Как определить что это треугольник

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Типы треугольников

По величине углов

Остроугольный треугольник

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

Равносторонний (правильный) треугольник

— все три стороны равны.

Вершины, углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin α = b sin β = c sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

Медианы треугольника

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника

S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Биссектрисы треугольника

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника

Угол между l c и l c ‘ = 90°

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

l a = 2 b c cos α 2 b + c

l b = 2 a c cos β 2 a + c

l c = 2 a b cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол

h a = b sin γ = c sin β

h b = c sin α = a sin γ

h c = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

Окружность вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

Окружность описанная вокруг треугольника

Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

Признаки

Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

где a, b, c — стороны треугольника,
h_a, h_b, h_c — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Равенство треугольников

Определение

Если два треугольника АВС и А₁В₁С₁ можно совместить наложением, то они равны.

Свойства

У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

где k — коэффициент подобия.

Признаки подобия треугольников

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Свойства прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∡A — прямой, ∡B = 30°, и значит, что ∡C = 60°.

Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Источник

Треугольник — определение и основные свойства и виды треугольника

Что такое треугольник знают дети уже в самом младшем возрасте, они умеют находить треугольник среди множества геометрических фигур. Но вот уже в школе по геометрии проходят треугольник и надо не просто узнавать треугольник, но и дать определение этому понятию.

Определение треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, окруженная тремя отрезками прямой (конечные точки каждых двух смежных отрезков соединены или перекрываются), называется треугольником. Точки пересечения отрезков называются вершинами треугольника, а сами отрезки между двумя соседними вершинами треугольника называются сторонами треугольника.

Посмотрите на треугольник на рисунке.

У него три вершины — , , и три стороны , и . У каждого треугольника есть имя — это имя образовано вершинами треугольника. Наш треугольник зовут ([а-бэ-цэ]). А треугольник на вот этом рисунке

будут звать ([эм-эн-ка]).

По правилам математической грамотности треугольник, как и любой другой многоугольник, следует называть, начиная с левого нижнего угла и называя все вершины по часовой стрелке.

В треугольнике можно провести особенные стороны — высоту, медиану и биссектрису. Начнем с высоты треугольника.

Высота треугольника

В каждом треугольнике можно провести три высоты. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую этой вершине сторону.

Например, в треугольнике , высотой будет отрезок .

А теперь проведем из каждой вершины по высоте — получим три высоты — больше провести высот нельзя.

В этом треугольнике три высоты , , .

Про биссектрисы и медианы поговорим в других статьях. Сейчас же давайте с вами рассмотрим каким бывает треугольник.

Виды треугольника

Виды треугольника могут быть по углам и по сторонам. То есть в первом случае вид треугольника зависит от того, какие в этом треугольнике углы, а во втором случае — какие в этом треугольнике стороны.

Виды треугольников по углам

В зависимости от того, все ли углы в треугольнике острые или есть тупой угол или угол, равный , треугольник бывает остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

Посмотрите на рисунки — перед вами три основных вида треугольника:

Виды треугольников по сторонам

Если у треугольника все стороны равны, то такой треугольник называют равносторонним или правильным. Если у треугольника равны только две стороны, то такой треугольник называют равнобедренным.

На рисунке показаны равносторонний и равнобедренный треугольники.

Свойства сторон треугольника

Треугольник имеет важные свойства и характеристики.

Устойчивость — это важное свойство треугольника, оно вам еще пригодится в курсе физики. Но вначале мы с ним знакомимся на уроках геометрии.

Треугольник устойчив на любой своей стороне — то есть чтобы вывести его из состояния равновесия надо приложить силу.

Свойства сторон: разница между любыми двумя сторонами треугольника меньше, чем третья сторона, а также любая сторона треугольника меньше, чем сумма двух других сторон. То есть:

Например, пусть наш треугольник имеет длины двух сторон , а см. В каком диапазоне будет размер третьей стороны треугольника?

Решение: согласно свойству сторон треугольника, получим:

Таким образом, третья сторона треугольника может быть в диапазоне от 4 до 10 см. Или в целых числах ее длина может быть 5, 6, 7, 8 или 9 см.

Правило существования треугольника

Используя свойство сторон треугольника мы можем определить существует ли треугольник с определенными сторонами.

Для проверки сложите длины самых коротких сторон и если сумма их больше длины самой большой стороны, тогда треугольник существует.

Например, существует ли треугольник с длинами сторон 3, 7 и 15 см?

Решение: проверим по свойству сторон треугольника: складываем две самые короткие стороны 3 и 7 см: 3+7=10, а 10 7 — треугольник с такими длинами сторон существует.

Свойство углов в треугольнике

Сумма всех углов в треугольнике равна .

Согласно этому свойству мы всегда можем, зная два угла в треугольнике, найти его третий угол. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна .

Например, пусть известно, что в треугольнике , , , нужно найти .

Так как сумма углов в треугольнике равна , то находим:

.

Ответ: .

Элементы композиции

Многие школьники спрашивают — а зачем нам знать про треугольник, как это может пригодиться в обычной жизни? Треугольник — простая фигура из которой можно составить более сложные. Это используется во многих сферах жизни, например, вы можете эргономично убирать в своей комнате, или красиво выкладывать бутерброды. Например, из двух равных треугольников можно составить параллелограмм.

А из двух равных прямоугольных треугольником — прямоугольник или квадрат. Два треугольника могут образовать трапецию, так как на рисунке. А вот какую фигурку можно смоделировать для программируемой игры — она вся сделана из треугольников:

Мы, рассмотрели самые важные свойства треугольника, и в дальнейшем изучим еще больше разных интересных свойств, закономерностей. Несмотря на свою простоту, треугольник таит в себе много загадок и открытий.

Источник

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник