Как понять что стороны параллельны

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Параллельные прямые: основные сведения

Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.

В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.

Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.

Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.

Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.

Дадим иллюстрацию указанных теорем:

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.

Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.

Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

a x = t · b x a y = t · b y

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Решение

Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Решение

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.

Источник

Параллельность прямых

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

Источник

Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия.

Две прямые называются параллельными, если, находясь в одной плоскости, они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || СE

Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.

Теорема.

Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB. Опустим на AB из точки С перпендикуляр СD и затем проведем СE ^ СD, что возможно. Прямая CE параллельна AB.

Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M. Тогда из точки M к прямой СD мы имели бы два различных перпендикуляра MD и , что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB, т.е. СE параллельна AB.

Следствие.

Аксиома параллельных линий.

Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Так, если прямая СD, проведенная через точку С параллельна прямой AB, то всякая другая прямая СE, проведенная через ту же точку С, не может быть параллельна AB, т.е. она при продолжении пересечется с AB.

Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).

Следствия.

1. Если прямая (СE) пересекается с одной из параллельных (СВ), то она пересекается и с другой (AB), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB, что невозможно.

2. Если каждая из двух прямых (A и B) параллельны одной и той же третьей прямой (С), то они параллельны между собой.

Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M, то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С, что невозможно.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Перпендикуляр EF, пересекаясь с AB, непременно пересечет и СD. Пусть точка пересечения будет H.

Предположим теперь, что СD не перпендикулярна к EH. Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK, будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB: одна СD, по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH.

Источник

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, но не принадлежит прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Говорят, что прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныпересекаются в точке М.
Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Это можно записать так: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны— знак принадлежности точки прямой, «Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныперпендикулярны (рис. 12), то пишут Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны
2) Заметим, что Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 и Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3 следует, что Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныAOF = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныF и Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны4 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBAF. Действительно, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны4 и Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныFAC равны как соответственные углы, a Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныFAC = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 + Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 = 180° (рис. 97, а).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 + Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3= 180°.

4) Из равенств Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны= Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3 и Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 + Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3 = 180° следует, что Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 + Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBAF + Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Так как Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 = 90°, то и Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 = 90°, а, значит, сКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныb.

Что и требовалось доказать.

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныпараллельны, то есть Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, лучи АВ и КМ.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, то Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны(рис. 161).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, перпендикулярную прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи строят другую перпендикулярную прямую Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, затем — третью прямую Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи т. д. Поскольку прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныперпендикулярны одной прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, то из указанной теоремы следует, что Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, параллельной прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, то Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельнытретьей прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны— данные прямые, АВ — секущая, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 (рис. 166).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Доказать: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи продлим его до пересечения с прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 по условию, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBMK =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныANM =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBKM = 90°. Тогда прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 (рис. 167).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Доказать: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи секущей Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныl +Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 = 180° (рис. 168).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Доказать: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи секущей Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныAOB = Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBAO=Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBAK = 26°, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBAC = 2 •Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныADK +Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1=Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2. Так как Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны||Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны.

Реальная геометрия

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныпроходит через точку М и параллельна прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны||Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны(рис. 187).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Доказать: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны||Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны.

Доказательство:

Предположим, что прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, параллельные третьей прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны||Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2,Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны4. Доказать, что Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Так как Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, то Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, которая параллельна прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, которые параллельны прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, АВ — секущая,Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 иКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Доказать: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2.

Доказательство:

Предположим, чтоКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, параллельные прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны— секущая,Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 иКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 — соответственные (рис. 196).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Доказать:Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны— секущая,Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 иКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Доказать:Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныl +Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 +Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3 = 180°. По свойству параллельных прямыхКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныl =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3 как накрест лежащие. Следовательно,Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныl +Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, т. е.Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 = 90°. Согласно следствию Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, т. е.Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 = 90°.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныАОВ =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныABD =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныADB =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныпараллельны, то пишут: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны(рис. 211).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны3. Значит,Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны1 =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны2.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи АВКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, то расстояние между прямыми Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, А Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, С Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, АВКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, CDКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныCAD =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныравны (см. рис. 285). Прямая Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, проходящая через точку А параллельно прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, которая параллельна прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныбудет перпендикуляром и к прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBAD +Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Тогда Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, параллельную прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Тогда Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны|| Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныравноудалены от прямых Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельнына расстояние Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, то есть расстояние от точки М до прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныравно Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Но через точку К проходит единственная прямая Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, параллельная Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Значит, точка М принадлежит прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны.

Таким образом, все точки прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныравноудалены от прямых Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны. Прямая Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныКак понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Запомнить:

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Свойства параллельных прямых

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны— параллельны.

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныи Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельныесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Как понять что стороны параллельны. Смотреть фото Как понять что стороны параллельны. Смотреть картинку Как понять что стороны параллельны. Картинка про Как понять что стороны параллельны. Фото Как понять что стороны параллельны

Признаки параллельности прямых:

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *