Как понять что функция периодическая

Как определить периодичность функции

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Если F(x) — функция аргумента x, то она называется периодической, если есть такое число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.

Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.

Обычно математика интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.

Если F(x) — периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) — тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, то должна повторяться и производная. Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.

Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C — нет.

Если F1(x) и F2(x) — периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 — рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй — 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.

Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.

Источник

Периодические функции

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Дадим определение периодической функции:

Например, — периодические функции.

Для функций и период

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения

График функции может выглядеть, например, вот так:

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции на отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).

Построим график функции при

Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

3. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период функции равен

График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.

Источник

Периодическая функция

Периодическая функция — это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого числа T (отличного от нуля).

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число T≠0, что для любого x из области определения этой функции выполняются равенства:

Число T называют периодом функции y=f(x).

Из определения следует, что значения x-T и x+T также входят в область определения функции y=f(x).

Свойства периодических функций

1) По определению периодической функции для любого x из области определения y=f(x) если T — период функции, то f(x-T)= f(x)=f(x+T).

2) Для любого x из области определения y=f(x) если T1 — период функции, то

Так как T2 также является периодом функции y=f(x), то для аргумента x-T1

Следовательно, число T1+T2 является периодом функции y=f(x).

3) Это свойство непосредственно вытекает из свойства 2, если T взять в качестве слагаемого n раз.

4) Если T — период функции f(x), то для аргумента kx+b

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Значит число T/k — период функции f(kx+b).

5) Эти свойства следуют непосредственно из определения.

Например, для суммы f(x) и g(x):

Из свойства 3 следует, что каждая периодическая функция имеет бесконечно много периодов.

Если среди всех периодов функции y=f(x) существует наименьший положительный период, то его называют главным (или основным) периодом функции.

Примеры периодических функций

1) Поскольку для любого x выполняются равенства

то функции y=sin x и y=cos x являются периодическими с периодом T=2π.

2) Так как для любого x из области определения функции y=tg x выполняется равенство

tg (x-π)=tg x =tg (x-π), то y=tg x — периодическая функция с периодом T=π.

Аналогично, y=ctg x — периодическая функция с периодом T=π.

3) Так как для любого действительного числа x и любого рационального числа k выполняется равенство D(x+k)=D(x), то функция Дирихле D(x) — периодическая с периодом T=k, где k∈Q, k≠0.

Поскольку k — любое рациональное число, невозможно его указать наименьшее положительное значение. Следовательно, функция Дирихле не имеет главного периода.

4) Рассмотрим частный случай линейной функции y=b, b — действительное число (b∈R). Эта функция определена на множестве действительных чисел и при любых значениях аргумента принимает единственное значение y=b, то есть для любого действительного числа m (m∈R), y(x)=y(x+m)=b.

Значит y=b — периодическая функция с периодом T=m, где m∈R, m≠0.

Так как m — любое действительное число, оно не имеет наименьшего положительного значения. Поэтому функция y=b не имеет главного периода.

5) Так как для любого действительного x и любого целого k выполняется равенство =, то функция дробной части числа y= — периодическая с периодом T=k, где k∈Ζ, k≠0.

Наименьшим положительным целым числом является единица. Следовательно, T=1 — главный период функции y=.

Главный период функций y=sin x и y=cos x T=2π.

Главный период функций y=tg x и y=ctg x T=π.

Если T — период функции y=sin x, то sin (x-2π)=sin x = sin (x-2π) для любого x.

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

То есть любой период функции y=sin x имеет вид 2πn, n∈Z.

Наименьшее положительное значение это выражение принимает при n=1 и оно равно T=2π.

Таким образом, 2π — главный период функции y=sin x.

Аналогично доказываются утверждения о главном периоде функций y=cos x, y=tg x и y=ctg x.

Из 4-го свойства периодических функций непосредственно следует, что для функций y=sin (kx+b) и y=cos (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

а для функций y=tg (kx+b) и y=ctg (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

График периодической функции повторяется через промежутки длиной T (на оси Ox).

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Дана часть графика

промежутке длиной T.

Чтобы построить график функции, выполняем параллельный перенос этой части графика вдоль оси Ox на ±T, ±2T,… :

Источник

Исследование функции на периодичность

Разделы: Математика

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла

“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров

I. Организационный этап.

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.

II. Проверка домашнего задания.

Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.

III. Обобщение и систематизация знаний.

1. Устная фронтальная работа.

1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

tg(x+ π n)=tgx, n € Z
ctg(x+ π n)=ctgx, n € Z

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

sin(x+2 π n)=sinx, n € Z
cos(x+2 π n)=cosx, n € Z

5) Как построить график периодической функции?

1) Доказать следующие соотношения

a) sin( 740º ) = sin(2 0º )
b) cos( 54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin( 80º )

2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)

3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)

a) tg 375º
b) ctg 530º
c) sin 1268º
d) cos (-7363º)

5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?

Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.

6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

IV. Коллективное решение задач.

(Решение задач на слайдах.)

Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.

Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+35>

Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.

Положим x=-0,25 получим

Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1. Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1.

Так как=при любом Т, то f(x+1)=3<(x+0.25)+1>+1=3+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.

Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Задача 3. Найдите основной период функции

Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическаяsin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

cosКак понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая=1

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая=2 π n, n € Z

T=Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая, n € Z

Выберем из всех “подозрительных” на период чисел Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическаянаименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

f(x+Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая)=sin(1,5x+4 π )+5cos(0,75x+2 π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Значит Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая– основной период функции f.

Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)

Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х

Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т= π n, n € Z.

Предположим. Что при некотором n число π n является периодом

рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin| π n+x|=sin|x|

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.

Задача 5. Проверить, является ли периодической функция

f(x)= Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Пусть Т – период f, тогда

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая, отсюда sinT=0, Т= π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2 π n будет периодом

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Значит, функция f не периодическая.

Задания для группы 1.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

Задания для группы 2.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

Задания для группы 3.

По окончании работы группы презентуют свои решения.

VI. Подведение итогов урока.

Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.

VII. Домашнее задание

1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)

Источник

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 4 сентября 2021 г.

Урок 5. Периодичность тригонометрических функций

Из этого определения сразу следует, что если Т – период функции

– также периоды функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

у = х – [х] , где [х] – целая часть числа. Если к произвольному значение аргумента этой функции добавить 1 , то значение функции от этого не изменится :

Следовательно, при любом значении х

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

sin (α + 360 ° ) = sin α

Таким образом, функции sin α и cos α от прибавления к аргументу α одного полного оборота ( 2π или 360 ° ) не меняют своих значений.

где k – любое целое число.

Следовательно, функции sin α и cos α – периодические.

Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.

В самом деле, пусть α – произвольный угол, составленный с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной окружности.

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

отсюда следует, что значения tg α и с tg α не изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:

где k – любое целое число.

вычисляются по формуле

равен наименьшему числу, при делении которого на T 1 и T 2 получаются целые числа.

Найти период функции

не существует, так как такого числа, при делении которого на и на 2 получались бы целые числа, нет.

Периода не существует.

Доказать следующее утверждение :

Так как тангенс – периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 180 ° , то получим :

Доказать следующее утверждение :

Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом 2π , то получим :

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

Доказать следующее утверждение :

Так как синус – нечётная и периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 360 ° , то получим :

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

так как 2 πk период синуса, то получим :

sin (7х + 7 t ) = sin (7х + 2 πk ),

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

со s 0,3х = со s 0,3(х + t ) = со s (0,3х + 0,3 t )

так как 2 πk период косинуса, то получим :

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Как понять что функция периодическая. Смотреть фото Как понять что функция периодическая. Смотреть картинку Как понять что функция периодическая. Картинка про Как понять что функция периодическая. Фото Как понять что функция периодическая

Найти период функции :

y = 5 sin 2 x + 2 ctg 3х.

Наименьшее число, при делении которого на

Найти период функции :

Находим периоды слагаемых. Период функции

Очевидно, что период заданной функции равен

Найти период функции :

Периода у заданной функции не существует, так как нет такого числа, при делении которого на 2 и на π одновременно получались бы целые числа.

Найти период функции :

Приведём к общему знаменателю периоды :

Тогда наименьшее общее кратное (НОК) будет :

Теперь найдём период заданной функции :

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Мои умения исследовать
функции на периодичность
Мой вклад в работу
на уроке