Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:
Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:
Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.
Линейное уравнение выглядит так
ах + b = 0, где a и b — действительные числа.
Что поможет в решении:
Понятие дробного уравнения
Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:
Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:
На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.
Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.
Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:
В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.
После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.
2. Метод избавления от дробей
Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.
В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:
Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!
Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.
Что еще важно учитывать при решении
Универсальный алгоритм решения
Определить область допустимых значений.
Найти общий знаменатель.
Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
Решить полученное уравнение.
Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
Записать ответ, который прошел проверку.
Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.
Примеры решения дробных уравнений
Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.
Напомню некоторые сведения, касающиеся алгебраических дробей, а также их допустимых значений.
Авторы верно ответили на вопрос о том, что дробь имеет смысл только тогда, когда знаменатель ее не равен нулю.
Так как речь идет об алгебраических дробях, можно добавить: знаменатель не равен нулю при каждом допустимом значении переменных.
Одинаковый смысл имеют типы заданий:
Чтобы выполнить любое из данных заданий, нужно найти множество допустимых значений переменных, для этого исключить недопустимые.
Таким образом, в ответе запишутся все значения переменных, за исключением найденных.
Пример:
В представленной картинке даны алгебраические дроби.
Если в знаменателе дан многочлен, который ни при каких значениях переменных не обращается в нуль, то дробь будет иметь смысл на всей числовой прямой, т.е. на множестве действительных чисел (см. 2-й пример на картинке ниже), если в задаче дополнительно не указывается другое конкретное множество значений переменных, на котором задана дробь, например, рациональных чисел.
Пример.
Алгебраическая дробь имеет смысл только в случае неравенства своего знаменателя нулю. Ведь делить на ноль, как известно, нельзя.
При необходимости определить для дроби те значения, когда она смысл имеет, надо записать значение числового ряда за исключеним тех чисел, которы получаются при решении уравнения при приравнивании знаменателя нулю.
Дробь имеет смысл при условии, что ее знаменатель отличен от нуля. В школьной математике важно, чтобы и числитель был строго больше минус бесконечности и строго меньше плюс бесконечности, иначе даже при ненулевом знаменателе дробь все так же «скатится» в бесконечность.
Одним из основных свойств алгебраических дробей, знакомых еще математикам античности, является запрет деления на 0. Когда в знаменатели дроби возникает это «пустое» число» дробь теряет смысл. В школьной программе часто можно встретить разнообразные задания, в которых спрашивается когда выражение или дробь не имеет смысла, при каком значении переменной Х. При этом знаменатель дроби представлен неким выражением, например 8х-4 или х+5. Для нахождения ответа таких заданий знаменатель приравнивается к нули и решается как уравнение. Удовлетворяющие этому уравнению значения Х делают дробь не имеющей смысла. В данных примерах дробь с любым числителем не имеет смысла если в первом примере Х= 0.5, а во втором Х=-5.
При любом значении числа дробь имеет смысл,кроме одного случая, если только знаменатель не равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Дробь не имеет смысла если знаменатель равен нулю.
Как то так помню со школы.
По моему дробь имеет смысл всегда, за исключением случая, когда в знаменателе стоит ноль, так как мы помним, что на ноль делить нельзя. Другое дело в высшей математике, там и но ноль делят, получая математические пределы и т.д.
Насколько мне известно, алгебраическая дробь не имеет смысла, когда её знаменатель равняется нулю, поскольку на него делить нельзя. Таким образом, во всех остальных случаях алгебраическая дробь имеет смысл, и её можно смело использовать для различных расчётов.
Говоря о дробях важно понимать, что используя знак дроби (то есть черту), мы подразумеваем процесс деления. А так как нам всем известно, что деление на ноль проводить нельзя согласно правил, то можно точно сказать, что алгебраическая дробь имеет смысл в том случае, когда значение её знаменателя отлично от нуля.
Проще было бы ответить на вопрос: когда она не имеет смысла? Тогда бы мы ответили, что тогда, когда знаменатель в дроби равен нулю. Ведь на ноль делить нельзя, как мы помним еще со школы, ибо он все обращает в ноль.
На ваш же вопрос можно ответить таким образом: когда в знаменателе не ноль (будь-то положительные числа, будь-то отрицательные), дробь существует и несет при этом определенный смысл.
Также мне кажется, что алгебраическая дробь, или написание числа в виде дроби, не имеет смысла, если числитель равен знаменателю. В таком случае можно написать выражение гораздо проще. К примеру, вместо «1/1» лучше написать просто «1».
Ну, а по правилам, главное чтобы снизу дроби не был «0».
В рамках школьной программы, смысл имеет дробь с отличным от нуля знаменателем 😉 Ну, если актуально большие числа и прочая экзотика не вошла, за эти годы, в школьную программу.
Алгебраическая дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель не равен нулю. В противном случае, когда знаменатель равен нулю, алгебраическая дробь не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя.
Сериал начался в январе 2014 года, точнее 13 января.
Сегодня 25 августа 2014 года будут показывать только 170 серию. Остается показать нам еще 80 серий. Сериал показывают 5 раз в неделю.
Когда последняя серия «Пока станица спит»?
Получается, что ориентировочно сериал закончится 20 декабря 2014 года.
Как раз перед новогодними каникулами.
Если от обратного, то в Подмосковье она уже сошла. Сейчас середина июля. Значит, пик был две-три недели назад. Конец июня, начало июля, пожалуй, самое лучшее время. Но это зависит от погоды и от типа почвы. У нас лесной луг щедро удобренный козами, которые там пасутся. В этом году мы наелись земляники, что не часто случается. Хорошо бы и в следующем году так!
У меня есть одна соседка: к ней ездят люди, чтобы она им лечила болячки даже. Старенькая уже (почти 100 лет. Если не ошибаюсь, 97 лет). Но она слава Богу, при трезвом уме, хорошей памяти, сама ходит по улицам (помогать не надо; проведывает соседей и даже может в магазин сходить (рядом есть). При этом, живет не одна.
Так вот, она (она или её дочка) постоянно на какой-то праздник религиозный (особенно большой) просит у соседей одолжить или разменять ей деньги; одолжить что-то из еды или одежды. Хоть раз но у каждого просила. А у нашей семьи вообще регулярно.
Нельзя в праздник ничего из дому давать.
А если есть сомнения, что вернут, то и в будни одалживать не стоит.
Поговаривают, что пара не смогла простить обид друг другу, и решили развестись. Якобы у Кристины был роман с Иваном Ургантом. Иван Ургант подтверждает, что был влюблён в Кристину ещё до её замужества с Гариком Харламовым. Не давно Кристина была на закрытой вечеринке, где по взрослому целовалась с Иваном. Будем надеятся, что все это развеется, и пара будет вместе по прежнему. Жаль, конечно, что такая красивая пара не выдержала семейные испытания.
В 7 классе заканчивается математика и начинается ее-величество-алгебра. Первым делом школьники изучают выражения с переменными.
Мы уже знаем, что математика состоит из выражений — буквенных и числовых. Каждому выражению, в котором есть переменная, соответствует область допустимых значений (ОДЗ). Если игнорировать ОДЗ, то в результате решения можно получить неверный ответ. Получается, чтобы быстро получить верный ответ, нужно всегда учитывать область допустимых значений.
Чтобы дать верное определение области допустимых значений, разберемся, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.
Рассмотрим все необходимые определения, связанные с допустимыми и недопустимыми значениями переменной.
Выражение с переменными — это буквенное выражение, в котором буквы обозначают величины, принимающие различные значения.
Значение числового выражения — это число, которое получается после выполнения всех действий в числовом выражении.
Выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение.
Выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.
Теперь, опираясь на данные определения, мы можем сформулировать, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.
Допустимые значения переменных — это значения переменных, при которых выражение имеет смысл.
Если при переменных выражение не имеет смысла, то значения таких переменных называютнедопустимыми.
В выражении может быть больше одной переменной, поэтому допустимых и недопустимых значений может быть больше одного.
Пример 1
Рассмотрим выражение
В выражении три переменные (a, b, c).
Запишем значения переменных в виде: a = 0, b = 1, c = 2.
Такие значения переменных являются допустимыми, поскольку при подстановке этих значений в выражение, мы легко можем найти ответ:
Таким же образом можем выяснить, какие значения переменных — недопустимые.
Подставим значения переменных в выражение
На ноль делить нельзя.
Что такое ОДЗ
ОДЗ — это невидимый инструмент при решении любого выражении с переменной. Чаще всего, ОДЗ не отображают графически, но всегда «держат в уме».
Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.
Пример 2
Рассмотрим выражение
Пример 3 Рассмотрим выражение
ОДЗ такого выражения будет выглядеть вот так: b ≠ c; a — любое число.
Такая запись означает, что область допустимых значений переменных b, c и a = это все значения переменных, при которых соблюдаются условия b ≠ c; a — любое число.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Как найти ОДЗ: примеры решения
Найти ОДЗ — это значит, что нужно указать все допустимые значения переменных для выражения. Часто, чтобы найти ОДЗ, нужно выполнить преобразование выражения.
Чтобы быстро и верно определять ОДЗ, запомните условия, при которых значение выражения не может быть найдено.
Мы не можем вычислить значение выражения, если:
Теперь, приступая к поиску ОДЗ, вы можете сверять выражение по всем этим пунктам.
Давайте потренируемся находить ОДЗ.
Пример 4
Найдем область допустимых значений переменной выражения a 3 + 4 * a * b − 6.
В куб возводится любое число. Ограничений при вычитании и сложении нет. Это значит, что мы можем вычислить значение выражения a 3 + 4 * a * b − 6 при любых значениях переменной.
ОДЗ переменных a и b — это множество таких пар допустимых значений (a, b), где a — любое число и b — любое число.
Ответ: (a и b), где a — любое число и b — любое число.
Пример 5
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной выражения
Здесь нужно обратить внимание на наличие нуля в знаменатели дроби. Одним из условий, при котором вычисление значения выражения невозможно явлется наличие деления на ноль.
Это значит, что мы может сказать, что ОДЗ переменной a в выражении — пустое множество.
Пустое множество изображается в виде вот такого символа Ø.
Пример 6
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменных в выражении
Если есть квадратный корень, то нам нужно следить за тем, чтобы под знаком корня не было отрицательного числа. Это значит, что при подстановке значений a и b должны быть условия, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.
Ответ: ОДЗ переменных a и b — это множество всех пар, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.
Запомните
Например, если х > 6, но х
Зачем учитывать ОДЗ при преобразовании выражения
Иногда выражение просто невозможно решить, если не выполнить ряд тождественных преобразований. К ним относятся: перестановки, раскрытие скобок, группировка, вынесение общего множителя за скобки, приведение подобных слагаемых.
Кроме того, что видов таких преобразований довольно много: нужно понимать, в каких случаях какое преобразование возможно. В этом может помочь определение ОДЗ.
Тождественное преобразование может:
Рассмотрим каждый случай в отдельности.
Пример 7
Поскольку мы должны следить за тем, чтобы в выражении не возникало деление на ноль, определяем условие a ≠ 0.
Какие дроби не имеют смысла. Когда алгебраическая дробь имеет смысл
Напомню некоторые сведения, касающиеся алгебраических дробей, а также их допустимых значений.
Так как речь идет об алгебраических дробях, можно добавить: знаменатель не равен нулю при каждом допустимом значении переменных.
Одинаковый смысл имеют типы заданий:
Чтобы выполнить любое из данных заданий, нужно найти множество допустимых значений переменных, для этого исключить недопустимые.
Таким образом, в ответе запишутся все значения переменных, за исключением найденных.
В представленной картинке даны алгебраические дроби.
Если в знаменателе дан многочлен, который ни при каких значениях переменных не обращается в нуль, то дробь будет иметь смысл на всей числовой прямой, т.е. на множестве действительных чисел (см. 2-й пример на картинке ниже), если в задаче дополнительно не указывается другое конкретное множество значений переменных, на котором задана дробь, например, рациональных чисел.
Алгебраическая дробь имеет смысл только в случае неравенства своего знаменателя нулю. Ведь делить на ноль, как известно, нельзя.
При необходимости определить для дроби те значения, когда она смысл имеет, надо записать значение числового ряда за исключеним тех чисел, которы получаются при решении уравнения при приравнивании знаменателя нулю.
По моему дробь имеет смысл всегда, за исключением случая, когда в знаменателе стоит ноль, так как мы помним, что на ноль делить нельзя. Другое дело в высшей математике, там и но ноль делят, получая математические пределы и т.д.
Также мне кажется, что алгебраическая дробь, или написание числа в виде дроби, не имеет смысла, если числитель равен знаменателю. В таком случае можно написать выражение гораздо проще. К примеру, вместо quot;1/1quot; лучше написать просто quot;1quot;.
Ну, а по правилам, главное чтобы снизу дроби не был quot;0quot;.
Проще было бы ответить на вопрос: когда она не имеет смысла? Тогда бы мы ответили, что тогда, когда знаменатель в дроби равен нулю. Ведь на ноль делить нельзя, как мы помним еще со школы, ибо он все обращает в ноль.
На ваш же вопрос можно ответить таким образом: когда в знаменателе не ноль (будь-то положительные числа, будь-то отрицательные), дробь существует и несет при этом определенный смысл.
При любом значении числа дробь имеет смысл,кроме одного случая, если только знаменатель не равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Дробь не имеет смысла если знаменатель равен нулю.
Как то так помню со школы.
Алгебраическая дробь имеет смысл только тогда, когда е знаменатель не равен нулю. В противном случае, когда знаменатель равен нулю, алгебраическая дробь не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя.
Говоря о дробях важно понимать, что используя знак дроби (то есть черту), мы подразумеваем процесс деления. А так как нам всем известно, что деление на ноль проводить нельзя согласно правил, то можно точно сказать, что алгебраическая дробь имеет смысл в том случае, когда значение е знаменателя отлично от нуля.
Дробь имеет смысл при условии, что ее знаменатель отличен от нуля. В школьной математике важно, чтобы и числитель был строго больше минус бесконечности и строго меньше плюс бесконечности, иначе даже при ненулевом знаменателе дробь все так же quot;скатитсяquot; в бесконечность.
Одним из основных свойств алгебраических дробей, знакомых еще математикам античности, является запрет деления на 0. Когда в знаменатели дроби возникает это quot;пустоеquot; числоquot; дробь теряет смысл. В школьной программе часто можно встретить разнообразные задания, в которых спрашивается когда выражение или дробь не имеет смысла, при каком значении переменной Х. При этом знаменатель дроби представлен неким выражением, например 8х-4 или х+5. Для нахождения ответа таких заданий знаменатель приравнивается к нули и решается как уравнение. Удовлетворяющие этому уравнению значения Х делают дробь не имеющей смысла. В данных примерах дробь с любым числителем не имеет смысла если в первом примере Х= 0.5, а во втором Х=-5.
Насколько мне известно, алгебраическая дробь не имеет смысла, когда е знаменатель равняется нулю, поскольку на него делить нельзя. Таким образом, во всех остальных случаях алгебраическая дробь имеет смысл, и е можно смело использовать для различных расчтов.
Основные понятия Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек встречается в самых простых жизненных ситуациях: когда необходимо разделить некий объект на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждому достанется почасти торта. В указанном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, однако возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на x. В таком случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деление на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее мы рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимых значений переменных.
Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби при различных значениях входящих в нее переменных.
Ответ: а) 3; б) 1; в) не существует.
Как видим, возникает две типовые задачи для любой дроби: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.
Значение буквенных переменных может оказаться недопустимым, если знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. Во всех остальных случаях значение переменных являются допустимыми, т. к. дробь можно вычислить.
Следовательно, при значении переменной дробь не имеет смысла.
Рассмотрим несколько аналогичных примеров.
Пример 3. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь.
Таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.
Изобразим полученное решение на числовой оси:
Изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:
Рис. 3. График функции
Координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область допустимых значений дроби.
Чтобы подробнее разобраться с этим примером, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?
На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек встречается в самых простых жизненных ситуациях: когда необходимо разделить некий объект на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждому достанется почасти торта. В указанном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, однако возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на x. В таком случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деление на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее мы рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимых значений переменных.
Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби при различных значениях входящих в нее переменных.
Ответ: а) 3; б) 1; в) не существует.
Как видим, возникает две типовые задачи для любой дроби: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.
Значение буквенных переменных может оказаться недопустимым, если знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. Во всех остальных случаях значение переменных являются допустимыми, т. к. дробь можно вычислить.
Следовательно, при значении переменной дробь не имеет смысла.
Рассмотрим несколько аналогичных примеров.
Пример 3. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь.
Таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.
Изобразим полученное решение на числовой оси:
Изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:
Рис. 3. График функции
Координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область допустимых значений дроби.
Чтобы подробнее разобраться с этим примером, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?
