Как понять что углы накрест лежащие

Виды и отношения углов

Развёрнутый угол и угловой градус

Развёрнутый угол — это угол, образованный двумя дополнительными полупрямыми. Развёрнутый угол принимаем равным 180°. Таким образом один угловой градус — это 1/180 часть развёрнутого угла.

AB и AC — это две дополнительные полупрямые, образующие развёрнутый угол BAC. Двигай луч AB.

Виды углов

Острый угол больше 0°, но меньше 90°. Тупой угол больше 90°, но меньше 180°. Прямой угол равен 90°.

Угол ABC — острый. Двигай точки A, B и C. Угол DEF — тупой. Двигай точки D, E и F. Угол GHI — прямой. Двигай точки G, H и I.

Смежные углы

Смежные углы это такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие — дополнительные полупрямые.

Здесь углы BAC и CAD — смежные. У них сторона AC — общая, а стороны AB и AD — дополнительные полупрямые.

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это углы, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.

Здесь углы BAC и DAE — вертикальные. У них сторона AB — дополнительная полупрямая к стороне AD, а сторона AC — дополнительная полупрямая к стороне AE. Двигай точки A, B и C.

Соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, сонаправлены, и стороны, лежащие на секущей, сонаправлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и соответственный ему угол.

Односторонние углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей односторонние углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, сонаправлены, а стороны, лежащие на секущей, противоположно направлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и односторонний с ним угол.

Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, противоположно направлены, и стороны, лежащие на секущей, противоположно направлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и накрест лежащий с ним угол.

Источник

Внутренние накрест лежащие углы

Внутренние накрест лежащие углы — один из видов углов, образованных при пересечении двух прямых секущей.

Две прямые разбивают плоскость на внутреннюю (внутри между прямыми) и внешнюю области. Углы, лежащие во внутренней части, так и называются — внутренние.

Внутренние накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга).

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних накрест лежащих углов.

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащиеКак понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

∠1 и∠2 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

∠3 и∠4 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

Из всех внутренних накрест лежащих углов наибольший интерес представляют углы при параллельных прямых.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащиеЕсли a ∥ b, то

∠1 = ∠2

∠3 = ∠4

(как внутренние накрест лежащие углы при a ∥ b и секущей c).

Признак параллельных прямых

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие∠1=∠2.

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Равенство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых используется, в частности, при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.

Источник

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Соответственные углы равны, то есть

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Источник

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащиеКак понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащиеКак понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащиеКак понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие(Рис.8).

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

Докажем, что Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие. Тогда Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащиеи Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие.

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащиеозначает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие(Рис.11).

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие. Тогда из Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащиеи Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащиеследует, что Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие. Из Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащиеи Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащиеследует, что Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

Источник

Соответственные углы

Соответственные углы — вид углов, образованный при пересечении двух прямых секущей.

Один из пары соответственных углов лежит во внутренней области между прямыми, другой — во внешней, причем оба угла находятся по одну сторону от секущей.

При пересечении двух прямых секущей образуется четыре пары соответственных углов.

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

∠1 и ∠5

∠2 и ∠6

∠3 и∠7

∠4 и ∠8

— соответственные углы при прямых a и b и секущей c.

Наибольший интерес в геометрии представляют соответственные углы при параллельных прямых.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие

∠1 = ∠2

(как соответственные углы при при a ∥ b и секущей c).

Всего при параллельных прямых и секущей образуется четыре пары равных соответственных углов:

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие∠1 = ∠5

∠2 = ∠6

∠3 = ∠7

Признак параллельных прямых

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть фото Как понять что углы накрест лежащие. Смотреть картинку Как понять что углы накрест лежащие. Картинка про Как понять что углы накрест лежащие. Фото Как понять что углы накрест лежащие ∠1 = ∠2

А так как эти углы — соответственные при прямых при a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Равенство соответственных углов используется, в частности, для доказательства равенства треугольников и подобия треугольников.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *