Как доказать что тетраэдр правильный
Исследовательская работа в 10-м классе при изучении темы «Свойства правильного тетраэдра»
Разделы: Математика
План подготовки и проведения занятия:
Свойства 1-4 доказываются устно с использованием Слайда1.
Свойство 1: Все ребра равны.
Свойство 2: Все плоские углы равны 60°.
Свойство 3: Суммы плоских углов при любых трех вершинах тетраэдра равны 180°.
Свойство 4: Если тетраэдр правильный, то любая его вершина проектируется в ортоцентр противоположной грани.
Дано:
ABCD – правильный тетраэдр
H –ортоцентр
Доказательство:
2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,
3) Рассмотрим ABH, BCH, ADH
AD – общая => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH
AB = AC = AD т. H – является ортоцентром ABC
Каждая группа получает своё домашнее задание:
Доказать одно из свойств.
Подготовить обоснование с презентацией.
III. Заключительный этап (1-2 урока):
Представление и защита гипотезы с использование презентаций.
При подготовке материала к заключительному уроку учащиеся приходят к выводу об особенности точки пересечения высот, мы договариваемся называть её “удивительной” точкой.
Свойство 5: Центры описанной и вписанной сфер совпадают.
Дано:
DABC –правильный тетраэдр
О1— центр описанной сферы
N – точка касания вписанной сферы с гранью АВС
Доказательство:
Пусть OA = OB =OD = OC – радиусы описанной окружности
Из п. 1 CON COM => ON =OM
ОN + (ABC) => ON,OM – радиусы вписанной окружности.
Для правильного тетраэдра существует возможность его взаимного расположения со сферой – касание с некоторой сферой всеми своими ребрами. Такую сферу иногда называют “полувписанной”.
Свойство 6: Отрезки, соединяющие середины противоположных ребер и перпендикулярные этим ребрам являются радиусами полувписанной сферы.
Дано:
ABCD – правильный тетраэдр;
OLAB, OK
AC,
OSAD, ON
CD,
OMBD, OP
BC,
BP=CP, BM = DM, CN = DN.
Доказать:
LO = OK = OS = OM = ON =OP
Доказательство.
Тетраэдр ABCD – правильный => AO= BO = CO =DO
Рассмотрим треугольники AOB, AOC, COD, BOD,BOC, AOD.
AO=BO=>?AOB – равнобедренный =>
OL – медиана, высота, биссектриса
AO=CO=>?AOC– равнобедренный =>
ОK– медиана, высота, биссектриса
CO=DO=>?COD– равнобедренный =>
ON– медиана, высота, биссектриса AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD– равнобедренный => BOD= BOC= AOD
OM– медиана, высота, биссектриса
AO=DO=>?AOD– равнобедренный =>
OS– медиана, высота, биссектриса
BO=CO=>?BOC– равнобедренный =>
OP– медиана, высота, биссектриса
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD
равнобедренных треугольниках сферы
Следствие:
В правильном тетраэдре можно провести полувписанную сферу.
Свойство 7: если тетраэдр правильный, то каждые два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны.
Дано:
DABC – правильный тетраэдр;
AB CD,
AD BC,
AC BD.
Доказательство:
DABC – правильный тетраэдр =>?ADB – равносторонний
ED – высота ADB => ED +AB,
CE (EDC)
Аналогично доказывается перпендикулярность других ребер.
Свойство 8: Шесть плоскостей симметрии пересекаются в одной точке. В точке О пересекаются четыре прямые, проведенные через центры описанных около граней окружностей перпендикулярно к плоскостям граней, и точка О является центром описанной сферы.
Дано:
ABCD – правильный тетраэдр
Доказать:
О – центр описанной сферы;
6 плоскостей симметрии пересекаются в точке О;
Доказательство.
BG = GD, т.к. AG – медиана ABD
GO (BOD)
ABD (ABD) =>?AOB – равнобедренный =>BO=AO
OE (AOB)
ON + (ABC) OF + AC ( по теореме о трёх
OF (AOC)
BO = AO =>AO = BO = CO = DO – радиусы сферы,
AO = CO описанной около тетраэдра ABCD
AB + (ABR)(ABR)
(BCT)
(ACG)
(ADH)
(CED)
(BDF)
BD + (BDF)
Точка О является центром описанной сферы,
6 плоскостей симметрии пересекаются в точке О.
Свойство 9: Тупой угол между перпендикулярами, проходящими через вершины тетраэдра к ортоцентрам, равен 109°28′
Дано:
ABCD – правильный тетраэдр;
O – центр описанной сферы;
Доказать:
Доказательство:
ASB = 90 o
OSB прямоугольный
2)(по свойству правильного тетраэдра)
3)AO=BO – радиусы описанной сферы
4) 70°32′
5)
6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC
(по свойству правильного тетраэдра)
=>AOD=
AOC=
AOD=
COD=
BOD=
BOC=109°28′
Это и требовалось доказать.
Интересен тот факт, что именно такой угол имеют некоторые органические вещества: силикаты и углеводороды.
В результате работы над свойствами правильного тетраэдра учащимся пришла мысль назвать работу “Удивительная точка в тетраэдре”. Были предложения рассмотреть свойства прямоугольного и равногранного тетраэдров. Таким образом, работа вышла за рамки урока.
Выводы:
( Учитель и учащиеся подводят итоги занятия. С кратким сообщением о тетраэдрах, как структурной единице химических элементов, выступает один из учащихся.)
Изучены свойства правильного тетраэдра и его “удивительная” точка.
Выяснено, что форму только такого тетраэдра, имеющего все выше перечисленные свойства, а также “идеальную” точку, могут иметь молекулы силикатов и углеводородов. Или же молекулы могут состоять из нескольких правильных тетраэдров. В настоящее время тетраэдр известен не только как представитель древних цивилизации, математики, но и как основа строения веществ.
Силикаты – солеобразные вещества, содержащие соединения кремния с кислородом. Их название происходит от латинского слова “силекс” – “кремень”. Основу молекул силикатов составляет атомные радикалы , имеющие форму тетраэдров.
Силикаты – это и песок, и глина, и кирпич, и стекло, и цемент, и эмаль, и тальк, и асбест, и изумруд, и топаз.
Силикаты слагают более 75 % земной коры (а вместе с кварцем около 87%) и более 95% изверженных горных пород.
Важной особенностью силикатов является способность к взаимному сочетанию (полимеризации) двух или нескольких кремнекислородных тетраэдров через общий атом кислорода.
Такую же форму молекул имеют предельные углеводороды, но состоят они, в отличии от силикатов, из углерода и водорода. Общая формула молекул
К углеводородам можно отнести природный газ.
Предстоит рассмотреть свойства прямоугольного и равногранного тетраэдров.
Тетраэдр.
Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.
Свойства тетраэдра.
Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.
Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.
Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.
Типы тетраэдров.
У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.
Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.
Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:
— Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.
— Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.
— Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.
— Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:
— Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.
— Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Формулы для определения элементов тетраэдра.
Высота тетраэдра:
Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.
Основные формулы для правильного тетраэдра: