Теорема (третий признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Итак, в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Доказательство

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

2) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы углов \(BAD\) и \(ABC\) соответственно.

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Смотреть картинку Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Картинка про Как доказать что стороны параллелограмма параллельны. Фото Как доказать что стороны параллелограмма параллельны

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *