Как понять что монетка честная

Проверка честности монеты

Мне задал следующий вопрос друг. Я не мог ей помочь, но я надеюсь, что кто-нибудь сможет мне это объяснить. Я не мог найти подобный пример. Спасибо за любую помощь и объяснение.

Q: Результаты 100 экспериментов с бросанием монет записываются как 0 = «Хвост» и 1 = «Голова». Выход x представляет собой строку из 0 и 1 длиной 100. И вычисляется количество раз, когда мы получаем 1-0-0 в x, и оно равно 20 (например, если x = (001001110100), 1-0-0 встречается 2 раза). Как вы думаете, это честная монета?

Решение проблемы с помощью симуляции

Моей первой попыткой было бы смоделировать это на компьютере, который может очень быстро перевернуть много монет. Ниже приведен пример с одним миллионом испытаний. Событие «то, что число раз X ‘ role=»presentation»> Икс когда шаблон« 1-0-0 »происходит при n = 100 ‘ role=»presentation»> N знак равно 100 монетных бросках, составляет 20 или более», происходит примерно раз в три тысячи испытаний, поэтому то, что вы наблюдали, не очень вероятно (для справедливого монета).

Решение проблемы с точным вычислением

Время ожидания вероятности переключения «1-0-0»

Время ожидания вероятности переворачивания k ‘ role=»presentation»> К раз ‘1-0-0’

Это вы можете вычислить путем свертки.

Вы получите вероятность наблюдать 20 или более паттернов «1-0-0» (основываясь на гипотезе, что монета справедлива)

Вот R-код для его вычисления:

Вычисление за нечестные монеты

x ‘ role=»presentation»> Икс n ‘ role=»presentation»> N p ‘ role=»presentation»> п

Теперь мы используем обобщение чисел Фибоначчи:

вероятности теперь как:

Когда мы строим это, вы получаете:

p = 0.5 ‘ role=»presentation»> п знак равно 0,5 p = 0.33 ‘ role=»presentation»> п знак равно 0,33

Таким образом, если вы думали перед экспериментом, что монета вряд ли несправедлива, то теперь вы все равно должны думать, что монета вряд ли несправедлива.

p h e a d s = p t a i l s ‘ role=»presentation»> п час е a d s знак равно п T a я L s

Можно было бы намного проще проверить вероятность получения справедливой монеты, подсчитав количество голов и хвостов и используя биномиальное распределение, чтобы смоделировать эти наблюдения и проверить, является ли наблюдение конкретным или нет.

Однако, возможно, монета подбрасывает в среднем одинаковое количество голов и хвостов, но это несправедливо в отношении определенных моделей. Например, у монеты может быть некоторая корреляция для последующих бросков монеты (я представляю какой-то механизм с полостями внутри металла монеты, которые заполнены песком, который будет течь как песочные часы к противоположному концу предыдущего броска монеты, который загружает монету падать скорее на ту же сторону, что и предыдущая сторона).

p ‘ role=»presentation»> п

p = 0.45 ‘ role=»presentation»> п знак равно 0,45 p ‘ role=»presentation»> п p ‘ role=»presentation»> п

Использование математики в статистике

Выше все хорошо, но это не прямой ответ на вопрос

«Как вы думаете, это честная монета?»

Чтобы ответить на этот вопрос, можно использовать вышеприведенную математику, но сначала нужно очень хорошо описать ситуацию, цели, определение справедливости и т. Д. Без какого-либо знания основ и обстоятельств любое вычисление будет просто математическим упражнением, а не ответом на явный вопрос.

Один открытый вопрос: почему и как мы ищем модель «1-0-0».

Источник

Проверка честности монеты

В этой статье описываются экспериментальные процедуры определения того, является ли монета честной или несправедливой. Существует множество статистических методов анализа такой экспериментальной процедуры. В этой статье показаны два из них.

Оба метода предусматривают эксперимент (или испытание), в котором монета подбрасывается много раз и результат каждого подбрасывания фиксируется. Затем результаты могут быть проанализированы статистически, чтобы решить, является ли монета «честной» или «вероятно несправедливой».

Подставив это в предыдущую формулу:

Фактически это бета-распределение ( сопряженное предшествующее биномиальное распределение), знаменатель которого может быть выражен через бета-функцию :

Поскольку предполагалось равномерное априорное распределение и поскольку h и t являются целыми числами, это также можно записать в терминах факториалов :

Пример

Например, пусть N = 10, h = 7, т.е. монета подбрасывается 10 раз и получается 7 орлов:

Вероятность несмещенной монеты (определяемой для этой цели как вероятность выпадения орла где-то между 45% и 55%)

мала по сравнению с альтернативной гипотезой (необъективная монета). Однако он недостаточно мал, чтобы заставить нас поверить в то, что монета имеет значительную предвзятость. Эта вероятность немного выше, чем наше предположение о вероятности того, что монета была честной, соответствующей единообразному априорному распределению, которая составляла 10%. Используя предварительное распределение, которое отражает наши предварительные знания о том, что такое монета и как она действует, апостериорное распределение не будет способствовать гипотезе смещения. Однако количество испытаний в этом примере (10 бросков) очень мало, и при большем количестве испытаний выбор предварительного распределения будет несколько менее актуальным.)

Используя этот подход, чтобы решить, сколько раз монета должна быть подброшена, требуются два параметра:

Следовательно, значение максимальной ошибки (E) определяется выражением

п знак равно Z 2 4 E 2 <\ Displaystyle п = <\ гидроразрыва > <4 \, E ^ <2>>> \!>

Примеры

1. Если требуется максимальная ошибка 0,01, сколько раз следует подбросить монету?

Теперь найдите значение Z, соответствующее уровню достоверности 99,999%.

Таким образом, интервал, содержащий r:

Вышеупомянутый математический анализ для определения честности монеты также может быть применен для других целей. Например:

Источник

Орел или решка?

Человек должен мыслить вероятностно. Просто потому, что наш мир так устроен, что каждое событие происходит с той или иной степенью вероятности. И этот «железобетонный» факт нужно всегда принимать во внимание.

Заметьте, что это не вполне перекрывается с диалектичностью мышления. Разница в том, что диалектика описывает любую ситуацию, как совокупность разнонаправленных факторов (что, безусловно, влияет на вероятность того или иного исхода). Тогда ситуация — суть синтез этих факторов в данный конкретный момент.

Вероятность же — понятие математическое. Классическим примером является подбрасывание монетки. Может выпасть «орел», а может «решка». Поскольку сторон у монетки всего две, то вероятность выпадения «орла» составляет 1/2 или 0,5.

Есть несколько очень важных моментов, входящих в понятие «вероятностное мышление», которые на примере с монеткой можно продемонстрировать.

Вначале о двух принципиально разных вариантах: а) когда вероятность всей последовательности событий или элементов системы влияет на результат; б) когда то, что было до очередного события – неважно.

Рассмотрим первый вариант (напомню, когда вероятность всей последовательности событий или поведения элементов системы влияет на результат).

Какова вероятность выпадения «орла» 2 раза подряд? Правильно, 0,5*0,5=0,25. Т.е. в 2 раза меньше, чем вероятность выпадения «орла» в одной-единственной попытке.

Это очень важный момент, который нужно научиться видеть и понимать в любой системе. Допустим, возьмем большой пассажирский самолет. В нем многие тысячи деталей и механизмов. Часть из них является критически важными — т.е. такими, поломка или отказ которых приведет к катастрофе. Допустим, что таких деталей 1000 штук. Вероятность отказа каждой детали в отдельности достаточно низка. Уже потому, что их конструировали и изготавливали профессионалы. Допустим, что надежность каждой детали из 1000 составляет 0,999. Заметьте, что это весьма высокая надежность!

Но на исход полета (надежность самолета в целом) влияют все 1000 деталей! Поэтому, надежность самолета в целом будет оцениваться как 0,999 в степени 1000. Это значение равно 0,375 по моему калькулятору. Что такая цифра означает в жизни? Самолет упадёт с вероятностью 1-0.368=0.632, т.е. больше чем в половине случаев [спасибо коллеге NIN за поправку]. Вы согласились бы лететь на таких условиях. (В скобках замечу, что для повышения надежности технических систем уже давно разработаны специальные методы.)

Но это «железяки». А теперь представьте, что вы выстраиваете цепочку сделок с 5 контрагентами. При этом каждому участнику вы доверяете (иначе зачем ввязываться в откровенно сомнительную авантюру?) на 80%. Тогда вероятность успешного окончания сделки 0,8 в 5-ой степени – это 0,328, т.е. чуть выше 30%. Вы готовы рискнуть своими деньгами на таких условиях?

Теперь вариант №2, когда вероятность всей последовательности событий или поведения элементов системы не влияет на результат очередной попытки.

Допустим, вы подбросили монетку 10 раз — и все десять раз выпала «решка». Ну чего не случается в жизни, правда?! Вы бросаете 11-й раз. Вопрос: какова вероятность того, что выпадет снова «решка»?

Правильный ответ (до которого я сам в свое время не додумался, честно признаюсь) — 0,5! Хотя очень хочется сказать 0,5 в 11 степени, т.е. 0,00049.

Дело в том, что монетка «не знает», как она падала в предыдущие «разы». Для нее в каждой отдельной попытке есть только 2 варианта, причем вероятность каждого составляет 0,5.

В жизни очень важно уметь видеть такие ситуации, которые «работают» по такому вот «независимому» механизму – и отличать их от «зависимых» (т.е. таких, в которых вероятность накапливается).

Обратите внимание, что ошибка (разница) в оценках в этом примере составляет 1000 раз. Т.е. мы скромно так ошиблись на 3 порядка. Даже некорректно использовать термин «ошиблись» — мы просто не в курсе дела, что называется. Это к вопросу о важности различения типов ситуаций по жизни.

Завершая разговор об этих двух различных вариантах, можно упомянуть о том, что в терминах философии сказанное означает, что между событиями в первом случае есть, а во втором случае нет причинно-следственной связи.

В самом деле, в первом случае условием выполнения задачи являются все исходы подбрасываний монетки. Например, если во второй попытке выпала «решка» — то результата «5 орлов подряд» уже не достичь, верно? Во втором случае исходы предыдущих попыток никак не влияют на исход любой последующей.

Учет маловероятных событий и граничных условий

Есть еще один аспект темы «Орел или решка?» Записные остряки иногда шутят, что возможны еще 2 варианта:

В каждой ситуации (в т.ч. жизненной) есть свой главный вопрос. В ситуации с падением монетки на ребро это: а какова вероятность того, что будет именно такой исход?

Здесь вы можете остановиться и сделать 100 или 1000 подбрасываний монетки. Я не шучу, это очень важный момент. Ведь речь о том, что для конкретного мышления нужен практический опыт. Вот вы и можете на своем опыте попытаться добиться ситуации, чтобы монетка стала на ребро…

… Надеюсь, вы уже накидались вдоволь и мы можем продолжить. Подозреваю, что даже в 1000 попыток монетка ни разу не встала на ребро. Хотя рукой, действуя очень осторожно и тщательно, мы можем ее в такое положение поместить, правда? Т.е. какая-то конечная вероятность существует.

Для целей нашего разговора главный вывод из этого упражнения заключается в двух вещах:

• в большинстве случаев, когда одно событие имеет вероятность в 10 и более раз выше, чем иное событие, вторую альтернативу из рассмотрения можно исключить (обычно разницу на порядок величины и более называют «качественной»);
• в тоже время важно помнить, что мы всегда имеем дело с вероятностными процессами. И что исключили мы на этапе анализа тот или иной вариант не потому, что он невозможен в принципе, а потому что он маловероятен, а возможная «цена» такого исхода не запредельно велика для нас. Если же на кону жизнь или состояние – тогда нужно еще разок подумать, а можно ли пренебречь даже такой небольшой вероятностью негативного исхода…
Важно четко отдавать себе отчет в том, для чего и какой именно анализ вы делаете, быть адекватным и профессиональным.

Еще немного об учете граничных условий

Пример с монеткой, повисшей в воздухе, указывает на важность учета условий, в которых протекает тот или иной процесс. Всегда нужно отдельным пунктом четко прояснить граничные условия задачи, которую вам предлагают решить (действовать, работать). Кстати, классический пример такой ситуации – это Александр Македонский и «гордиев узел». Как известно, он не стал его развязывать, он его просто разрубил. При этом, не суть важно, были заданы условия или нет, т.к. оба варианта одинаково полезно обдумать: а) можно воспользоваться неопределенностью граничных условий или б) можно сознательно выйти за границы заданных условий, поскольку — оставаясь в них — задачу не решить.

Далее, есть такая фраза: «С ним я бы в разведку не пошел». В чем ее суть с точки зрения вероятности? В ней на основе наблюдения за поведением данного человека делается некий прогноз о его возможных действиях в экстремальных условиях разведывательной операции (т.е. о вероятности того или иного исхода в иных граничных условиях).

Причем логика такова: если в повседневной жизни в поведении данного индивида есть настораживающие моменты — то как же он поведет себя, когда его «жареный петух в одно место клюнет»?!

Вывод прост: если вы принципиально меняете условия проведения того или иного опыта — то вы должны быть готовы к тому, что результаты, полученные в исходных условиях, будут откровенно ненадежными. Т.е. вероятностное распределение исходов резко изменится.

Очень важно четко осознавать граничные условия задачи.

О различиях между априорной и апостериорной оценками

Из вероятностного характера большинства событий вытекает принципиальная разница между т.н. априорной и апостериорной оценкой. Т.е. оценкой до и после события.

До полета можно априори заявить, что он обязательно будет успешным? Можно, но это будет абсолютно некорректно, т.к. конечная вероятность неблагоприятного исхода существует всегда. Зато после полета вы можете сказать что-то вроде «Да я и не сомневался, потому что вероятность неуспеха была ничтожно мала. »

Самая же большая разница в таких оценках — разница психологическая. Вы это легко поймете, когда вспомните свое состояние до полета и после того, как самолет коснулся колесами земли.

Это, вообще-то очень небанальный вывод, хотя на первый взгляд может показаться именно таким. Вы легко поймете его важность, если вспомните, как люди, научившись что-то делать (например, фотографировать), потом говорят с нарочитой небрежностью: «Легко. » Так вот, это и есть апостериорная оценка и при этом человек уже «забыл», что никакой гарантии такого исхода ведь не было, была лишь вероятность. А для человека, который еще этому не научился, она выглядит издевкой, причем абсолютно непонятной и от этого еще более обидной. Обидной еще и потому, что совершенно не факт, что в его случае факторы сойдутся в нужной конфигурации и он тоже совершит этот качественный скачок. Фотографируют тысячи, а фотографами становятся единицы.

Важно помнить, что то, что для вас является апостериорным – для других является априорным. Они смотрят на эту задачу с другой стороны, они еще не знают о ней того, что знаете вы…

Проявлением «вероятностного мышления» у вас в голове должно служить численная оценка вероятности того или иного события. Т.е. вы должны помыслить, к примеру, так: «оценка вероятности неблагоприятного исхода 0,1, а это уже серьезно и для меня неприемлемо». Но никак не «авось, этого не произойдет».

Я затронул только малую часть того, что я называю «вероятностным мышлением». Это большая область, которую желательно изучить, осознать и приобрести необходимые автоматические навыки (в т.ч. выполнения всех видов оценки).

Главное же, ради чего я решил написать это небольшое эссе, заключается в напоминании о том, что состояние неопределенности (и вероятность, как мера неопределенности) — это неотъемлемое условие, атрибут человеческого существования, нашей жизни. Повысить определенность формально возможно и это нужно стараться делать. К сожалению, почти всегда такие попытки связаны либо с необоснованно высоким расходом сил, либо отсутствием времени. Самые же важные процессы в нашей жизни неопределенны принципиально, в силу своей исключительной сложности и многофакторности. В результате наиболее существенные наши решения всегда принимаются в условиях недостатка информации, когда вероятность успеха отнюдь не так велика, как нам бы хотелось думать. И у нас нет иного выхода, как попытаться научиться спокойно к этому относиться и быть достаточно эффективным и в таких условиях.

P.S. Чтобы не заканчивать на пафосно-назидательной ноте, напомню классический анекдот про «вероятностное мышление» в неумелом исполнении:

— Какова вероятность того, что завтра наступит конец света?
— 50%, потому что либо наступит, либо нет…

Источник

Как определить ценность монеты: советы для начинающих нумизматов

У вас в руках монета, которую вы подозреваете в особой ценности? Главное — не приводите ее в порядок подручными средствами. Грубые механические и химические методы очистки металла исказят нюансы изображения и сильно обесценят монету, если она действительно ценная. А разобраться в этом помогут наши советы.

К кому обратиться за помощью

Чтобы не ошибиться, можно воспользоваться помощью специалистов и специальных сервисов:

Как определить цену монеты самостоятельно: основные критерии

Редкость

На раритет монеты оказывают влияние следующие факторы:

Датировка

Общее правило: чем старше монета, тем выше стоимость.

Но помните несколько моментов:

В нашем каталоге есть старые ценные монеты, например, стран мира до 1941 года. Мы предоставляем полное описание изделий. Одни есть в наличии, другие можно заказать.

Задать вопрос

Инвестируйте уже сегодня

Американский Двойной орел «Шагающая Свобода» (30,09 г чистого золота), проба 0,900

Золотой жетон «COVID-19» (пруф), 31.1 г чистого золота (проба 0,9999)

Страна выпуска

Этот критерий имеет значение в зависимости от исторической роли государства или его способности чеканить монеты. Чаще всего на них указывается название страны, но помните, что оно может быть написано не на латыни.

Узнать название страны на русском языке можно с помощью ресурса Nations Online.

Состояние

Чем лучше монета сохранилась, тем больше она ценится среди коллекционеров. Основной метод оценки состояния монеты — шкала Шелдона (названа по имени своего создателя — американского ученого и нумизмата Уильяма Шелдона). Определяет состояние монеты по шкале от 1 (практически стертая монета) до 70 (безупречная) баллов.

Некоторые специалисты используют описательные характеристики (плохое состояние, слабое, превосходное и т. п.).

Определяем ценность монет России

Как определить ценность монет России? Для этого лучше конкретно знать монеты, представляющие нумизматическую ценность, вот некоторые:

Ценные экземпляры времен СССР более многообразны. Определить ценность монет СССР помогает следующая информация:

Экземпляры с производственным браком тоже представляют нумизматическую ценность.

Компания «Золотой монетный двор» представляет вашему вниманию инвестиционные и памятные монеты. Выбирайте, покупайте, вкладывайте!

Источник

Теории вероятностей: готовимся к собеседованию и разрешаем «парадоксы»

Каждый год я участвую примерно в сотне собеседований в образовательных проектах JetBrains: собеседую абитуриентов в Computer Science Center и корпоративную магистратуру ИТМО (кстати, набор на программу идёт прямо сейчас). Все собеседования устроены по одному шаблону: мы просим на месте порешать задачи и задаём базовые вопросы по дисциплинам, которые студенты изучали в университетах. Большинство вопросов, которые мы задаём, довольно простые — нужно дать определение некоторого понятия, сформулировать свойство или теорему. К сожалению, у значительной доли студентов все эти определения выветриваются сразу после экзаменов в университетах. Казалось бы, что тут удивительного? В современном мире любое определение можно за пару секунд нагуглить, если это нужно. Но невозможность восстановить базовое определение свидетельствует о непонимании сути предмета.

Если непонимание алгебры или математического анализа может мало влиять на вашу жизнь, то непонимание теории вероятностей делает из вас лёгкую мишень для обмана и манипулирования. Суждения о вероятностях различных событий настолько глубоко вошли в нашу повседневную жизнь, что умение правильно рассуждать и отличать правду от невежества или манипуляции является необходимым. В этом небольшом обзоре мы поговорим о базовых понятиях теории вероятностей, научимся правильно формулировать утверждения про простые случайные процессы и разберём несколько парадоксов. Часть материала позаимствована из брошюры А. Шеня «Вероятность: примеры и задачи», которую я очень рекомендую для самостоятельного изучения.

Перед тем, как говорить об определениях, нам нужно договориться о том, откуда же в нашем мире берётся случайность. Например, почему мы считаем, что подбрасывание монеты — это случайный процесс? С точки зрения классической физики, описывающей процессы в макромире, всё детерминировано, поэтому по параметрам подброса монеты можно однозначно определить, какой стороной она упадёт. Однако на практике оказывается, что измерить и учесть все силы, которые действуют на монетку фактически, невозможно, и поэтому результат этого эксперимента принято считать случайным. Важно понимать, что этот вопрос не является вопросом теории вероятностей. Теория вероятностей работает с моделями — для неё монетка, у которой орёл и решка выпадают одинаково часто, и монетка, у которой орлов в два раза больше, чем решек, — это просто две разные модели. Вопрос о том, какая из моделей больше соответствует наблюдаемой действительности — это вопрос нашего опыта (опыт показывает, что частота орла и решки примерно одинаковая). Таким образом, первым делом мы должны договориться о модели.

Определения

Для определения модели, которая позволит нам говорить о вероятностях, нужно описать вероятностное пространство.

Вероятностное пространство в самом простом конечном случае состоит из множества элементарных исходов и набора неотрицательных чисел , таких что их сумма равна . Довольно часто все исходы считаются равновероятными, т.е. . В более сложном бесконечном случае нужно отдельно выделять множество интересующих нас событий и задавать вероятности событий при помощи функции, называемой вероятностной мерой. Событием называется множество, состоящее из элементарных событий, т.е. любое подмножество . Вероятность события , обозначается , — это сумма всех таких , что . В частности, вероятность пустого события равна нулю, а события равна 1. В случае, когда все исходы считаются равновероятными, вероятность события просто равна отношению количества исходов, содержащихся в событии, к общему количеству элементарных исходов, т.е. .

Вероятность любого события заключена между 0 и 1. Если вероятность события нулевая, то такое событие называется невозможным, если же вероятность события равна единице, то такое событие называется достоверным.

Важно, что без определения вероятностного пространства нельзя (в математическом смысле) говорить о вероятности чего-либо.

Замечание

На основе определения вероятностного пространства легко провести разделение между теорией вероятностей и статистикой: теория вероятностей предсказывает частоты на основе знания вероятностного пространства, а статистика решает обратную задачу — на основе наблюдаемых частот определяет параметры неизвестного вероятностного пространства.

Пример: подбрасывание монетки

Будем считать, что монетка чеканная «правильная» или «симметричная», т.е. она одинаково часто выпадает орлом и решкой, а на ребро никогда не встаёт. Тогда множество элементарных исходов состоит из двух элементов, . Так как мы договорились, что монетка «правильная», то разумно считать, что . Теперь давайте перечислим все возможные события и их вероятности.

Пример: подбрасывание игрального кубика

Как и в случае с монеткой мы будем предполагать, что игральный кубик выпадает всеми гранями одинаково часто. Тогда множество элементарных исходов состоит из шести элементов, , все их вероятности равны . Количество различных событий в этом эксперименте равно (это количество всех подмножеств множества из 6 элементов). Удивительным образом вопрос «сколько существует различных событий в эксперименте с подбрасывание игрального кубика?», по моим наблюдения, ставит в тупик 9 из 10 абитуриентов.
Давайте рассмотрим некоторые примеры событий.

Пример: два подбрасывания монетки

Симметриченость монетки позволяет нам заключить, что все элементарные исходы равновероятны, т.е. .
Примеры событий.

Пример: выбираем случайное число из календаря 2020 года

Множество элементарных исходов . Как выбрать вероятности? Это зависит от того, как устроен эксперимент. Например, мы можем вырвать случайный лист отрывного календаря и посмотреть число на нем. Наиболее точной моделью, описывающей этот эксперимент, было бы вероятностное пространство с исходами, где одинаковые числа разных месяцев различаются. И тогда вероятность того, что выпадет число 1, была бы суммой вероятностей элементарных исходов, соответствующих первым числам разных месяцев, т.е. . Но мы можем для удобства рассмотреть более простое множество элементарных исходов с 31 исходом, но с разными вероятностями: , , .

Пример события: «выпавшее число месяца делится на 10». Это соответствует событию
.

Замечание

Как только мы определили вероятностное пространство (т.е. определились с множеством и вероятностями, которые мы приписываем элементарным исходам), то вопрос о вероятности некоторого события становится чисто арифметическим. Другими словами, как только мы выбрали некоторую математическую модель, которая с нашей точки зрения описывает физический процесс, то вероятности всех событий однозначно определены.

Задачи для самопроверки

В каждой задаче следует сначала описать вероятностное пространство, а уже только потом производить вычисления.

Пример вероятностного пространства, не соответствующего физическому миру

Рассмотрим следующий эксперимент: подбрасываем две монетки и смотрим на то, какими сторонами они выпали. Можно было бы сказать, что в данной задаче всего три исхода: две решки, два орла и орёл и решка. Если предполагать, что все исходы равновозможны, то получается, что вероятность выпадения двух орлов равна 1/3. Математика не запрещает нам рассматривать такое вероятностное пространство, но экспериментальная проверка подсказывает, что в физическом мире ответ скорее ближе к 1/4. Поэтому не стоит по умолчанию предполагать все исходы равновозможными, иначе мы получим 1/2 в ответ на вопрос о вероятности встречи динозавра.

Формула суммы вероятностей

Будем называть два события несовместными, если их пересечение равно пустому множеству. Т.е., нет исходов, которые соответствовали бы обоим событиям. Пример: события «на игральном кубике выпало чётное число» и «на игральном кубике выпала единица или тройка» несовместны.

Несовместные события обладают следующим свойством. Пусть и — два несовместных события. Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из них, равна сумме вероятностей и , другими словами , событие также называют суммой событий и и обозначают . Это свойство не выполняется для произвольных событий. Например, события «на игральном кубике выпало чётное число» и «на игральном кубике выпало число больше четырёх» не несовместны и сумма их вероятностей (5/6) больше вероятности их суммы (4/6).

Рассмотрим следующую задачу. В мешке лежат шарики трёх цветов: белые, жёлтые и чёрные. Причём известно, что белых от общего числа, а жёлтых — . Какова вероятность того, что случайно вытащенный шар будет светлым? Аккуратный подсчёт показывает, что если в мешке шаров, то рассматриваемому событию соответствует шаров, т.е. от общего числа шаров. События «вытащен белый шар» и «вытащен жёлтый шар» несовместны, поэтому вероятность, что шар будет светлым равна сумме вероятностей этих событий.

События называются противоположными, если всегда происходит ровно одно из них. Из этого определения можно заключить, что во-первых, эти события несовместны, а во-вторых, их суммарная вероятность равна 1. Событие, противоположное событию , выражается, как (если все элементарные исходы имеют положительную вероятность, то это единственное такое событие).

Задача для самопроверки

Наудачу выбирается число от 1 до 100. Рассмотрим следующие события:

Формула включений и исключений

где — это пересечение событий и , т.е. это событие состоящее из тех элементарных исходов, которые входят одновременно и в , и в (такое событие также называют произведением событий и и обозначают ).

Задача для самопроверки

Известно, что ученики класса, имеющие двойки по алгебре, составляют 25%, а ученики, имеющие двойки по геометрии, составляют 15%. Сколько учеников имеют двойки и по алгебре, и по геометрии, если ученики, не имеющие двоек ни по одному из предметов, составляют 70%?

Условная вероятность

Какова вероятность, что случайно выбранный школьник знает немецкий при условии, что он знает французский?

Из формулы условной вероятности можно получить формулу для вероятности произведения двух событий.

Словами: чтобы найти вероятность того, что произойдут оба события и , надо умножить вероятность события на условную вероятность события при известном .

Задача для самопроверки

В классе 50% мальчиков; среди мальчиков 60% любит мороженое. Какова доля мальчиков, любящих мороженое, среди учеников класса? Как это переформулировать на языке теории вероятностей?

Независимость

(В этом определении предполагаются, что обе вероятности событий и строго больше нуля.)

Альтернативное определение можно получить, если воспользоваться определением условной вероятности: два события называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

Задачи для самопроверки

И подставив это в определение получаем формулу Байеса

которая позволяет менять местами событие и условие под знаком вероятности. Думаю, что про применение формулы Баейса нужно писать отдельный пост, например, такой.

На этом мы закончим с определениями и перед тем, как перейти к парадоксам, давайте обсудим, а в каких случаях мы можем говорить о вероятности.

Когда мы можем говорить о вероятности?

Предлагаю рассмотреть несколько вопросов, которые проиллюстрируют важность формулировок.

Какова вероятность того, что гуляя по улице вы встретите динозавра?

Я думаю, что всем ясно, что это не 1/2. Но всё же, как правильно ответить на этот вопрос? Проблема этого вопроса в том, что он сформулирован некорректно — из него нельзя однозначным образом определить вероятностное пространство, а следовательно и о вероятности говорить нельзя. Можно предложить какую-нибудь другую формулировку вопроса, в которой это будет очевидно. Например, начиная с завтрашнего дня на каждой улице города каждую минуту с вероятностью 0.00001 материализуется динозавр и существует в течение часа, никуда не уходя. В данной формулировке понятен случайный процесс и можно оценить вероятность встречи, если определить, как устроена прогулка, сколько длится и сколько улиц она затрагивает.

Вы подбросили монетку и не подглядывая накрыли её рукой. Какова вероятность того, что монетка повёрнута орлом вверх?

Очень хочется сказать, что в данном случае уж точно вероятность — 1/2. Однако, строго говоря, никакого случайного процесса уже нет. Монетка уже упала какой-то стороной. От того, что вы чего-то не знаете, не значит, что это что-то случайное. Например, если вы не знаете решение уравнения — это не значит, что его решением с одинаковой вероятностью может быть любое число. Поэтому в данном случае описать вероятностное пространство не получится. Можно переформулировать вопрос, например, так: «Какова вероятность, что вы угадаете сторону монетки, если наугад равновероятно выберите орёл или решку?». В такой формулировке уже ясно, что является случайным процессом (выбор орла или решки), как определить вероятностное пространство и получить ответ 1/2. При этом, в такой формулировке уже совершенно неважно, была монетка «честной» или нет.

Замечание. Нашу уверенность в чём-то тоже можно описывать в терминах теории вероятностей — это делается в рамках Байесовской интерпретации теории вероятностей. Эта интерпретации позволяет использовать аппарат теории вероятностей для оценки нашей уверенности в истинности каких-то утверждений (не обязательно случайных) основываясь на информации, которая нам известна. Однако стоит заметить, что в этом случае понятие вероятности становится субъективным — у одного и того же события с точки зрения разных наблюдателей может быть разная вероятность. Например, в покере вы можете считать вероятность выпадения пиковой дамы положительной (так как вы не видите её на столе и в своей руке), а ваш противник, у которого в руке уже есть пиковая дама, будет оценивать вероятность её выпадения как нулевую. При этом можно придумать и такой вариант, в котором обе оценки окажутся отличными от «реальной», объктивной, вероятности. В этом нет противоречия, т.к. в это три различные величины (игроки обладают разной информацией, а объективная вероятность в данном случае соответствует полной информации).

Вы проснулись утром. Какова вероятность того, что сегодня воскресенье?

Думаю, что вы уже поняли, что ответ 1/7 — неправильный, а точнее, вопрос некорректный. Не понятно, что является случайный процессом. Для того, чтобы получить 1/7 нужно уточнить вопрос, например, так: вы засыпаете в воскресенье вечером и случайным образом просыпаетесь в любое утро на следующей неделе, какова вероятность, что вы проснётесь в воскресенье? Но даже с этим уточнением, если спросить вас о дне недели уже после того, как вы проснулись (после того, как случайный выбор был сделан), то такой вопрос останется некорректным — иначе придётся предполагать, что вы находитесь в суперпозиции всех дней недели до тех пор, пока не посмотрите на календарь.

Я написал на доске некоторое (конкретное) число и утверждаю, что дважды успешно проверил его на простоту вероятностным алгоритмом, который ошибается с вероятность менее 1%. С какой вероятностью это число простое?

Хотелось бы сказать, что это число простое с вероятностью более 99.99%. Однако, с математической точки зрения число может быть либо простым, либо нет. Поэтому так говорить некорректно. После того, как алгоритм завершил работу, ничего случайного в этой постановке задачи уже нет, следовательно нет и вероятности. Правильно было бы сказать, что вы уверены на 99.99%, что это число простое, но и это вы можете заявить только в том случае, если доверяете мне на 100% 🙂

Парадоксы

В этом разделе мы попробуем разобрать несколько известных «парадоксов» теории вероятностей и понять, что в них либо нет противоречий, либо вопросы поставлены некорректно.

Парадокс Монти-Холла

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Как подсказывает Википедия, для того, чтобы задача была определена корректно, нам требуется уточнить, что участнику игры заранее известны следующие правила:

Для того, чтобы ответить на заданный вопрос, давайте разберёмся, что тут является случайным процессом. По уточнению видно, что случайный процесс упоминается только в пунктах 1 и 4: «автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей» и «если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью». Вопрос, на который мы должны научиться отвечать, звучит так: «Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор». Т.е. нас спрашивают о том, какая из двух стратегий даёт большую вероятность выигрыша. Замечу, что условие номер 4 никак не влияет на факт выигрыша игрока, поэтому нет смысла включать его в вероятностное пространство. Поэтому предлагается выбрать вероятностное пространство с множеством элементарных исходов , соответствующим номеру двери, за которым находится автомобиль, и вероятностями . Теперь рассмотрим две стратегии игрока: «оставить выбранную дверь», обозначим , и «сменить дверь», обозначим .

Мы не знаем, как игрок делает выбор первой двери, но нам и не нужно это знать. Достаточно проверить, как работает стратегия при всех выборах первой двери. Обозначим через дверь, которую игрок выбрал изначально, а через — дверь, за которой спрятан автомобиль. Тогда для любого событие «игрок выиграл при использовании стратегии » соответствует тому, что он угалад правильную дверь с первой попытки. Говоря формально, нас интересует событие , т.е. , и его вероятность . Событие «игрок выиграл при использовании стратегии » соответствует противоположному событию , т.е. , и его вероятность . Осталось ещё раз отметить, что, если этот анализ верен для любого выбора , поэтому верен и при любой стратегии выбора первой двери. Кроме того, заметим, что мы никак не использовали условие 4.

Как видите, никаких неоднозначностей тут нет, парадоксом эта задача называется только потому, что ответ может не соответствовать интуиции. Но так в математике случается довольно часто.

Парадокс мальчика и девочки

Впервые задача была сформулирована в 1959 году, когда Мартин Гарднер опубликовал один из самых ранних вариантов этого парадокса в журнале Scientific American под названием «The Two Children Problem», где привёл следующую формулировку:

Вероятностное пространоство задано и все вероятности равны . В первом случае нам известно, что выполнено событие . Поэтому при условии вероятность двух девочек равна 1/2.

Во втором случае всё сложнее, т.к. не понятно, как мы узнали, что у мистера Смита один из детей мальчик. Можно предположить два варианта:

Парадокс Спящей Красавицы

Испытуемой («Спящей Красавице») делается укол снотворного. Бросается симметричная монетка. В случае выпадения орла её будят, и эксперимент на этом заканчивается. В случае выпадения решки её будят, делают второй укол (после чего она забывает о побудке) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.

Представьте себя на месте Спящей Красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монетка упала решкой?

Предлагается рассмотреть два альтернативных решения с разными результатами.

Решение 1

У вас нет никакой информации о результате выпадения монеты и предыдущих побудках. Поскольку известно, что монетка честная, можно предположить, что вероятность выпадения решки равна .

Решение 2

Проведём эксперимент 1000 раз. Спящую Красавицу будят в среднем 500 раз с орлом и 1000 раз с решкой (т.к. при выпадении решки Спящую Красавицу спрашивают 2 раза). Поэтому вероятность выпадения решки равна .

Кажется, что оба решения могут претендовать на звание правильного. Однако, при попытке определить вероятностное пространство нас ожидают серьёзные трудности. Что же является случайным процессом? Дело в том, что когда Спящая Красавица просыпается, никакого случайного процесса уже нет. Выбор уже сделан. Ей не известен результат этого выбора, но ничего случайного уже нет. Это возвращает нас к примеру с динозавром. Если вы не знаете, есть ли за углом динозавр, то это не значит, что он там есть с вероятностью 1/2. Поэтому «Решение 1» отвечает не на вопрос про вероятность, а на вопрос про степень уверенности Спящей Красавицы. А «Решение 2» предлагает рассмотреть совершенно другой эксперимент, в котором задаётся в общем-то совершенно другой вопрос, на который предлагается ответить внешнему наблюдателю до начала эксперимента.

Для того, чтобы придать этому вопросу математический смысл и получить желаемый ответ 2/3, придётся воспользоваться каким-нибудь философским приёмом, вроде «подселения душ». Например, так: вы заходите в аппарат переселения душ, после этого подбрасывается монетка для Спящей Красавицы, которая создаёт две параллельные вселенные: одну, где монетка выпала орлом, и другую, где выпала решкой. Суммарно в пространстве-времени этих двух альтернативных вселенных есть три различных пробуждения Спящей Красавицы. Аппарат по переселению душ с вероятностью 1/3 подселяет вашу душу в тело Спящей Красавицы незадолго до одного из этих пробуждений. Какова вероятность, что вы проснетесь в параллельной вселенной, где выпала решка?

Как видите, для придания математического смысла этому вопросу, придётся хорошенько пофантазировать, но этим занимаются не математики, а философы (подробнее в этом посте). Утверждать, что «оба решения правильные», некорректно с математической точки зрения.

Задача для самопроверки

Объясните, почему в задаче о детях моряка, с которой начинается этот пост, вопрос поставлен некорректно (т.е. ни 1/2, ни 1/3 не являются правильным ответом).

Бесконечный случай

Когда мы переходим к бесконечному случаю, т.е. рассматриваем эксперименты с бесконечным числом элементарных исходов, то всё становится значительно сложнее. Я не буду вдаваться в детали и даже не буду определять вероятностное пространство для бесконечного случая, т.к. это требует более сложной математики. Однако, для иллюстрации отмечу, что в бесконечном случае могут быть такие (плохие) множества элементарных исходов, которые не имеют вероятности (неизмеримые множества). При этом для всех хороших (измеримых) событий вероятность определена однозначно. Поэтому и те «парадоксы», которые возникают в бесконечном случае, тоже возникают из-за неоднозначности выбора вероятностного пространства. Хорошим наглядным примером служит парадокс Бертрана, показывающий, как казалось бы эквивалентные (на самом деле нет) вероятностные пространства приводят к разным результатам.

Вместо заключения

Даже если вы не собираетесь никуда поступать или проходить собеседования на технические позиции в IT-компании, то вы всё равно можете захотеть освежить знания по математике, которые могут пригодиться в программировании. Могу посоветовать онлайн-курс СS центра по теории вероятностей, который читает А.И. Храбров.

БОНУС

Приглашаю всех послушать лекция Александра Шеня «Генераторы «случайных чисел»: теория и практика» в это воскресенье 26 апреля в 14:00 в Computer Science клубе. Лекция будет читаться в zoom-е, для участия нужно записаться на курс или подписаться на рассылку.

Источник