Как понять что множество симметрично

Осевая и центральная симметрия

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Пример 3. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 2. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М1 и N1 — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М1N1.

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N1 на прямую MМ1.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Источник

Количественные характеристики отношений

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Теория частично упорядоченных множеств содержит ещё немало нерешенных проблем. Даже на вопрос о числе таких множеств, которые могут быть построены из заданного числа n элементов, не существует еще ответа, если n≥6. Прямыми подсчетами удалось лишь установить, что если S(n) — число частично упорядоченных множеств, то S(2) = 3, S(3)= 19, S(4) = 219, S(5) = 4231, а числа Sн(n) для неизоморфных множеств найдены только для n=4 и n=5 элементов: Sн(4) = 16 и Sн(5) = 63.

Мы научились вычислять количества отношений над большими множествами-носителями и перечислять отношения, но строгих формул даже для количества S(n) получить не удалось. Я вспоминаю это время как период интенсивного творческого роста своего и сотрудников, когда почти после каждой выдачи ЭВМ результатов и их анализа возникали идеи по модификации, совершенствованию модели, алгоритмов, вносились исправления для проверки очередных гипотез, но чего-то существенного (возможно мозгов) не хватало.

То, что удалось открыть (получить) привожу ниже по тексту. Кстати, результаты других зарубежных исследователей совпадали с нашими, но они сообщали только о количестве S(n) и не упоминали о перечислении частичных порядков.

Начинали мы с малого. Полный список бинарных отношений для любого n-множества-носителя известен и легко может быть получен. Отыскивался ответ на вопросы: сколько при заданном n существует отношений с фиксированным одним свойством, с парой свойств, с тройкой и т. д. Дело в том, что располагая этими данными, можно было строить не переборные, а прямые алгоритмы перечисления таких отношений, которые, следуя правилу «бритвы Оккама», не производят лишних сущностей.

Здесь дальше пойдет речь о получении таких результатов для бинарных отношений (БО).
Итак, имеется n-множество-носитель БО и полный список всех БО, а также список свойств БО:

— рефлексивность; антирефлексивность; частичная рефлексивность;
— симметричность; антисимметричность; асимметричность; несимметричность;
— транзитивность; антитранзитивность;
— слабый порядок; строгий порядок; частичный порядок; совершенный (линейный);
— толерантность;
— эквивалентность;
— цикличность;
— полнота.

Количественные характеристики типов бинарных отношений

Отношения могут обладать не только одним конкретным свойством, но и совокупностями пар, троек и т. д. свойств. Использование таких отношений на практике обычная ситуация. Так, например, каждому отношению толерантности (безразличия) присущи два свойства: симметричность и рефлексивность. Такая совокупность свойств определяет тип отношений толерантности.

Другой тип отношений возникает из отношений толерантности, если потребовать от таких отношений выполнимость расширенного списка свойств: симметричность, рефлексивность и транзитивность. Понятно, что возможно не все отношения толерантности окажутся транзитивными, но те, которые будут обладать набором трех названных свойств, образуют новый тип отношений, называемых эквивалентностями.

Множество отношений эквивалентности оказывается вложенным в множество отношений толерантности. Для примера в каталоге эти типы отношений выделены заливкой (8 толерантностей и только 5 из них эквивалентности). Возникает вопрос о количестве БО, обладающих набором свойств или одним из них.

Рефлексивность

Отношение α = на множестве A = <Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично> является рефлексивным (обладает свойством рефлексивности), если каждая пара (Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично) удовлетворяет данному отношению. Здесь Å — график (не граф) отношения Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Другими словами, главная диагональ матрицы графика Å отношения заполнена единицами. На графе рефлексивного отношения все вершины имеют петли. Отношение является антирефлексивным, если ни для какого Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноне выполняется Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. В этом случае матрица антирефлексивного отношения α на главной диагонали не имеет ни одной единицы, т.е. там размещаются нули, а соответствующий граф не имеет петель ни в одной вершине.

Наконец, отношение α является нерефлексивным, если для некоторого Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричновыполняется, а для других не выполняется. Такие отношения будем считать частично рефлексивными. Матрица нерефлексивного отношения на главной диагонали содержит частично единицы, частично – нули. Граф такого нерефлексивного отношения имеет петли не во всех вершинах.

Классическим примером рефлексивного отношения является главная диагональ матричного представления, единичное (E = Δ) отношение, т.е. отношение равенства (в каталоге № 68). График этого отношения образован точками (парами), лежащими на главной диагонали матрицы и соответствующими парами Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, никаких других точек график этого отношения не содержит.

Матричное представление этого отношения соответствует единичной матрице (E). Граф диагонального отношения образован вершинами, соответствующими элементам из множества А, которым приписаны петли. Часто диагональное отношение обозначают символом Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

В случае рефлексивного отношения, соответствующий ему граф также является рефлексивным, в случае антирефлексивного отношения его граф антирефлексивный. Если для некоторого отношения α известно, что оно рефлексивное, то дополнение ᾱ всегда антирефлексивное, и Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Для антирефлексивного отношения β справедливо Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Пример 1. Отношение ≤ (не больше) на множестве N является рефлексивным, а отношение на множестве A является симметричным (обладает свойством симметрии относительно прямой, совпадающей с главной диагональю графика Å), если для некоторой пары Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноиз Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. Другими словами, для любой пары Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричновыполняется либо в обе стороны, либо совсем не выполняется.

На графе симметричного отношения, если пара вершин i и j связана дугой (i, j), то она обязательно связана и дугой (j, i). Граф симметричного отношения является симметричным ориентированным или просто неориентированным, обыкновенным графом.

Отношение α является антисимметричным, если из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнои Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует что i=j.

Матрица антисимметричного отношения содержит не обязательно все единицы на главной диагонали и содержит единицы в одной из двух симметричных относительно главной диагонали позиций: над диагональю либо под диагональю. Граф этого отношения образован вершинами с петлями для всех или некоторых из них и, если пара вершин (i, j) в графе связана, то всегда дугой только одного направления. Заметим, что для симметричного и антисимметричного отношения некоторые диагональные точки могут либо включаться в него, либо нет.

Если антисимметричное отношение не содержит ни одной диагональной точки, то говорят, то такое отношение является асимметричным, т.е. оно всегда антирефлексивно.

Пример 2. Отношение (≤) на множестве N – является антисимметричным, а отношение ( содержит и любые последовательности Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично$» data-tex=»inline»/>, образованные перестановкой членов множества Х.

Заметим также, что асимметричное отношение всегда антирефлексивно; нерефлексивное и транзитивное бинарное отношение всегда асимметрично. Для практики и выполнения вычислений интерес представляет количество отношений, обладающих определенным свойством, связанным с симметрией графика. Выполним подсчет таких отношений для произвольного множества А мощностью |A| = n.

В своих рассуждениях будем опираться на свойство рефлексивности, которое, как и многие другие, изучено еще недостаточно глубоко. Даже поверхностный анализ множества всех отношений позволяет сделать вывод о том, что оно всегда может быть разделено на Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноклассов одинакового объема, а состав отношений, образующих эти классы, подчиняется определенной закономерности.

Множества отношений во всех классах имеют одинаковое устройство, отличаются только числом и составом диагональных точек, все разнообразие которых определяется числом Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. Определим состояние диагонали отношения при фиксированном n количеством и составом точек на ней и принадлежащих конкретному отношению. Ясно, что при фиксированном множество состояний заполненности ячеек диагонали определяется булеаном Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, где ∆ – полное множество точек диагонали графика декартова квадрата мощностью |∆| = n.

Таким образом, в теории отношений традиционно рассматривались и изучались только два крайние состояния: либо все точки диагонали включены в отношение и оно является рефлексивным, либо отношение не содержит ни одной диагональной точки, и тогда оно антирефлексивно.

Будем называть все промежуточные состояния с одной диагональной точкой, с двумя и так далее частичной рефлексивностью k-го порядка k=0(1)n, а отношения такого вида частично рефлексивными. Так частично рефлексивное отношение порядка ноль – это антирефлексивное отношение, а частично рефлексивное отношение порядка n- это просто рефлексивное отношение.

Заметим, что все состояния могут быть упорядочены как элементы булеана множества ∆. Предлагаемый подход позволяет наметить путь анализа раз-личных свойств и подсчета числа отношений, обладающих отдельными свойствами или их совокупностями.

Пусть рассматриваются отношения рефлексивные и симметричные. Симметричность отношения определяется наличием пар точек в нем, которые расположены в матрице отношения симметрично относительной диагонали. При произвольном n таких пар существует Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. Обозначим множество этих пар символом S.

Тогда все разнообразие симметричных и рефлексивных отношений будет определяться булеаном Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. Множество таких отношений более подробно будет рассматриваться несколько позже, а здесь скажем, что оно образует пространство безразличия или толерантности. Ясно, что число отношений толерантности определяется мощностью булеана Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, т.е. Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Ниже в табл. 1 приведены значения числа толерантных отношений для начальных значений n из отрезка натурального ряда чисел.

Таблица 1. Количества толерантных БО

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

где n число диагональных точек отношения. В табл. 2 приводятся значения |SM| для некоторых n.

Таблица 2. Количества симметричных БО

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Теперь перейдем к подсчету асимметричных отношений, множество которых будем обозначать через AS. Эти отношения характеризуются тем, что в них отсутствуют все точки диагонали и ни одна из клеток матрицы отношения, лежащих вне диагонали, не имеет симметричной. Другими словами, это множество антирефлексивных и антисимметричных отношений.

Мощность этого множества может быть определена из выражений

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

где К =Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Получим приведенную формулу для подсчета мощности множества AS — асимметричных отношений при заданной мощности носителя |А| = n. По определению все отношения множества AS антирефлексивны, следовательно, главная диагональ в матрицах отношений пуста, а единичные элементы могут размещаться лишь в половине оставшихся позиций матрицы, т.е. в Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноклетках.

Итак, предположим, что асимметричное отношение содержит k-элементов (точек, упорядоченных пар) 0 ≤ k ≤ Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. Количество отношений с таким числом элементов, очевидно, будет равно числу сочетаний из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнопо k.

При этом с каждым из k элементов свяжем пару симметричных позиций: одна над главной диагональю матрицы, другая – под диагональю.Поскольку в каждой паре элемент может быть в одной из двух позиций, то для размещения k элементов возникает булеан Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричновозможностей.

Таким образом, Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично– это число выборов k пар позиций из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноимеющихся пар в матричном представлении отношений, а Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично– количество возможностей расставить k элементов по позициям в каждой паре. Количество отношений, содержащих k элементов определяется как произведение числа выборов пар позиций на количество вариантов расстановки этих k элементов, т.е. Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Полное же число отношений в множестве AS получается при суммировании полученных произведений по всем значениям k от нуля до максимально допустимого K =Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, т.е.

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

где К =Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Пример 3. Пусть мощность множества носителя |А| = 5. Подсчитаем по найденной формуле число асимметричных отношений. Определим значение верхнего предела К в сумме, К =Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично=10. Данные подсчета слагаемых суммы приведены в табл. 3.

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Существует другой способ подсчета мощности множества AS. Он основан на подсчете числа отображений множества пар симметричных позиций во множество состояний, в котором может быть каждая такая пара. В асимметричном отношении имеется Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнопар позиций.

Каждая позиция в паре клеток может быть занята 0 или 1, но для пары позиций имеются S = 3 состояния, которые обозначим следующим образом:

— 1, если элемент (1) помещен над диагональю;
— 2, если элемент (1) помещен под диагональю;
— 3, если обе позиции пусты (заняты нулями).

Таким образом, пара симметричных позиций (в матрице отношения) может быть в каждом
отношении в одном из трех состояний. Формула для подсчета всех возможных отображений множества пар позиций (обозначим его символом K ) в множество S состояний имеем:
Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично|AS| =|S|^<|K|>$» data-tex=»inline»/>

Пример 4. Для условий предыдущего примера имеет вид |A| = 5, K=|K| = Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично|S| = 3, тогда, Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Результаты расчетов двумя разными способами совпадают, что лишний раз убеждает в правильности полученных формул. Таким образом, получено соотношение

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

где К = Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Приведем в табл. 4 числа асимметричных отношений |AS| для небольших значений n.

Таблица 4. Количества асимметричных БО

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Имея формулу для определения числа асимметричных отношений, можно получить другую – для подсчета числа антисимметричных отношений, так как наличие или отсутствие диагональных точек не меняет свойства антисимметричности отношения.

Итак, обозначим множество антисимметричных отношений символом ANS, тогда мощность этого множества определится по формуле Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

где К =Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Ниже приводится табл. 5, содержащая значения (ANS) при n = 3(1)5.

Таблица 5. Количества антисимметричных БО

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

В дальнейшем нам потребуются понятия, которые удобно ввести здесь.

Транзитивность (лат. Transitivus – переходный, от transitus – переход)

Другими словами, для транзитивного отношения из наличия в его составе элементов (Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично) и (Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично) следует, что оно содержит, обязательно и элемент ( Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично). Для графа отношения это свойство означает, что если пара вершин ( Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично) связана ориентированным путем, проходящим через вершину k и образованным 2-мя последовательными дугами ( Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично), ( Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично), то эти же вершины непосредственно связаны и единственной дугой (Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично). Для элементов матрицы [Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично] транзитивного отношения α из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Определение свойства транзитивности для бинарных отношений предполагает, что отношение содержит не менее трех элементов (упорядоченных пар). А как это свойство проявляется в отношениях одноэлементных, пустых или содержащих только два элемента?

Все одноэлементные и пустое отношение транзитивны. Двухэлементное отношение может быть транзитивным и нетранзитивным, если пары, входящие в него, содержат общий элемент j. Дуги графа, соответствующие упорядоченным парам направлены в одну сторону (образуют ориентированный не обеспечивающий транзитивность маршрут).

Например, пусть ( Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично)є α и ( Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично)є α. Сформулированное определение требует: чтобы отношение α было транзитивным, обязательно наличие в нем третьей пары (дуги), а именно, ( Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично), но так как ее нет, то свойство транзитивности для α не выполнено.

Если, как и раньше, отношение содержит только две пары с общим элементом Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, но такие, что общий элемент Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнонаходится в одинаковой позиции в обеих парах (Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично), ( Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично) или (Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично),
( Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично), а дуги на графе направлены в разные стороны, то такое отношение транзитивно, так как включение третьей пары в состав отношения не требуется.

Транзитивным отношение будет и в случае, когда две пары не имеют общих элементов. Примерами транзитивных отношений являются:« равенство » (=), так как из i = k, k = j вытекает i = j; « i больше j»; в геометрии – «параллельность прямых». Примеры не транзитивных отношений: «перпендикулярность прямых» в геометрии; « i не равно j».

В литературе, посвященной отношениям, можно встретить разнообразные понятия, характеризующие транзитивность: слабая транзитивность, сильная транзитивность, отрицательная транзитивность, антитранзитивность, слабая антитранзитивность, обобщенная транзитивность, транзитивное замыкание и некоторые другие. Здесь сделана попытка систематизировать многообразные оттенки проявления свойства транзитивности в отношениях.

Для транзитивного отношения α отношение Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнотакже всегда является транзитивным. Пересечение произвольного числа транзитивных отношений является транзитивным отношением. Если рассматривать отношение ᾰ, которое является пересечением всех транзитивных отношений, содержащих отношение α, то ᾰ называется транзитивным замыканием отношения α.

Транзитивное замыкание ᾰ может быть построено для любого отношения α в соответствии с правилом из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует:

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Отношение ᾰ является наименьшим транзитивным отношением, содержащим α. Если α транзитивно, то оно совпадает со своим транзитивным замыканием α=ᾰ и наоборот.

При изображении транзитивного бинарного отношения ориентированным графом можно изображать не весь орграф, а лишь его транзитивный остов, т.е. не изображаются дуги, соединяющие начало и конец каждого маршрута длиной более единицы. В этом случае говорят, что для отношения α взят транзитивный остов графа. Эта операция по существу является обратной к операции транзитивного замыкания, при которой начало и конец каждой цепи соединяются дугой.

Относительно операции объединения отношений в общем случае свойство транзитивности не выполняется. Объединение двух транзитивных отношений Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнои Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноявляется транзитивным тогда и только тогда, когда одно из них транзитивно относительно другого. Для пары бинарных отношений Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнои Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноможно рассматривать транзитивность одного из них относительно другого.

Так Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноявляется транзитивным относительно Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнопри выполнении условий:

1) из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично;
2) из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

В случае, когда Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноотносительная транзитивность является обычной транзитивностью.

Известно следующее утверждение относительно свойств транзитивности, симметричности и асимметричности отношения. Если бинарное отношение транзитивно, то его симметричная часть Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнои Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноасимметричная часть также транзитивны.

Обратное выполняется лишь в том случае, если Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнотранзитивны и Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнотранзитивно относительно Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. В общем случае из транзитивности Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнои Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноне следует транзитивность α.

Композиция транзитивного отношения α с собой удовлетворяет соотношению α·α ⊆ α. Отношение α является отрицательно транзитивным (нетранзитивным) в том случае, если транзитивным является дополнение к нему, т.е. ᾱ. В матрице такого отношения [ Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично] из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнои Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. Отрицательная транзитивность α не исключает того, что само α может быть также транзитивным.

В этом случае говорят, что α является сильно транзитивным отношением. Элементы матрицы [ Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично] такого отношения характеризуются тем, что из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, a из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Наряду с сильно транзитивными отношениями рассматриваются слабо транзитивные (псевдотранзитивные), к которым относятся те из отношений, где выполняются условия из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнои Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. Из асимметрии и отрицательной транзитивности следует его транзитивность.

Отношение α является транзитивно полным, если для любых δ из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично,
следует сравнимость Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнои Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, т.е. выполняются либо Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнолибо Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Цикличность

Отношения, заданные на множестве А, могут рассматриваться с точки зрения наличия в них циклов. Удобно такое рассмотрение проводить на графах отношений. Граф циклического отношения всегда содержит, по крайней мере, один замкнутый контур (ормаршрут). При игнорировании стрелок контур превращается в цикл. Граф ациклического отношения не содержит циклов и называется ациклическим или бесконтурным.

Отношение = является циклическим, если из элементов множества А может быть образована хотя бы одна цепочка вида Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнопроизвольной длины δ. График Å транзитивного замыкания для циклического отношения содержит, по крайней мере, одну пару (Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично), а для ациклического отношения α не содержит ни одной такой пары.

Отношение = является ациклическим, если для любого δ≥1 выполняется условие из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. В матрице[Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично] ациклического отношения из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует i≠j. Ациклическое отношение всегда асимметрично, но обратное не верно. Другими словами, если некоторые вершины Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнои Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнографа α ациклического отношения соединены путем; то в графе нет дуги (Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично).

Классическими примерами графов с таким свойством являются транзитивные турниры. Вершины таких графов допускают перенумерацию, при которой для любой дуги (Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично) номер вершины j больше, чем вершины i.

Если α – антирефлексивное транзитивное бинарное отношение, то оно ациклично. Из ацикличности и транзитивной полноты отношения следует его транзитивность.

Полнота

Свойство полноты (совершенства, линейности). Все множество отношений разделяет на неполные и полные, среди которых в свою очередь выделяются сильно полные. Будем иллюстрировать свойство полноты отношений, рассматривая графы отношения.

Граф полного отношения – полный, т.е. любые две его вершины непосредственно связаны хотя бы одной дугой, т.е. являются смежными. Поскольку каждой дуге в графе соответствует точка (элемент, пара) графика отношения, то на основании изложенного можно сформулировать определение.

Отношение = является полным (совершенным, линейным) тогда и только тогда, когда все элементы множества А являются сравнимыми или равны между собой. Таким образом, полное отношение рефлексивно. Другими словами, для любых двух элементов Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнои Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричносправедливо Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Если в отношении α найдется хотя бы одна пара Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнонесравнимых и неравных между собой элементов, то такое отношение является неполным. Для любого полного отношения α справедливо Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноили из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. Бинарное отношение α полно тогда и только тогда, когда Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, т.е. когда его асимметричная часть совпадает с двойственным (п.9) отношением.

Бинарное отношение α является сильно полным, когда его график совпадает с A×A. Граф такого отношения является полным графом, в котором каждая пара вершин связана ребром, а каждая вершина имеет петлю. Такой граф называют сильно полным графом. Для полного отношения α всегда выполняются соотношения Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнои Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. Отношение Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричновсегда полно.

Если Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнои Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнополные отношения, то Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнополно. В матрице [Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично] полного отношения Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноили Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнодля любых i, j, либо верны оба равенства. Отношение α является слабо полным (слабосвязным), если для любых Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнотаких, что Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, либо Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, либо Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

В матрице [Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично] слабо полного отношения для любых i ≠ j, либо Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, либо Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, либо верны оба равенства. Отношение α является транзитивно полным, если для произвольного n из Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноследует сравнимость Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричнот.е. Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметричноили Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Выполним подсчет числа полных отношений. Вначале рассмотрим задачу о линиях. Линией в матрице отношения будем называть отрезок прямой перпендикулярный главной диагонали матрицы отношений, соединяющий центры симметрично расположенных относительно этой диагонали двух ячеек (клеток) матрицы.

Если на одну линию (прямую) в матрице отношения попадают две и более пар симметричных позиций, то число линий, тем не менее, остается равным числу таких пар позиций. Полное число пар позиций при произвольном n определяется как Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Итак, в матрице для произвольного отношения над множеством А имеется множество L параллельных отрезков (линий). Обозначим концевые позиции отрезков (линий) символами Л – левая и П – правая. Имеется также |L| фишек, которые можно помещать в позиции на концах линий. Задача заключается в том, чтобы определить число способов, которыми можно было бы расставить |L| фишек так, чтобы на каждой линии было не менее одной фишки.

Понятно, что задача может быть сведена к определению числа F отображений f: L → π множества L линий в множество π позиций (п = <Л, П>). Известно, что число таких отображений определяется формулой Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. Конкретное отображение (образ) может иметь вид последовательности индексов для | L | позиций. Символу Л соответствует позиция под главной диагональю, а символу П, симметричная ей над диагональю.

Из определения полного отношения следует, что его график содержит не менее К точек, К = Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, расположенных: так, что все линии оказываются занятыми, хотя бы одной фишкой. Число k точек графика, дополнительных к минимально необходимому числу, может пробегать значение k = 0(1)К =Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

При каждом фиксированном числе k точек множество выборов позиций, в которых они могут размешаться определяется значением Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, где К – множество незанятых позиций. Так как k дополнительных точек заполняют полностью k линий, то для обеспечения свойства полноты отношения остается заполнить К — k позиций фишками (точками из множества минимально необходимого), и число таких заполнений равно Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Выборы позиций для k дополнительных точек и способы заполнения фишками К-k линий являются независимыми. Следовательно, общее число возможностей размещения К + k точек в 2∙К позициях так, чтобы все линии были заняты хотя бы одной точкой, определится выражением Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Если просуммировать это выражение по, то получим число полных отношений, которое не зависит от ситуации с размещением диагональных точек. Другими словами, это число частично рефлексивных полных отношений, например, антирефлексивных и полных рефлексивных и полных и т.п.

Пример 5. Многообразие ситуаций размещения диагональных точек определяется числом Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично. Тогда П мощность множества всех полных отношений при фиксированном n определится по формуле

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично.

Для отношений с тремя обязательными свойствами

Для отношений эквивалентности с тремя обязательными свойствами. Имеется замечательный результат: каждому отношению эквивалентности над множеством из n элементов взаимно однозначно соответствует разбиение этого множества. Число таких отношений определяется формулой

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично, где S(n, m) — число Стирлинга 2-го рода, Bn — число
Белла или в рекуррентной форме

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

Для упорядоченных множеств (частичных порядков) подобные формулы не открыты и их число определяется непосредственными вычислениями, т.е. моделированием. Для малых значений n данные приведены в таблице

Таблица 6. Количественные характеристики бинарных отношений

Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично

В таблице 6. показаны: n = |A| – мощность множества-носителя;
Как понять что множество симметрично. Смотреть фото Как понять что множество симметрично. Смотреть картинку Как понять что множество симметрично. Картинка про Как понять что множество симметрично. Фото Как понять что множество симметрично– количество всех бинарных отношений на множестве А;
|Ин(n) | – количество классов неизоморфных отношений;
|Г(n)| – количество отношений частичного порядка;
|Гн(n)| – количество классов неизоморфны отношений частичного по-рядка;
|Гл(n)| = n! – количество отношений линейного порядка.

Заключение

В работе выполнен детальный анализ основных свойств и устройства бинарного отношения, на основе которого удалось получить количественные характеристики для БО с одним и более свойствами. Найдены и приведены оригинальные соотношения для количества некоторых типов отношений с двумя и тремя обязательными свойствами. Эти результаты открывают возможность моделирования и изучения БО и отношений более высокой арности.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *