Как понять что накрест лежащие углы равны

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

Источник

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Соответственные углы равны, то есть

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Источник

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равныКак понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равныКак понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равныКак понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны(Рис.8).

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Докажем, что Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Тогда Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равныи Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны.

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равныозначает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны(Рис.11).

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Тогда из Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равныи Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равныследует, что Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Из Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равныи Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равныследует, что Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Источник

Теорема о равенстве накрест лежащих углов

Урок 17. Геометрия 7 класс

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Конспект урока «Теорема о равенстве накрест лежащих углов»

В формулировке любой теоремы можно выделить две части: условие и заключение. Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – это то, что надо доказать.

Например, рассмотрим один из признаков параллельности прямых:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Здесь условие утверждения: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны. А заключение: прямые параллельны.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Пусть прямые а и b параллельны и пересечены секущей CD. Доказать, что накрест лежащие углы 1 и 2 равны.

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Предположим, что углы 1 и 2 не равны. Тогда от луча CD отложим ∠ЕCD=∠2 так, чтобы ∠ЕCD и ∠2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых СЕ и b секущей CD.

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

По построению эти накрест лежащие углы равны, а поэтому прямая CE параллельна прямой b. Получили, что через точку С проходят две прямые (а и CЕ) параллельные прямой b. А это противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, предположение неверно и угол ∠1=∠2. Что и требовалось доказать.

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Прямые АВ и CD параллельны. Отрезок АВ=СD. Доказать, что прямая АС параллельна прямой BD.

Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ACD.

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

То есть ∠CAD=∠BDA. А эти углы являются накрест лежащими при прямых AC и BD и секущей AD. Это означает, что прямые AC и BD параллельны. Что и требовалось доказать.

На рисунке ∠CBD=∠ADB. Доказать, что ∠ВСА=∠CAD.

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

∠ВСА и ∠CAD являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей АС, а следовательно, они равны. Что и требовалось доказать.

Отметим, что если доказана какая-либо теорема, то это не означает, что обратная ей теорема верна.

Например, если углы вертикальные, то они равны. А вот если углы равны, то это ещё не означает, что они вертикальные.

Источник

Геометрия. Урок 2. Углы

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Виды углов:

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равныКак понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть фото Как понять что накрест лежащие углы равны. Смотреть картинку Как понять что накрест лежащие углы равны. Картинка про Как понять что накрест лежащие углы равны. Фото Как понять что накрест лежащие углы равны

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *