Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ плоскости

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рис. 3.2 Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямых

ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π² пространствС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

1) Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ;

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ прямыС, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Если прямыС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ, Ρ‚ΠΎ Π½Π° КЧ ΠΈΡ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ (см. ΠΏ. 1.2).

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ прямыС, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.

Π£ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ прямых Π½Π° КЧ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² проСкциях Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ (Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости) ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ (Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости)ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ связи.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Π‘ΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ прямыС, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостях ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Если прямыС ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ, Ρ‚ΠΎ Π½Π° КЧ ΠΈΡ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСний ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ связи.

На рис. 3.4 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π‘ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ прямой b, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° D – прямой Π°. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ находятся Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΌ расстоянии ΠΎΡ‚ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Аналогично Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ E ΠΈ F ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌ прямым, Π½ΠΎ находятся Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ расстоянии ΠΎΡ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° КЧ ΠΈΡ… Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Π²Π° случая располоТСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ плоскости: Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ плоскости ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅ΠΉ (рис. 3.5).

ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ принадлСТности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ прямой плоскости:

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости, Ссли ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ прямой, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ Π² этой плоскости.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости, Ссли ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ с Π½Π΅ΠΉ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ с Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ прямой, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ Π² этой плоскости.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

На рис. 3.5 ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскостии Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D ΠΈ Π•. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° D ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости, Ρ‚. ΠΊ. ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ прямой l, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ с этой ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ – 1 ΠΈ А. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π• Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости, Ρ‚.ΠΊ. Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅Π΅ нСльзя провСсти ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

На рис. 3.6 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскостии прямая t, лСТащая Π² этой плоскости, Ρ‚.ΠΊ. ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ с Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ 1 ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой Π°.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ условиС принадлСТности прямой плоскости ΠΊΠ°ΠΊ аксиомы:

Аксиома 1. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости, Ссли Π΄Π²Π΅ Π΅Ρ‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ этой плоскости.

Аксиома 2. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости, Ссли ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ прямой располоТСнной Π² этой плоскости.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ использованиС этих аксиом.

ВрСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ прямой m, Ссли извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми n ΠΈ k.

ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ прямой m2 пСрСсСкаСт ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ прямых n2 ΠΈ k2 Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π’2 ΠΈ Π‘2 соотвСтствСнно. Для нахоТдСния Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ прямой Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π’ ΠΈ Π‘ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π½Π° прямых n ΠΈ k соотвСтствСнно.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ ΠΈ Π‘ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми n ΠΈ k, Π° прямая m ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, согласно аксиомС 1, прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ этой плоскости.

Рисунок 53. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π’ провСсти ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ m, Ссли извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми n ΠΈ k (рис. 5 4).

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми n ΠΈ k, Π° прямая m ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой k , Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ согласно аксиомС 2 прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ этой плоскости.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ Π½Π° плоскости – Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ свСдСния

Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ рассказываСт ΠΎ понятии прямой Π½Π° плоскости. Рассмотрим основныС Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΈΡ… обозначСния. ΠŸΠΎΡ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ со Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½Ρ‹ΠΌ располоТСниСм прямой ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… прямых Π½Π° плоскости. ΠŸΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎΠ± аксиомах. Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ обсудим ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈ способы задания прямой Π½Π° плоскости.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ Π½Π° плоскости – понятиС

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ прСдставлСниС ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π›ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ отнСсти ΠΊ плоскости, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΠ½Π° отличаСтся своСй Π±Π΅Π·Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Если ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ – это стол, Ρ‚ΠΎ Π² нашСм случаС ΠΎΠ½ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†, Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ бСсконСчно ΠΎΠ³Ρ€ΠΎΠΌΠ΅Π½.

Если ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠΎΠΌ Π΄ΠΎΡ‚Ρ€ΠΎΠ½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ стола, останСтся ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ½Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Β«Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉΒ». Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ прСдставлСниС ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π° плоскости.

Рассмотрим понятиС прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π° плоскости. Если провСсти ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Π½Π° листС, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° отобразится Π½Π° Π½Π΅ΠΌ с ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ всю ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΅Π΅ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ прямых ΠΈ плоскостСй Π² Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅.

Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямой ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

На ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ прямой ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ плоскости ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ прямой извСстны Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π²Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° располоТСния: Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° прямой, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ говоря, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅Π΅, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ Π½Π° прямой, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ прямая Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅Π΅.

Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, находящиСся Π² Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… плоскостях, сущСствуСт СдинствСнная прямая, которая ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½ΠΈΡ….

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ, располоТСнная Π½Π° плоскости, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ большоС количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° исходит аксиома:

Если Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ прямой Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² плоскости, Ρ‚ΠΎ ΠΈ всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ плоскости.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, находящССся ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ прямой. Он ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ двумя Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Π½Π° Π΄Π²Π΅ части, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΌΠΈ. ИмССм аксиому:

Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямых Π½Π° плоскости

РасполоТСниС прямых Π½Π° плоскости ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ Π΄Π²ΡƒΡ… состояний.

Π”Π²Π΅ прямыС Π½Π° плоскости ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ.

Вакая Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ появляСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° прямыС ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· аксиомы, написанной Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ прямая ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π°. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ 2 прямых Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ 2 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.

Π”Π²Π΅ прямыС Π½Π° плоскости ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Π”Π²Π΅ прямыС Π½Π° плоскости ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ Π½Π° плоскости рассматриваСтся вмСстС с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. ОсобоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ придаСтся Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° любой ΠΈΠ· ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ прямой. Рассмотрим рисунок, располоТСнный Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

НСнулСвыС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, располоТСнныС Π½Π° прямых, пСрпСндикулярных Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ прямой. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ имССтся описаниС Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прямой Π½Π° плоскости. Рассмотрим рисунок Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Если Π½Π° плоскости Π΄Π°Π½Ρ‹ 3 Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΈΡ… располоТСниС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ самоС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅. Π•ΡΡ‚ΡŒ нСсколько Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΡ… располоТСния: пСрСсСчСниС всСх, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния. На рисункС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ пСрпСндикулярноС пСрСсСчСниС Π΄Π²ΡƒΡ… прямых ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Для этого ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС:

Рассмотрим это Π½Π° рисунках.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Бпособы задания прямой Π½Π° плоскости

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ Π½Π° плоскости ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° нСсколькими способами. ВсС зависит ΠΎΡ‚ условия Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈ Π½Π° Ρ‡Π΅ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ основано Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΈ знания способны ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ для практичСского располоТСния прямых.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ задаСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, располоТСнных Π² плоскости.

Из рассмотрСнной аксиомы слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ. Когда ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π΅ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Ρ„ΠΈΠΊΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Рассмотрим рисунок, Π³Π΄Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ способ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Π½Π° сущСствованиС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ извСстно Π΅Ρ‰Π΅ ΠΈΠ· школьного курса ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Если прямая Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ составлСниС уравнСния прямой, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой. Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ задания прямой Π½Π° плоскости.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ задаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Когда прямая задаСтся Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ составлСния каноничСского ΠΈ парамСтричСского ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° плоскости. Рассмотрим Π½Π° рисункС располоТСниС прямой ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Π§Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ задания прямой ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π΅Π΅ слСдуСт Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈ прямая, пСрпСндикулярная Π΅ΠΉ. Из аксиомы ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° плоскости, ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° прямая, пСрпСндикулярная Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

И послСдний ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚, относящийся ΠΊ заданию прямой Π½Π° плоскости, это ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ прямая, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° прямой. ΠŸΡ€ΠΈ извСстных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, которая располоТСна Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой, ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ… Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ записывания ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ уравнСния прямой.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ЛСкция 3. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ

3.1. Бпособы задания плоскости Π½Π° ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ°Ρ…

Рисунок 3.1 – Бпособы задания плоскостСй

ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния – это ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, которая Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΈ Π½Π΅ пСрпСндикулярна Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠΌ плоскости называСтся прямая, получСнная Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ пСрСсСчСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ слСда: Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ – Ξ±Ο€1, Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ – Ξ±Ο€2 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ – Ξ±Ο€3, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ пСрСсСчСнии с извСстными плоскостями ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ο€1, Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ο€2 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ο€3 (Рисунок 3.2).

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.2 – Π‘Π»Π΅Π΄Ρ‹ плоскости ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния

3.2. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ частного полоТСния

ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ частного полоТСния – ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, пСрпСндикулярная ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, пСрпСндикулярная плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, называСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΈ Π½Π° эту ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.

Бвойство ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ плоскости : всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, плоскиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ плоскости, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ слСдС плоскости (Рисунок 3.3).

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.3 – Π€Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ-ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚: Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’, Π‘; Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ АБ, АВ, Π’Π‘; ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ

Π€Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ-ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ – ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, пСрпСндикулярная Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Рисунок 3.4, Π°).

Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ-ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ – ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, пСрпСндикулярная Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Рисунок 3.4, Π±).

ΠŸΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ-ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ – ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, пСрпСндикулярная ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ плоскостям ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ плоскостями уровня ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ плоскостями.

Π€Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ уровня – ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Рисунок 3.4, Π²).

Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ уровня – ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Рисунок 3.4, Π³).

ΠŸΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ уровня – ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Рисунок 3.4, Π΄).

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.4 – Π­ΠΏΡŽΡ€Ρ‹ плоскостСй частного полоТСния

3.3. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈ прямая Π² плоскости. ΠŸΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ прямой плоскости

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости, Ссли ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ прямой, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ Π² этой плоскости (Рисунок 3.5). ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости, Ссли ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ хотя Π±Ρ‹ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (Рисунок 3.6).

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.5 – ΠŸΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ плоскости

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.6 – ΠŸΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой плоскости

\left.\begin\alpha=m\parallel n,\\D\in\alpha\\C\in\alpha\\\end\right\> \Longrightarrow CD\in\alpha

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.7 – РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

3.4. Π“Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ плоскости

Π’ плоскости ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ бСсконСчноС мноТСство прямых, Π½ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ особыС прямыС, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² плоскости, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΠΉ уровня ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΡŽ плоскости называСтся прямая, лСТащая Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая уровня h (пСрвая ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒ) – это прямая, лСТащая Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Ο€1) (Рисунок 3.8, Π°; 3.9).

Π€Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая уровня f (вторая ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒ) – это прямая лСТащая Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Ο€2) (Рисунок 3.8, Π±; 3.10).

ΠŸΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая уровня p (Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒ) – это прямая лСТащая Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Ο€3) (Рисунок 3.8, Π²; 3.11).

Рисунок 3.8 Π° – Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая уровня Π² плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ

Рисунок 3.8 Π± – Π€Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая уровня Π² плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ

Рисунок 3.8 Π² – ΠŸΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая уровня Π² плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.9 – Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая уровня Π² плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ слСдами

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.10 – Π€Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая уровня Π² плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ слСдами

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.11 – ΠŸΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая уровня Π² плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ слСдами

3.5. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ прямой ΠΈ плоскости

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ с Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ.

3.5.1. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой плоскости

ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ прямой плоскости : прямая ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° плоскости, Ссли ΠΎΠ½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ прямой, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ этой плоскости (Рисунок 3.12).

\alpha=m\cap n\\\left.\begina_2\parallel m_2\\a_1\parallel m_1\\\end\right\> \Rightarrow a\parallel\alpha

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.12 – ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой плоскости

3.5.2. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ

Для построСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния прямой с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния (Рисунок 3.13), Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ:

Рисунок 3.13 – ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ встрСчи прямой с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π—Π°Π΄Π°Π½Ρ‹: прямая АВ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния, ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΟƒβŠ₯Ο€1. (Рисунок 3.14). ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния прямой АВ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Οƒ.

Рисунок 3.14 – ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ частного полоТСния

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π—Π°Π΄Π°Π½Ρ‹: ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Οƒ = ΔАВБ – ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния, прямая EF (Рисунок 3.15).

ВрСбуСтся ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния прямой EF с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Οƒ.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.15 – ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ

3.6. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ видимости ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ΅ полоТСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ участка прямой располоТСна Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ (дальшС) ΠΊ Π½Π°ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ взглядС Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€1 ΠΈΠ»ΠΈ Ο€2.
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌ, Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ), Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π½Π° этой плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
НСобходимо ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Ο€2 (рис. 3.15)
Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° Ο€2 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 3 ΠΈ 4. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 3βˆˆΠ’Π‘βˆˆΟƒ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 4∈EF.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€2 Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ располоТСниС этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ взглядС Π½Π° Ο€2.
НаправлСниС взгляда Π½Π° Ο€2 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ стрСлкой.
По Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ проСкциям Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ 3 ΠΈ 4, ΠΏΡ€ΠΈ взглядС Π½Π° Ο€2, Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 41 располагаСтся Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ, Ρ‡Π΅ΠΌ 31.
41∈E1F1 β‡’ 4∈EF β‡’ Π½Π° Ο€2 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 4, лСТащая Π½Π° прямой EF, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, прямая EF Π½Π° участкС рассматриваСмых ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ располоТСна ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Οƒ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠ° Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ K – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния прямой с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Οƒ.
Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Ο€1.
Для опрСдСлСния видимости Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° Ο€1 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 2 ΠΈ 5.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€1 Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ располоТСниС этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ взглядС Π½Π° Ο€1.
НаправлСниС взгляда Π½Π° Ο€1 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ стрСлкой.
По Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ проСкциям Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ 2 ΠΈ 5, ΠΏΡ€ΠΈ взглядС Π½Π° Ο€1, Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 22 располагаСтся Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ, Ρ‡Π΅ΠΌ 52.
22∈А2Π’2 β‡’ 2βˆˆΠΠ’ β‡’ Π½Π° Ο€1 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 2, лСТащая Π½Π° прямой АВ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, прямая EF Π½Π° участкС рассматриваСмых ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ располоТСна ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Οƒ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠ° Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ K – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния прямой с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Οƒ.
Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Β«ZΒ» ΠΈΠ»ΠΈ(ΠΈ) Β«YΒ» большС.

3.7. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой плоскости

ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ пСрпСндикулярности прямой плоскости : прямая пСрпСндикулярна плоскости, Ссли ΠΎΠ½Π° пСрпСндикулярна Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ прямым, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.16 – Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ прямой, пСрпСндикулярной плоскости

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. Если прямая пСрпСндикулярна плоскости, Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΡΠΏΡŽΡ€Π΅: Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ прямой пСрпСндикулярна Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ плоскости, Π° Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция прямой пСрпСндикулярна Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ (Рисунок 3.16, Π±)

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° доказываСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ прямого ΡƒΠ³Π»Π° Π² частном случаС.

Если ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° слСдами, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ прямой пСрпСндикулярной плоскости пСрпСндикулярны ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ слСдам плоскости (Рисунок 3.16, Π°).

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ прямая p пСрпСндикулярна плоскости Οƒ=ΔАВБ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ K.

3.8. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… плоскостСй

3.8.1. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ плоскостСй

Π”Π²Π΅ плоскости ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой.

ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… плоскостСй : Π΄Π²Π΅ плоскости Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Ссли Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ прямыС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости соотвСтствСнно ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ прямым Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ плоскости.

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π—Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния Ξ±=ΔАВБ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Fβˆ‰Ξ± (Рисунок 3.17).

Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ F провСсти ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ², ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ плоскости Ξ±.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.17 – ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ

3.8.2. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскостСй

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ пСрСсСчСния 2-Ρ… плоскостСй являСтся прямая. Π›ΡŽΠ±Π°Ρ прямая Π½Π° плоскости ΠΈΠ»ΠΈ Π² пространствС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ линию пСрСсСчСния Π΄Π²ΡƒΡ… плоскостСй, слСдуСт Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ для ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… плоскостСй, послС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ….

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ пСрСсСчСния Π΄Π²ΡƒΡ… плоскостСй ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… способах ΠΈΡ… задания: слСдами; трСмя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой; ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми; ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми ΠΈ Π΄Ρ€.

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Рисунок 3.18 – ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскостСй ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… слСдами

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Алгоритм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ :

\left.\beginAB\cap\sigma=K\\AC\cap\sigma=L\\\end\right\> \left.\begin\Rightarrow A_1B_1\cap\sigma_1=K_1 \rightarrow K_2\\\Rightarrow A_1C_1\cap \sigma_1=L_1 \rightarrow L_2\\\end\right.

KL – линия пСрСсСчСния ΔАВБ ΠΈ Οƒ (Ξ±βˆ©Οƒ = KL).

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.19 – ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскостСй ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΈ частного полоТСния

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Рисунок 3.20 – ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… плоскостСй ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния (ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ случай)

Алгоритм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ :

\left.\begin\alpha\cap\sigma=(4-5)\\\beta\cap\sigma=(3-2)\\\end\right\>\\\left.\begin\alpha\cap\tau=(6-7)\\\beta\cap\tau=(1-8)\\\end\right\>\left.\begin(4_1-5_1)\cap(3_1-2_1)=M_1\rightarrow M_2\\(6_1-7_1)\cap(1_1-8_1)=N_1\rightarrow N_2\\\end\right\>\rightarrow\\\left.\beginM_1N_1\\M_2N_2\\\end\right\>\Rightarrow\alpha\cap\beta=MN

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π—Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ плоскости Ξ± = ΔАВБ ΠΈ Ξ² = a//b. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ линию пСрСсСчСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… плоскостСй (Рисунок 3.21).

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.21 РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° пСрСсСчСниС плоскостСй

РСшСниС: Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ сСкущими плоскостями частного полоТСния. Π’Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΈΡ… Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ количСство построСний. НапримСр, Π²Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΟƒβŠ₯Ο€2, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΠ² ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ a Π²ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Οƒ (Οƒβˆˆa). ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Οƒ пСрСсСкаСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± ΠΏΠΎ прямой (1-2), Π° Οƒβˆ©Ξ²=Π°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ (1-2)∩а=K. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° К ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ плоскостям Ξ± ΠΈ Ξ². Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° K, являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· искомых Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ прямая пСрСсСчСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… плоскостСй Ξ± ΠΈ Ξ². Для нахоТдСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ прямой пСрСсСчСния Ξ± ΠΈ Ξ², Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ b Π²ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο„βŠ₯Ο€2 (Ο„βˆˆb). Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠ² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ K ΠΈ L, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ пСрСсСчСния плоскостСй Ξ± ΠΈ Ξ².

3.8.3. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярныС плоскости

ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярны, Ссли ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· пСрпСндикуляр ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ.

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π—Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΟƒβŠ₯Ο€2 ΠΈ прямая ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния – DE (Рисунок 3.22)

ВрСбуСтся ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· DE ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο„βŠ₯Οƒ.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

Рисунок 3.22 – ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости, пСрпСндикулярной ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ прямого ΡƒΠ³Π»Π° C1D1 Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ прямыС CD∩DE Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο„. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ο„βŠ₯Οƒ. АналогичныС рассуТдСния, Π² случаС плоскости ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния.

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Рисунок 3.23 – ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости, пСрпСндикулярной ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΔАВБ

3.9. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

1. Π—Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± = m//n (Рисунок 3.24). Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ K∈α.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ К.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ слСды прямой, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ CB, ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Ρ‹, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ (Рисунок 3.25).

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

3. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ плоскости Ξ±βŠ₯Ο€2, Ссли Π΅Π³ΠΎ диагональ MN //Ο€2 (Рисунок 3.26).

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

4. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABCD с большСй стороной Π’Π‘ Π½Π° прямой m, исходя ΠΈΠ· условия, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ сторон Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2 (Рисунок 3.27).

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

5. Π—Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±=a//b (Рисунок 3.28). ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ плоскости Ξ± ΠΈ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π΅ Π½Π° расстоянии 20 ΠΌΠΌ.

Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости

6. Π—Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±=βˆ†ΠΠ’Π‘ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° D Π²Π½Π΅ плоскости. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ D ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ²βŠ₯Ξ± ΠΈ Ξ²βŠ₯Ο€1.

7. Π—Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±=βˆ†ΠΠ’Π‘ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° D Π²Π½Π΅ плоскости. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ D ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ DE//Ξ± ΠΈ DE//Ο€1.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *