Как понять что ряд знакочередующийся

Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

Теорема 1 (теорема Лейбница). Если члены ряда (24)по абсолютной величине монотонно убывают:

и общий член стремится к нулю:

тo ряд (24) сходится.

Доказательство. Частичную сумму можно представить двояко:

Здесь в каждой круглой скобке разность положительна в силу условия (25). Из (27) следует, что и последовательность монотонно возрастающая. Из (28) видно, что т.е. ограничена. Следовательно (§ 7.3, п. 1, свойство 3), эта последовательность имеет предел:

Далее с учетом (29) и (26) имеем:

Из (29) и (30) следует, что т. е. рад (24) сходится, причем

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример: Ряд

сходится, так как условия теоремы Лейбница здесь выполнены.

Теорема 2. Остаток гп знакочередующегося ряда (24), удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, ил*ее/я з/иис своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.

Доказательство. Если четное, то

Так как этот ряд удовлетворяет теореме Лейбница, то согласно неравенству (31)

Если нечетное, то

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 1.

Вычислить с точностью до 0,1 сумму сходящегося ряда

Решение:

В качестве приближенного значения ряда (32) мы должны взять ту частичную сумму для которой Согласно теореме Следовательно, достаточно положить Тогда

Отсюда 0,7 с точностью до 0,1.

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если любые два последовательных его члена имеют противоположные знаки:

Теорема Лейбница (признак сходимости). Если члены знакочередующегося ряда (15.4.1), начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине и общий член ряда при ос стремится к нулю то ряд сходится.

При этом сумма ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого члена, а остаток ряда по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого из отбрасываемых членов, т.е.

|

Это неравенство используют для оценки погрешности, получаемой при замене суммы знакочередующегося ряда ее приближенным значением

Так как знакочередующиеся ряды — частный случай знакопеременных рядов, то сходящиеся знакочередующиеся ряды, как и знакопеременные, исследуют на абсолютную и условную сходимость.

Алгоритм исследования знакочередующегося ряда:

1. Составляют ряд из абсолютных величин его членов. Если он сходится, то данный ряд сходится абсолютно.

2. Если ряд из абсолютных величин расходится, то ряд исследуют с помощью признака Лейбница:

Исследование знакочередующегося ряда можно начинать и с признака Лейбница.

Пример 2

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

а) (плюс, два минуса, плюс, два минуса и т. д.);

б)

Решение:

а). Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Формула общего члена этого ряда имеет вид

Применим к ряду из абсолютных величин (ряду с положительными членами) интегральный признак Коили (см. § 15.2):

Несобственный интеграл сходится, значит, ряд тоже сходится. Так как сходится ряд из абсолютных величин, то исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

(Сходимость ряда из абсолютных величин можно установить и с помощью признака сравнения, сравнивая полученный ряд со сходящимся рядом обратных квадратов

б). Составим ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда и найдем предел его общего члена

Необходимое условие сходимости ряда не выполняется, значит, ни ряд, составленный из абсолютных величин, ни заданный знакопеременный ряд сходиться не могут.

в). Числитель общего члена ряда принимает как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от того, в какой четверти лежит угол Значит, заданный ряд — знакопеременный.

Составим ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда

Ho а ряд сходится. Действительно, в силу предельного признака Даламбера

Тогда в соответствии с признаком сравнения, ряд из абсолютных величин, как ряд с меньшими членами, сходится подавно.

А это, в свою очередь, означает, что исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример 3.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Решение:

а). Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Полученный гармонический ряд расходится. Значит, абсолютная сходимость знакочередующегося ряда исключается.

Применим к данному знакочередующемуся ряду признак Лейбница:

(1) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине

(2) предел общего члена при равен нулю

Оба условия теоремы Лейбница выполняются, значит, исходный ряд сходится. Однако он сходится условно, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, как показано выше, расходится,

б). Запишем формулу общего члена ряда

и составим ряд из абсолютных величин

К ряду с положительными членами применим радикальный признак Коши:

Ряд сходится, значит, заданный ряд сходится абсолютно.

в). Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда

Применим к этому ряду с положительными членами признак Даламбера:

По признаку Даламбера ряд сходится. Следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 4.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Решение:

а). Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Этот ряд (а с ним и заданный ряд) расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда:

б). Составим ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда

Исследовать этот ряд с положительными членами можно с помощью интегрального признака Коши или признака сравнения. Воспользуемся последним и сравним полученный ряд с гармоническим

В соответствии с признаком сравнения оба ряда ведут себя одинаково. Так как гармонический ряд расходится, то ряд тоже расходится.

Значит, заданный знакочередующийся ряд может сходиться только условно. Убедимся в этом с помощью признака Лейбница.

Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине. Действительно,

Оба условия теоремы Лейбница выполняются, значит, исходный ряд сходится. Имеет место условная сходимость, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

в). Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Для анализа сходимости этого ряда сравним его с расходящимся гармоническим рядом Логарифмическая функция растет медленнее поэтому откуда

Так как ряд расходится, то по признаку сравнения ряд

с большими членами тем более расходится. Значит, об абсолютной сходимости заданного знакочередующегося ряда говорить не приходится.

Проверим его на условную сходимость, применяя признак Лейбница. Так как логарифмическая функция монотонно возрастает, то функция монотонно убывает. Значит, члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине

Оба условия теоремы Лейбница выполняются, значит, ряд сходится, но сходимость только условная.

г). Запишем формулу общего члена ряда

и составим ряд из абсолютных величин

Воспользуемся признаком сравнения. Выберем для сравнения обобщенный гармонический ряд Имеем

(Воспользовались эквивалентными бесконечно малыми: при

В данном случае так как при

Но ряд сходится, так как В силу признака сравнения заключаем, что ряд тоже сходится. Значит, заданный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 5.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Решение:

а). Преобразуем заданный ряд к виду

Сходимость ряда из абсолютных величин установим с помощью интегрального признака.

Так как и

Несобственный интеграл сходится, значит, исходный ряд сходится абсолютно.

б). Составим ряд из абсолютных величин Применим к этому ряду интегральный признак Коши (см. § 15.2). Для этого исследуем несобственный интеграл:

Так как интеграл сходится, то заданный ряд сходится абсолютно.

в). Применяя интегральный признак (см. §15.2), исследуем ряд на абсолютную сходимость: Так как несобственный интеграл расходится, то говорить об абсолютной сходимости данного ряда не приходится. Применяя признак Лейбница, исследуем ряд на условную сходимость. Обозначим и покажем сначала, что Для этого дважды воспользуемся правилом Лопиталя:

Осталось доказать что функция убывающая. Это легко установить по знаку ее производной

Так как при при Значит последовательность где удовлетворяет условия теоремы Лейбница: для всех Следовательно, исходный ряд сходится условно.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость

Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши. Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях, эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов.

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: , причём, убывают монотонно.

Если выполнены эти условия, то ряд сходится.

Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики, но для удобства ещё раз:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– Члены ряда без учёта знака убывают.
– Члены ряда убывают по модулю.
– Члены ряда убывают по абсолютной величине.
– Модуль общего члена ряда стремится к нулю:

// Конец справки

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:

Исследовать ряд на сходимость

В общий член ряда входит множитель , и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел , который чаще всего является очень простым.

– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела не существует *, то есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

* Согласно, строгому определению предела числовой последовательности, и кроме того, в данном случае это очевидно.

Вывод: ряд расходится.

Как разобраться, чему равно ? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить , нужно просто убрать с крыши проблесковый маячок. В данном случае общий член ряда . Тупо убираем «мигалку»: .

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1)
Ряд является знакочередующимся.

2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: () – поскольку бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби. Таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Однако это еще не всё! Сходимость бывает разной. А именно:

– сходящийся ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд ;
в противном случае ряд сходится условно.

! Из вышесказанного очевидно следует, что любой сходящийся положительный ряд является абсолютно сходящимся.

Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:
– расходится (гармонический ряд) – тут даже без исследования обошлось.

Таким образом, наш ряд сходится условно.

Следует отметить, что при формулировке «Исследуйте ряд на сходимость» можно рискнуть и ограничиться признаком Лейбница (т.е. просто констатировать сходимость), но таки лучше не лениться – с большой вероятностью вас попросят уточнить, сходится ли ряд абсолютно или условно.

Заметьте также, что в Примере 1 второй этап по-любому отпадает, поскольку еще на первом шаге сделан вывод о том, что ряд расходится.

Собираем ведёрки, лопатки, машинки и выходим из песочницы, чтобы смотреть на мир широко открытыми глазами из кабины моего экскаватора:

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1)
Данный ряд является знакочередующимся.

2) – члены ряда убывают по модулю.

Для любого номера справедливо неравенство: , а бОльшим знаменателям соответствуют меньшие дроби:
, то есть, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , а это означает, что убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Теперь выясним, как именно. Для этого составим и исследуем соответствующий ряд из модулей:

Анализируя начинку, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения.

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с рядом .

Таким образом, ряд сходится абсолютно.

Исследовать ряд на сходимость

Исследовать ряд на сходимость

Это примеры для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления в конце урока.

Как видите, знакочередующиеся ряды – это просто и занудно! Но не спешите закрывать страницу, всего через пару экранов мы рассмотрим случай, который многих ставит в тупик. А пока еще пара примеров для тренировки и повторения.

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) – члены ряда убывают по модулю. Осталось показать монотонность убывания. Неравенство здесь обосновать трудно и поэтому мы проявим разумную хитрость, расписав несколько конкретных членов и всю цепочку:

– не лишним будет взять в руки калькулятор, и убедиться в справедливости первых неравенств (хотя, это, конечно, некорректная проверка).

Вывод: ряд сходится.

Обратите внимание, что я не расписал подробно члены ряда. Их всегда желательно расписывать, но от непреодолимой лени в «тяжелых» случаях можно ограничиться фразой «Ряд является знакочередующимся». Кстати, не нужно относиться к этому пункту формально, всегда проверяем (хотя бы мысленно) что ряд действительно знакочередуется. Помните об «обманках» , , – если они есть, то от них нужно избавиться, получив «обычный» ряд с положительными членами.

Выясним характер сходимости ряда:

Очевидно, что нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения. Хммм… что-то я немного погорячился на счет простоты.

Нередко встречаются знакочередующиеся ряды, которые вызывают затруднения.

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1) Ряд является знакочередующимся.

2)

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно знать, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Примечание: понятие порядка роста функции подробно освещено в статье Методы решения пределов. У нас пределы последовательностей, но это не меняет сути.

Если числитель при растёт быстрее факториала, то . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу?

Попробуем записать несколько первых членов ряда:

Создается стойкое впечатление, что , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа, для того она и существует:

Справка:

– Факториал растёт быстрее, чем показательная последовательность , иными словами: или . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть, факториал более высокого порядка роста.

– Факториал растёт быстрее, чем степеннАя последовательность или многочлен, иными словами: или . Вместо можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. То есть и здесь факториал более высокого порядка роста.

– Факториал растёт быстрее произведения показательной и степенной последовательностей (наш случай). А также быстрее произведения и бОльшего количества таких множителей.

И, раз пошла такая пьянка:

– Показательная последовательность растёт быстрее, чем степенная последовательность , например: , . Аналогично факториалу, она «перетягивает» произведение степенных последовательностей: .

– А есть ли что-нибудь «круче» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность растёт быстрее, чем . На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

Таким образом, второй пункт исследования (вы еще о нём помните? =)) можно записать так:
2) – члены ряда монотонно убывают по модулю (так как более высокого порядка роста, чем ).

Достаточно! О том, что члены начинают убывать лишь с некоторого номера «эн», лучше благоразумно умолчать – по той причине, что найти этот номер не так-то просто, а лишние вопросы вам ни к чему 😉 Ещё труднее показать монотонность убывания, поэтому просто констатируем этот факт. Здесь вас с высокой вероятностью «простят»

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из модулей членов:

А тут уже работает старый добрый признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Разобранный пример можно решить другим способом.

Теорема: если ряд сходится, то сходится и ряд

Пример 8 «на бис» вторым способом.

Исследовать ряд на сходимость

Решение: исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:

Используем признак Даламбера:
…
только что печатал
…
Таким образом, ряд сходится, а значит, по соответствующей теореме, сходится и исследуемый ряд, причём, ясно как день – абсолютно.

Вывод: ряд сходится абсолютно.

Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит хитро… смекалку студента и забракует задание. А может и не забракует. Ибо условие не предписывает использовать именно признак Лейбница (но обычно это всё же подразумевается).

И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один из той же оперы (перечитайте справку), но попроще. Другой для гурманов – на закрепление интегрального признака сходимости.

Исследовать ряд на сходимость

Исследовать ряд на сходимость

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам, которые не менее монотонны и однообразны интересны.

Пример 4: Используем признак Лейбница:

1) – данный ряд является знакочередующимся.
2)

Члены ряда не убывают по модулю, следовательно, предела не существует, и ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.

Вывод: ряд расходится.
Примечание: в данном примере неопределенность устраняется стандартным способом: делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени. Старшая степень числителя: 1, старшая степень знаменателя:

Пример 5: Используем признак Лейбница.
1) – ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , т.е. убывание монотонно.

Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.

С помощью ряда, составленного из модулей, выясним как именно:

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения:
– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
Таким образом, ряд сходится условно.

Пример 7: Используем признак Лейбница.
1) – ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. Найдём модуль -го члена: . Для любого номера справедливо неравенство :

( ), т.е. члены убывают монотонно.

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем характер сходимости:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.
Ряд сходится абсолютно.

Примечание: Возможно, не всем понятно, как разложены факториалы. Это всегда можно установить опытным путём, возьмём и сравним какие-нибудь соседние члены ряда:
и , следующий член ряда к предыдущему:
и , следующий член ряда к предыдущему:
…

Таким образом, ряд сходится. Выясним, абсолютно или условно:

Используем признак Даламбера:
, следовательно , ряд сходится.
Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 10: Используем признак Лейбница.
1)
Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю, и очевидно, что – каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , т.е. убывание монотонно.

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем ряд, составленный из модулей:

Используем интегральный признак.

Подынтегральная функция непрерывна на .

Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Исследуемый ряд сходится условно.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

Источник