Как понять что сечение построено правильно

Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Эта статья для тех, кто хочет научиться строить сечения. Она содержит 11 заданий для построения сечений, подсказки и ответы к каждому заданию. Рекомендую сначала прочитать эту статью и посмотреть это видео.

Чтобы найти точку, лежащую одновременно в двух плоскостях, нужно найти точку пересечения прямой, лежащей в первой плоскости, с прямой, лежащей во второй плоскости.

В подсказках и ответах изображение дополнительных прямых, используемых при построении сечения, сплошными линиями или пунктирными, не зависит от того, видимы эти прямые или нет.

Рядом с каждой дополнительной прямой указан ее порядковый номер при построении сечения. Все прямые проведены через две точки, принадлежащие определенной плоскости. Прямые пронумерованы в порядке их построения. Рекомендуется при использовании подсказки и воспроизведении построения сечения проговаривать, какой плоскости принадлежит данная прямая, каким плоскостям принадлежит точка их пересечения.

Постройте сечения, проходящие через точки Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно.

Задание 1:
Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Источник

Как понять что сечение построено правильно

Автор видеоурока: к.пед.н., доцент кафедры ИГиСАПР Кайгородцева Н.В.

СЕЧЕНИЯ

На рис. 274, а показан чертеж рычага. Главный вид и вид сверху с двумя местными разрезами не выявляют форму его средней части. Форму средней части можно показать с помощью профильного разреза (рис. 274, б), но элементы, расположенные за секущей плоскостью, не дают дополнительную информацию о форме детали и являются лишними. В таких случаях удобно применять изображение, называемое сечением (рис. 274, в).

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Сечением называется изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями, на сечении показывается только то, что расположено непосредственно в секущей плоскости.

В случае, показанном на рис. 274, вместо профильного разреза достаточно выполнить сечение (рис. 274, в). Применение сечений сокращает графическую работу при выполнении чертежа.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

В отличие от разреза на сечении показывается только то, что расположено непосредственно в секущей плоскости, все, что лежит за ней, не изображается. На рис. 275 наглядно показано различие между сечением и разрезом.

Сечения в зависимости от расположения их на чертеже делятся на вынесенные и наложенные. Вынесенные сечения располагают на свободном месте поля чертежа (рис. 276, а) или в разрыве изображения предмета (рис. 276, в). Наложенные сечения располагают на соответствующем изображении предмета (рис. 276, б).

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Предпочтительны вынесенные сечения. Их контур вычерчивают сплошными толстыми линиями (рис. 276, а). Контуры наложенных сечений вычерчивают сплошными тонкими линиями.

В случаях, подобных показанным на рис. 276, при симметричной фигуре сечения положение секущей плоскости не указывается.

Для несимметричных сечений, расположенных в разрыве или наложенных, положение секущей плоскости указывается линией сечения со стрелками, но буквами не обозначается (рис. 277, а и б).

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Во всех остальных случаях выполнения сечений положение секущей плоскости должно быть показано линией сечения с указанием стрелками направления взгляда, а над самими сечениями выполняется надпись (рис. 278, а и б).

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

При совпадении секущей плоскости с осью поверхности вращения, ограничивающей отверстие или углубление, контур отверстия или углубления в сечении показывается полностью, хотя этот контур и не расположен в секущей плоскости (рис. 277, в, см. стрелки К), т. е. сечение оформляется как разрез. Если секущая плоскость проходит через некруглые отверстия (рис. 279, а) и сечение получается состоящим из отдельных частей (рис. 279, б), то сечение должно быть заменено разрезом (рис. 279, в).

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Сечение может выполняться несколькими секущими плоскостями, как на рис. 279, г.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Допускается вместо секущих плоскостей применять секущие цилиндрические поверхности, развертываемые затем в плоскость. На рис. 280 деталь имеет различные отверстия. Форму этих отверстий удобно выявить, применяя развернутое сечение детали секущей цилиндрической поверхностью, указанной линией сечения со стрелками и буквами. Над развернутым сечением выполняется надпись теми же буквами с добавлением слова «развернуто».

ВЫНОСНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

В тех случаях, когда на основном изображении невозможно изобразить мелкие элементы изделия со всеми подробностями, применяют выносные элементы.

Выносным элементом называют дополнительное отдельное изображение в увеличенном виде какой-либо части изделия, требующей графического и других пояснений в отношении формы, размеров и иных данных.

При применении выносного элемента соответствующее место изображения отмечают замкнутой сплошной тонкой линией (окружностью или овалом) с обозначением римской цифрой порядкового номера выносного элемента на полке линии-выноски (рис. 281).

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Над выносным элементом указывается та же цифра и масштаб, в котором выполнен выносной элемент (масштабы могут быть различные).

Выносной элемент следует располагать возможно ближе к соответствующему месту на изображении предмета. Выносной элемент может содержать подробности, не указанные на соответствующем изображении, и может отличаться от него по содержанию. Например, изображение может быть видом, а выносной элемент — разрезом.

Источник

Как понять что сечение построено правильно

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис. 1). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники (рис. 2).

Теоремы, используемые при построении сечений

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым.

Теорема 2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема 3. Если прямая l параллельна какой либо прямой m, проведённой в плоскости Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильното она параллельна и самой плоскости Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Теорема 4. Если прямая, лежащая в плоскости сечения, не параллельна плоскости некоторой грани, то она пересекается со своей проекцией на эту грань.

Алгоритм построения сечений

Для построения сечений рекомендуем пользоваться следующим алгоритмом.

1. Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой, лежащая в плоскости грани — сторона сечения.

2. Если прямая a является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой-либо грани, то находим точки пересечения прямой a с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки — новые точки секущей плоскости, лежащие в плоскостях граней.

3. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые две данные точки, а затем выполняем шаги 1, 2.

Для контроля правильности построенного сечения, проверяйте, что:

– все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника;

– все стороны сечения лежат в гранях многогранника;

– в каждой грани многогранника лежит не более одной стороны сечения.

Источник

Как понять что сечение построено правильно

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно.

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно.

Источник

Построение сечений

Определение

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

Замечание

Для построения сечений различных пространственных фигур необходимо помнить основные определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также свойства пространственных фигур. Напомним основные факты.
Для более подробного изучения рекомендуется ознакомиться с темами “Введение в стереометрию. Параллельность” и “Перпендикулярность. Углы и расстояния в пространстве”.

Важные определения

1. Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Две прямые в пространстве скрещиваются, если через них нельзя провести плоскость.

3. Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.

4. Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

6. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Важные теоремы

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]
Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Причем заметим, что все точки \(A, B, A’, B’, M\) лежат в одной плоскости.

Пример 1.

Решение

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Пример 2.

Решение

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

а) \(\triangle AMQ\sim \triangle ADO\) по двум углам ( \(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle A\) – общий). Значит,

\[\dfrac=\dfrac=\dfrac=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \ AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1<\sqrt3>a\]

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что \(x\) – отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки \(L\) (то есть, что она находится внутри отрезка \(AK\) ).

Пример 3

Решение

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Пример 4

Решение

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

\[\dfrac=\dfrac \Rightarrow DH=\dfrac<\sqrt6>3x \Rightarrow HK=\dfrac<\sqrt6>6x \Rightarrow DH:HK=2:1\]

Как понять что сечение построено правильно. Смотреть фото Как понять что сечение построено правильно. Смотреть картинку Как понять что сечение построено правильно. Картинка про Как понять что сечение построено правильно. Фото Как понять что сечение построено правильно

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *