Как доказать что тетраэдр правильный

Исследовательская работа в 10-м классе при изучении темы «Свойства правильного тетраэдра»

Разделы: Математика

План подготовки и проведения занятия:

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Свойства 1-4 доказываются устно с использованием Слайда1.

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Свойство 1: Все ребра равны.

Свойство 2: Все плоские углы равны 60°.

Свойство 3: Суммы плоских углов при любых трех вершинах тетраэдра равны 180°.

Свойство 4: Если тетраэдр правильный, то любая его вершина проектируется в ортоцентр противоположной грани.

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Дано:

ABCD – правильный тетраэдр

H –ортоцентр Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Доказательство:

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Рассмотрим ABH, BCH, ADH

AD – общая => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB = AC = AD т. H – является ортоцентром ABC

Каждая группа получает своё домашнее задание:

Доказать одно из свойств.

Подготовить обоснование с презентацией.

III. Заключительный этап (1-2 урока):

Представление и защита гипотезы с использование презентаций.

При подготовке материала к заключительному уроку учащиеся приходят к выводу об особенности точки пересечения высот, мы договариваемся называть её “удивительной” точкой.

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Свойство 5: Центры описанной и вписанной сфер совпадают.

Дано:

DABC –правильный тетраэдр

О1— центр описанной сферы

N – точка касания вписанной сферы с гранью АВС

Доказательство:

Пусть OA = OB =OD = OC – радиусы описанной окружности

Из п. 1 CON COM => ON =OM

ОN + (ABC) => ON,OM – радиусы вписанной окружности.

Для правильного тетраэдра существует возможность его взаимного расположения со сферой – касание с некоторой сферой всеми своими ребрами. Такую сферу иногда называют “полувписанной”.

Свойство 6: Отрезки, соединяющие середины противоположных ребер и перпендикулярные этим ребрам являются радиусами полувписанной сферы.

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Дано:

ABCD – правильный тетраэдр;

OLКак доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйAB, OKКак доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйAC,

OSКак доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйAD, ONКак доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйCD,

OMКак доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйBD, OPКак доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйBC,

BP=CP, BM = DM, CN = DN.

Доказать:

LO = OK = OS = OM = ON =OP

Доказательство.

Тетраэдр ABCD – правильный => AO= BO = CO =DO

Рассмотрим треугольники AOB, AOC, COD, BOD,BOC, AOD.

AO=BO=>?AOB – равнобедренный =>
OL – медиана, высота, биссектриса
AO=CO=>?AOC– равнобедренный =>
ОK– медиана, высота, биссектриса
CO=DO=>?COD– равнобедренный =>
ON– медиана, высота, биссектриса AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD– равнобедренный => BOD= BOC= AOD
OM– медиана, высота, биссектриса
AO=DO=>?AOD– равнобедренный =>
OS– медиана, высота, биссектриса
BO=CO=>?BOC– равнобедренный =>
OP– медиана, высота, биссектриса
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD

равнобедренных треугольниках сферы

Следствие:

В правильном тетраэдре можно провести полувписанную сферу.

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Свойство 7: если тетраэдр правильный, то каждые два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны.

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Дано:

DABC – правильный тетраэдр;

AB Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйCD,

AD Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйBC,

AC Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйBD.

Доказательство:

DABC – правильный тетраэдр =>?ADB – равносторонний

ED – высота Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйADB => ED +AB,

CE Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный(EDC)

Аналогично доказывается перпендикулярность других ребер.

Свойство 8: Шесть плоскостей симметрии пересекаются в одной точке. В точке О пересекаются четыре прямые, проведенные через центры описанных около граней окружностей перпендикулярно к плоскостям граней, и точка О является центром описанной сферы.

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Дано:

ABCD – правильный тетраэдр

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Доказать:

О – центр описанной сферы;

6 плоскостей симметрии пересекаются в точке О;

Доказательство.

BG = GD, т.к. AG – медиана Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйABD

GO Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный(BOD)

ABD Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный(ABD) =>?AOB – равнобедренный =>BO=AO

OE Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный(AOB)

ON + (ABC) OF + AC ( по теореме о трёх

OF Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный(AOC)

BO = AO =>AO = BO = CO = DO – радиусы сферы,

AO = CO описанной около тетраэдра ABCD

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

AB + (ABR)Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный(ABR)Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный(BCT)Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный(ACG)Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный(ADH)Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный(CED) Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный(BDF)

BD + (BDF) Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Точка О является центром описанной сферы,

6 плоскостей симметрии пересекаются в точке О.

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Свойство 9: Тупой угол между перпендикулярами, проходящими через вершины тетраэдра к ортоцентрам, равен 109°28′

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Дано:

ABCD – правильный тетраэдр;

O – центр описанной сферы;

Доказать:

Доказательство:Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйASB = 90 o Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйКак доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйOSB прямоугольный

2)Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный(по свойству правильного тетраэдра)

3)AO=BO – радиусы описанной сферы Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

4) Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный70°32′

5)Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

(по свойству правильного тетраэдра)

=>Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйAOD=Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйAOC=Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйAOD=Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйCOD=Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйBOD=Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйBOC=109°28′

Это и требовалось доказать.

Интересен тот факт, что именно такой угол имеют некоторые органические вещества: силикаты и углеводороды.

В результате работы над свойствами правильного тетраэдра учащимся пришла мысль назвать работу “Удивительная точка в тетраэдре”. Были предложения рассмотреть свойства прямоугольного и равногранного тетраэдров. Таким образом, работа вышла за рамки урока.

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Выводы:

( Учитель и учащиеся подводят итоги занятия. С кратким сообщением о тетраэдрах, как структурной единице химических элементов, выступает один из учащихся.)

Изучены свойства правильного тетраэдра и его “удивительная” точка.

Выяснено, что форму только такого тетраэдра, имеющего все выше перечисленные свойства, а также “идеальную” точку, могут иметь молекулы силикатов и углеводородов. Или же молекулы могут состоять из нескольких правильных тетраэдров. В настоящее время тетраэдр известен не только как представитель древних цивилизации, математики, но и как основа строения веществ.

Силикаты – солеобразные вещества, содержащие соединения кремния с кислородом. Их название происходит от латинского слова “силекс” – “кремень”. Основу молекул силикатов составляет атомные радикалы Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный, имеющие форму тетраэдров.

Силикаты – это и песок, и глина, и кирпич, и стекло, и цемент, и эмаль, и тальк, и асбест, и изумруд, и топаз.

Силикаты слагают более 75 % земной коры (а вместе с кварцем около 87%) и более 95% изверженных горных пород.

Важной особенностью силикатов является способность к взаимному сочетанию (полимеризации) двух или нескольких кремнекислородных тетраэдров через общий атом кислорода.

Такую же форму молекул имеют предельные углеводороды, но состоят они, в отличии от силикатов, из углерода и водорода. Общая формула молекул Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

К углеводородам можно отнести природный газ.

Предстоит рассмотреть свойства прямоугольного и равногранного тетраэдров.

Источник

Тетраэдр.

Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильныйКак доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Свойства тетраэдра.

Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.

Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.

Типы тетраэдров.

У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.

Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.

Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:

Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.

Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.

Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.

Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:

Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.

Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Формулы для определения элементов тетраэдра.

Высота тетраэдра:

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Основные формулы для правильного тетраэдра:

Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть фото Как доказать что тетраэдр правильный. Смотреть картинку Как доказать что тетраэдр правильный. Картинка про Как доказать что тетраэдр правильный. Фото Как доказать что тетраэдр правильный

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *