Как определить что операция алгебраическая

Примерами алгебраических операции могут служить:

— сложение на множестве натуральных чисел, поскольку сумма любых натуральных чисел является натуральным числом. Иначе говоря, при сложении каждой паре (х, у) натуральных чисел ставится в соответствие единственное натуральное число, обозначаемое х + у;

— деление на множестве рациональных чисел при условии, чтоис­ключается деление на нуль. Тогда частное любых рациональных чисел есть рациональное число, т.е. каждой паре (х, у) рациональных чисел ставится в соответствие единственное рациональное число.

С алгебраической операцией связано понятие замкнутого множе­ства: если на множестве X задана алгебраическая операция, то гово­рят, что множество X замкнуто относительно этой операции.

Например, о множестве N натуральных чисел можно сказать, что оно замкнуто относительно сложения и умножения.

Вычитание на множестве натуральных чисел не является алгебраиче­ской операцией, но мы знаем, что если разность натуральных чисел существует, то это число единственное. Аналогичной особенностью обладает и деление натуральных чисел. Говорят, что вычитание и деление есть частичные алгебраические операции на множестве натуральных чисел.

Определение. Частичной алгебраической операцией на множестве X называется соответствие, при котором некоторым парам эле­ментов из множества X сопоставляется единственный элемент того же множества.

Задача. На множестве X натуральных чисел, кратных 3, заданы операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Какие из них являются на этом множестве:

б) частичными алгебраическими?

Решение. Любое натуральное число, кратное 3, имеет вид 3n, где п € N.

Выполним деление чисел на множестве X: 3n : 3m = n:m. Так как частное натуральных чисел лит существует не всегда и, кроме того, если оно существует, то оно может быть не кратно 3. Значит, деление на множестве чисел, кратных 3, не является алгебраической операци­ей. Но поскольку для некоторых n и m их частное может быть кратно 3 (например, если п = 24, m = 2), то деление на множестве X является частичной алгебраической операцией.

Понятие алгебраической операции проходит через весь школьный курс математики. Начинается этот процесс в начальных классах, где происходит знакомство детей со сложением, которое сначала рас­сматривается на отрезке натурального ряда от 1 до 9 включительно, затем на отрезке от 1 до 100 и т.д. Алгебраической эта операция ста­новится тогда, когда ее начинают рассматривать на всем множестве натуральных чисел. С умножением ситуация аналогичная.

Операции вычитания и деления в начальном обучении рассматри­ваются как частичные алгебраические операции на множестве нату­ральных чисел.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Алгебраические структуры и операции

Предметом рассмотрения в абстрактной алгебре являются произвольные множества с заданными на них операциями. При этом природа множеств и операций может существенно отличаться от привычных числовых множеств и известных операций над числами. Мы уже сталкивались с операциями над множествами и бинарными отношениями, которые оказались в чем-то похожими на операции над числами, но в то же время проявились и их существенные отличия.

В дискретной математике разрабатываются алгоритмы и вычислительные методы, позволяющие манипулировать сложно организованными нечисловыми структурами. Проблема работы с такими объектами возникла в связи с развитием современных информационных технологий и переходом от собственно вычислений (т.е. операций над числами) к обработке сложных структур данных. Так, проблемы программирования и машинного перевода привели к задачам работы с языковыми структурами, проблемы автоматизации проектирования — к задачам обработки графических объектов.

Современная дискретная математика проникнута алгебраическим духом, поскольку оказалось, что именно на алгебраической базе наиболее удобно разрабатывать общие подходы к работе с объектами различной природы.

Понятие алгебраической структуры

Множество векторов в пространстве с операцией сложения векторов, операцией векторного умножения, множество квадратных матриц с операциями сложения или умножения, множество функций с операцией сложения — вот примеры некоторых множеств с операциями, рассматривающихся в различных разделах математики. Выясним, что общего есть в свойствах операций на этих множествах и в чем их различие.

Для n-арной операции используют обозначение

Наиболее важными в алгебре и, следовательно, наиболее исследованными являются бинарные операции. Примерами таких операций могут служить сложение и умножение чисел, сложение и умножение матриц, сложение векторов линейного пространства.

Операция сложения, заданная на множестве натуральных чисел, является ассоциативной и коммутативной. Операция умножения матриц ассоциативна, но не коммутативна. Идемпотентными являются операции объединения и пересечения множеств.

Пример 2.1. а. На множестве целых чисел нулем относительно операции умножения будет число 0.

Однако левого нуля в этом множестве нет, так как иначе он совпадал бы с правым нулем и был бы единственным. Но правых нулей имеется больше одного.

Нейтральные элементы относительно операции

Пример 2.2. Нейтральным элементом относительно операции умножения на множестве натуральных чисел является число 1. На множестве целых чисел нейтральным элементом относительно операции сложения будет число 0.

Поскольку правых нейтральных элементов несколько, то левого нейтрального элемента по этой операции нет, так как иначе существовал бы единственный нейтральный элемент (левый и правый).

Следует заметить, что не для всякой бинарной операции нули и нейтральные элементы (левые и правые, в частности), существуют.

Примеры бинарных операций на множествах

Рассмотрим некоторые примеры бинарных операций на множествах.

Пример 2.3. а. Пусть — универсальное множество. Теоретико-множественные операции на множестве являются идемпотентными, ассоциативными и коммутативными, причем пустое множество является нулем относительно пересечения и нейтральным элементом относительно объединения

тогда как универсальное множество есть нуль относительно объединения и нейтральный элемент относительно пересечения

б. На множестве всех бинарных отношений на множестве операция композиции отношений является ассоциативной, но не коммутативной, а диагональ множества будет нейтральным элементом относительно этой операции.

Действительно, для любого отображения и любого имеем

Сигнатура алгебры

Рассмотренные выше примеры множеств с операциями приводят к следующим определениям.

Замечание 2.1. Операции, включенные в сигнатуру, заданы как некоторые специальные отображения. Однако при этом не оговариваются свойства, которыми обладают операг ции на носителе. Например, они могут быть ассоциативными, коммутативными и т.д. При задании алгебр свойства операций обычно указывают дополнительно.

Если существует нейтральный элемент относительно операции, то его можно задать как нульарную операцию на носителе и включить в сигнатуру, а можно не включать и описать как свойство соответствующей операции.

Таким образом, одну и ту же алгебру можно задавать по-разному. Ниже приведены примеры различных описаний конкретных алгебр.

Пример 2.4. а. Рассмотрим алгебру

б. Для любого множества можно определить алгебру

в. На множестве действительных чисел можно, например, определить такую алгебру:

сигнатура которой состоит из операций сложения, умножения, а также двух нульарных операций, обозначающих два особых числа 0 и 1. Обратим внимание на то, что числа 0 и 1 в данном случае являются соответственно нулем и нейтральным элементом относительно умножения, а число 0 также играет роль нейтрального элемента относительно сложения. Мы применили понятие нульарнои операции, чтобы в обозначении алгебры отразить элементы со специальными свойствами.

г. Все предыдущие примеры алгебр были алгебрами с конечной сигнатурой, т.е. с сигнатурой, состоящей из конечного числа операций. Однако несложно построить пример алгебры с бесконечной сигнатурой. Например, алгебра

на множестве действительных чисел с операцией возведения в натуральную степень имеет счетную сигнатуру. Далее будут приведены примеры алгебр и с несчетными сигнатурами.

Определяя алгебру, следует помнить, что результат применения любой операции обязательно должен принадлежать тому же множеству, что и ее аргументы. Например, пару из множества всех свободных векторов в пространстве и операции скалярного умножения векторов нельзя рассматривать как алгебру, так как скалярное произведение двух векторов не есть вектор. Заменив скалярное умножение векторным, получим алгебру.

Точно так же множество действительных чисел с операцией деления действительных чисел не является алгеброй, поскольку результат деления не определен при нулевом делителе. Пара же есть алгебра.

Договоримся, определяя конкретную алгебру, записывать ее сигнатуру без фигурных скобок, перечисляя после обозначения носителя все операции. Так, в примере 2.4.а первая алгебра может быть записана как

Однотипные алгебры

Алгебра и алгебра в примере 2.4.а не являются однотипными, так как их сигнатуры состоят из разного числа операций и между ними установить взаимно однозначное соответствие нельзя.

Источник

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ,

n-й декартовой степени множества Ав само множество А. Число пназ. где -произвольное кардинальное число. Множество с системой определенных на нем А. о. наз. универсальной алгеброй. т. М. Баранович.

Смотреть что такое «АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ,» в других словарях:

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ — АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ, операция обычной алгебры, т.е. арифметические действия сложения, вычитания, умножения и деления. Операции с бесконечными рядами и функциями типа log х не являются алгебраическими они зависят от наличия пределов. Термин… … Научно-технический энциклопедический словарь

Алгебраическая система — (или алгебраическая структура) в универсальной алгебре множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Алгебраическая система с пустым множеством отношений… … Википедия

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — множество с определенными на нем операциями и отношениями. А. с. принадлежат к числу основных математич. структур и имеют глубоко разработанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 50 х гг. 20 в. на грани между алгеброй и математич. логикой.… … Математическая энциклопедия

математическая операция — ▲ операция ↑ математический операции, у которых исходные операнды и результат имеют одинаковую размерность: сложение, вычитание операции, у которых операнды имеют неодинаковую размерность: умножение … Идеографический словарь русского языка

НУЛЬ — 1) Число, обладающее тем свойством, что любое (действительное или комплексное) число при сложении с ним не меняется. Обозначается символом 0. Произведение любого числа на Н. равно Н.: Если произведение двух чисел равно Н., то один из сомножителей … Математическая энциклопедия

Дифференцирование — Под термином дифференцирование могут подразумевать различные родственные понятия. Дифференцирование операция взятия полной или частной производной функции. Дифференцирование линейное отображение, удовлетворяющее тождеству Лейбница.… … Википедия

КОМПОЗИЦИЯ — бинарная алгебраическая операция. Напр., К. (или суперпозицией) двух функций f(x)и g(x)наз. функция h(x)=f[g

Источник

Свойства алгебраических операций

Известно, что сложение и умножение чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно отно­сительно сложения. Аналогичными свойствами обладают объедине­ние и пересечение множеств.

Важнейшим свойством алгебраических операций является свойство ассоциативности.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множествеX, называется ассоциативной, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняется равенство

Если операция * обладает свойством ассоциативности, то можно опускать скобки и писать x*у*z вместо (х*у)*z и х*(у*z).

Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых на­туральных чисел х, у и z выполняется равенство (х + у) + z = x + (у + z). Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. По­этому сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.

Ассоциативность алгебраической операции * позволяет записывать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию, но пере­ставлять входящие в это выражение элементы, вообще говоря, нельзя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция * коммутативна.

Определение. Алгебраическая операция * на множестве X называ­ется коммутативной, если для любых двух элементов х и у из мно­жества X выполняется равенство

х*у = у*х.

Примерами коммутативных операций могут служить сложение и умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чисел х и у выполняются равенства х + у = у + х, х · у = у · х. Эти равен­ства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел, следовательно, на множестве действительных чисел сложение и умножение тоже коммутативны.

Определение. Алгебраическая операция о называется дистрибу­тивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняются равенства:

1) (х*y) о z = (x o z)*(y o z) и 2) z o (х*у) = (z o х)*(z о у).

Если выполняется только равенство 1), то операцию о называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняет­ся только равенство 2), то операцию о называют дистрибутивной слева относительно операции *.

Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и слева.

Если взять сложение и умножение натуральных чисел, то, как из­вестно, умножение дистрибутивно относительно сложения: для лю­бых натуральных чисел х, у и z выполняются равенства

(x+y)·z + x·z + y·z и z·(x+y) = z·x + z·y

Выясним роль свойства дистрибутивности в преобразованиях вы­ражений. Если операция о дистрибутивна относительно операции * и обе операции ассоциативны, то в любом выражении, содержащем лишь эти две операции, можно раскрыть все скобки, перед которыми (или за которыми) стоит знак °. Проиллюстрируем сказанное на при­мере преобразования выражения (x + у)·(z + р). Так как умножение дистрибутивно относительно сложения, то

А поскольку сложение ассоциативно, то последнюю запись можно за­писать без скобок. Следовательно, (x + у)·(z + р)= )=x·z + x·р +у·z + y·р.

Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая операция, выделяются особые элементы, называемые в алгебре ней­тральными и поглощающими.

Определение. Элемент е из множества X называется нейтраль­ным относительно алгебраической операции *, если для любого эле­мента х из множества X выполняются равенства х*е=е*х =х.

Доказано, что если нейтральный элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.

Определение. Элемент р из множества X называется поглощаю­щим относительно алгебраической операции *, если для любого эле­мента х из множества X выполняются равенства х*р=р*х=р.

Если поглощающий элемент относительно алгебраической опера­ции существует, то он единственный.

Так, в множестве Z_о целых неотрицательных чисел нуль является нейтральным элементом относительно сложения, поскольку для любого х из множества Z_о выполняются равенства х + 0 = 0 + х = х. Это же число нуль является поглощающим элементом относительно умноже­ния: для любого x из множества Z_о верны равенства: х·0 = 0·х = 0.

Как известно, вычитание чисел является операцией, обратной сло­жению. Но чтобы дать определение обратной операции в общем виде, надоопределить понятие сократимой операции.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется сократимой, если из условий а*х =а*у и х*а =у*а следует, что х =у.

Например, сократимо сложение натуральных чисел: из равенств а+х=а+у и х+а=у+а следует, что х= у.

Множество X с заданными на нем алгебраическими операциями принято называть алгеброй. В начальном курсе математики в основном изучают множество Z_о целых неотрицательных чисел, которое являет­ся объединением множества натуральных чисел и нуля: Z_о = N U<0>. На этом множестве рассматриваются алгебраические операции сло­жения и умножения. Используя язык современной математики, можно сказать, что в начальной школе изучают алгебру (Z_о, +, •). Ее основ­ные характеристики:

1) Сложение и умножение на множестве Z_оассоциативно и комму­тативно, а умножение дистрибутивно относительно сложения, т. е.:

(V х,у € Z_о) х + у = у + х;

(V х,у,z € Z_о) (х + у) + z = х + (у + z);

(V х,у,z € Z_о) (х +у)·z = х·z +у· z.

2) Сложение и умножение сократимы (исключая сокращение произ­ведения на нуль), т.е. для любых целых неотрицательных чисел х,у и а справедливы утверждения:

3) Нуль является нейтральным элементом относительно сложения и поглощающим относительно умножения:

Единица является нейтральным элементом относительно умножения:

4) Сократимость сложения и умножения целых неотрицательных чисел позволяет определить в Z_о частичные алгебраические операции вычитания и деления как обратные соответственно сложению и умно­жению (исключая деление на нуль):

5) Вычитание и деление обладают свойствами:

(a-c)+b, если а≥с

(a:c)·b, если а:с

Названные характеристики алгебры (Z_о, +, •) присутствует (явно или неявно) в любом начальном курсе математики.

Упражнения

1. Запишите, используя символы, что сложение и умножение ком­мутативно и ассоциативно на множестве Q рациональных чисел, а умножение дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

2.Коммутативны ли следующие алгебраические операции:

а) возведение в степень на множестве N;

6) деление на множестве Q;

в) нахождение наибольшего общего делителя натуральных чисел?

3. Сократимо ли вычитание и деление на множестве Qрациональных чисел?

4.Какое множество является поглощающим элементом относительно пересечения множеств? Ответ обоснуйте.

5.Сформулируйте определение деления как операции, обратной умножению.

6.Выясните, как формулируются свойства сложения и умножения в различных учебниках по математике для начальной школы.

7.Запишите все свойства действий, характеризующих алгебру (Z_о, +, •).

53. Основные выводы § 11

Изучив материал данного параграфа, мы познакомились со сле­дующими понятиями:

— алгебраическая операция на множестве;

— множество, замкнутое относительно алгебраической операции;

— частичная алгебраическая операция;

— нейтральный элемент относительно алгебраической операции;

— поглощающий элемент относительно алгебраической операции;

Мы выяснили, что алгебраические операции могут обладать свой­ствами:

— дистрибутивности (слева и справа);

Установили, что в начальном курсе математики изучают алгебру (Z_о, +, •).

Источник

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

Смотреть что такое «АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ» в других словарях:

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ, — n арная операция, на множестве А отображение n й декартовой степени множества Ав само множество А. Число пназ … Математическая энциклопедия

Алгебраическая система — (или алгебраическая структура) в универсальной алгебре множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Алгебраическая система с пустым множеством отношений… … Википедия

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — множество с определенными на нем операциями и отношениями. А. с. принадлежат к числу основных математич. структур и имеют глубоко разработанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 50 х гг. 20 в. на грани между алгеброй и математич. логикой.… … Математическая энциклопедия

математическая операция — ▲ операция ↑ математический операции, у которых исходные операнды и результат имеют одинаковую размерность: сложение, вычитание операции, у которых операнды имеют неодинаковую размерность: умножение … Идеографический словарь русского языка

НУЛЬ — 1) Число, обладающее тем свойством, что любое (действительное или комплексное) число при сложении с ним не меняется. Обозначается символом 0. Произведение любого числа на Н. равно Н.: Если произведение двух чисел равно Н., то один из сомножителей … Математическая энциклопедия

Дифференцирование — Под термином дифференцирование могут подразумевать различные родственные понятия. Дифференцирование операция взятия полной или частной производной функции. Дифференцирование линейное отображение, удовлетворяющее тождеству Лейбница.… … Википедия

КОМПОЗИЦИЯ — бинарная алгебраическая операция. Напр., К. (или суперпозицией) двух функций f(x)и g(x)наз. функция h(x)=f[g

Источник