Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия

Определение

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.


Катет в прямоугольном треугольнике
— это две стороны прилежащие к прямому углу.

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике:

Формулы:

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Признаки равенства прямоугольных треугольников

С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Признаки прямоугольного треугольника

С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.

Источник

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйСерединный перпендикуляр к отрезку
Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйОкружность описанная около треугольника
Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Серединный перпендикуляр к отрезку

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный,

Для любого треугольника справедливо равенство:

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаКак доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовКак доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаКак доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиКак доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовКак доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный,

Площадь треугольникаКак доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Для любого треугольника справедливо равенство:

Радиус описанной окружностиКак доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный.

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Источник

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

3. Теорема Пифагора:

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный, где Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный– катеты, Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный– гипотенуза. Видеодоказательство

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

4. Площадь Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйпрямоугольного треугольника с катетами Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный:

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

5. Высота Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйпрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйи гипотенузу Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйследующим образом:

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

7. Радиус Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйописанной окружности есть половина гипотенузы Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный:

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйвписанной окружности выражается через катеты Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйи гипотенузу Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольныйследующим образом:

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Источник

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

\[ S = \frac<1><2>ab \cdot \sin \angle C \]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Высота треугольника

h — высота треугольника.

\[ h = b \cdot \sin \alpha \]

Свойства

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Источник

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

По теореме синусов,

Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Смотреть картинку Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Картинка про Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный. Фото Как доказать что вписанный треугольник прямоугольный

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *