Конгруэнтность в геометрии это простыми словами геометрии что

Конгруэнтность (геометрия)

Две фигуры называются конгруэнтными, или равными, если существует изометрия плоскости, которая переводит одну в другую. Например, в евклидовой геометрии две фигуры называются конгруэнтными, если одна из них может быть переведена в другую сдвигом, вращением и зеркальным отображением (или их композицией).

См. также

Смотреть что такое «Конгруэнтность (геометрия)» в других словарях:

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов… … Энциклопедия Кольера

РИМАНА ГЕОМЕТРИЯ — э л л и п т и ч е с к а я г е о м е т р и я, одна из неевклидовых геометрий, т. е. геометрич, теория, основанная на аксиомах, требования к рых отличны от требований аксиом евклидовой геометрии. В отличие от евклидовой геометрии в Р. г.… … Математическая энциклопедия

Равенство — может означать: Равенство в Викисловаре … Википедия

КОЛИЧЕСТВО — филос. категория, отображающая общее в качественно однородных вещах и явлениях. Чтобы выявить в них это общее, необходимо, во первых, установить их однородность, т.е. показать, в каком именно отношении они эквивалентны между собою, во вторых,… … Философская энциклопедия

ПРОЕКТИВНОЕ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЕ — введение в подмножествах проективного пространства методами проективной геометрии такой метрики, при к рой эти подмножества оказываются изоморфными евклидову, гиперболическому или эллиптическому пространствам. Это достигается выделением из класса … Математическая энциклопедия

Эндопротезирование суставов — Эндопротезирование суставов медицинская манипуляция при которой производится замена сустава его искусственным аналогом Содержание 1 Эндопротезирование суставов … Википедия

Движение (в геометрии) — Движение в геометрии, преобразования пространства, сохраняющие свойства фигур (размеры, форму и др. ) Понятие Д. сформировалось путем абстракции реальных перемещении твердых тел. Д. евклидова пространства геометрическое преобразование… … Большая советская энциклопедия

Источник

В геометрии две фигуры или объекты являются конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и размер, или если один имеет такую ​​же форму и размер, что и зеркальное отображение другого.

В элементарной геометрии слово конгруэнтное часто используется следующим образом. Слово равно часто используется вместо конгруэнтного для этих объектов.

В этом смысле конгруэнтность двух плоских фигур подразумевает, что их соответствующие характеристики «совпадают» или «равны», включая не только их соответствующие стороны и углы, но также их соответствующие диагонали, периметры и площади.

Связанная концепция подобия применяется, если объекты имеют одинаковую форму, но не обязательно имеют одинаковый размер. (Большинство определений рассматривают конгруэнтность как форму подобия, хотя меньшинство требует, чтобы объекты имели разные размеры, чтобы считаться подобными.)

СОДЕРЖАНИЕ

Определение конгруэнтности многоугольников

Конгруэнтность многоугольников можно установить графически следующим образом:

Если в какой-то момент шаг не может быть завершен, полигоны не совпадают.

Конгруэнтность треугольников

Два треугольника конгруэнтны, если их соответствующие стороны равны по длине, а соответствующие им углы равны по мере.

Если треугольник ABC конгруэнтен треугольнику DEF, математически это соотношение можно записать как:

Во многих случаях достаточно установить равенство трех соответствующих частей и использовать один из следующих результатов, чтобы вывести конгруэнтность двух треугольников.

Определение конгруэнтности

Достаточные доказательства соответствия между двумя треугольниками в евклидовом пространстве могут быть представлены с помощью следующих сравнений:

Боковой угол

Условие SSA (сторона-сторона-угол), которое определяет две стороны и невключенный угол (также известный как ASS, или угол-сторона-сторона), само по себе не доказывает совпадения. Чтобы показать соответствие, требуется дополнительная информация, такая как измерение соответствующих углов и, в некоторых случаях, длины двух пар соответствующих сторон. Есть несколько возможных случаев:

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и длина стороны, противоположной углу, больше или равна длине соседней стороны (SSA, или длинная сторона-короткий боковой угол), то эти два треугольника совпадают. Противоположная сторона иногда длиннее, если соответствующие углы острые, но всегда длиннее, когда соответствующие углы прямые или тупые. Если угол является прямым углом, также известным как постулат гипотенузы (HL) или условие прямоугольной стороны гипотенузы (RHS), третья сторона может быть вычислена с использованием теоремы Пифагора, что позволяет вычислить постулат SSS. применяемый.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы являются острыми, а длина стороны, противоположной углу, равна длине смежной стороны, умноженной на синус угла, то два треугольника конгруэнтны.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы являются острыми, а длина стороны, противоположной углу, больше, чем длина смежной стороны, умноженная на синус угла (но меньше длины соседней стороны), тогда нельзя показать, что два треугольника совпадают. Это неоднозначный случай, и из данной информации могут быть образованы два разных треугольника, но дополнительная информация, позволяющая их различать, может привести к доказательству соответствия.

Угол-угол-угол

В евклидовой геометрии AAA (угол-угол-угол) (или просто AA, поскольку в евклидовой геометрии углы треугольника в сумме составляют 180 °) не дает информации о размере двух треугольников и, следовательно, доказывает только сходство, а не конгруэнтность в евклидовом пространстве.

Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии (где сумма углов треугольника зависит от размера) AAA достаточно для сравнения на заданной кривизне поверхности.

CPCTC

Более подробно, это сжатый способ сказать, что если треугольники ABC и DEF совпадают, то есть

Утверждение часто используется в качестве обоснования в доказательствах элементарной геометрии, когда требуется заключение о конгруэнтности частей двух треугольников после того, как конгруэнтность треугольников была установлена. Например, если два треугольника были показаны как совпадающие по критериям SSS, и утверждение, что соответствующие углы совпадают, необходимо в доказательстве, то CPCTC может использоваться в качестве обоснования этого утверждения.

Определение сравнения в аналитической геометрии

В евклидовой системе конгруэнтность фундаментальна; это аналог равенства для чисел. В аналитической геометрии конгруэнтность может быть определена интуитивно следующим образом: два отображения фигур в одну декартову систему координат совпадают тогда и только тогда, когда для любых двух точек в первом отображении евклидово расстояние между ними равно евклидову расстоянию между соответствующими точки во втором отображении.

Конгруэнтные конические сечения

Конгруэнтные многогранники

Конгруэнтные треугольники на сфере

Как и в случае плоских треугольников, на сфере два треугольника, разделяющие одну и ту же последовательность угол-сторона-угол (ASA), обязательно конгруэнтны (то есть, у них есть три одинаковые стороны и три одинаковых угла). Это можно увидеть следующим образом: можно расположить одну из вершин с заданным углом на южном полюсе и пройти стороной с заданной длиной вверх по нулевому меридиану. Знание обоих углов на обоих концах сегмента фиксированной длины гарантирует, что две другие стороны исходят с однозначно определенной траекторией и, таким образом, встретятся друг с другом в однозначно определенной точке; таким образом, ASA действительна.

Теоремы сравнения сторона-угол-сторона (SAS) и сторона-сторона-сторона (SSS) также верны для сферы; кроме того, если два сферических треугольника имеют одинаковую последовательность угол-угол-угол (AAA), они конгруэнтны (в отличие от плоских треугольников).

Теорема сравнения плоскость-треугольник, угол-угол-сторона (AAS) не верна для сферических треугольников. Как и в случае с плоской геометрией, боковой-боковой угол (SSA) не подразумевает конгруэнтности.

Обозначение

Источник

Конгруэнтность (геометрия)

В геометрии две фигуры или объекты являются конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и размер, или если один имеет такую ​​же форму и размер, что и зеркальное отображение другого. [1]

В элементарной геометрии слово конгруэнтное часто используется следующим образом. [2] Слово равно часто используется вместо конгруэнтного для этих объектов.

В этом смысле конгруэнтность двух плоских фигур подразумевает, что их соответствующие характеристики «совпадают» или «равны», включая не только их соответствующие стороны и углы, но также их соответствующие диагонали, периметры и площади.

Связанная концепция подобия применяется, если объекты имеют одинаковую форму, но не обязательно имеют одинаковый размер. (В большинстве определений конгруэнтность рассматривается как форма подобия, хотя меньшинство требует, чтобы объекты имели разные размеры, чтобы считаться подобными.)

Содержание

Определение конгруэнтности многоугольников

Конгруэнтность многоугольников можно установить графически следующим образом:

Если в какой-то момент шаг не может быть завершен, многоугольники не совпадают.

Конгруэнтность треугольников

Два треугольника конгруэнтны, если их соответствующие стороны равны по длине, а соответствующие им углы равны по мере.

Если треугольник ABC конгруэнтен треугольнику DEF, математически это соотношение можно записать как:

Во многих случаях достаточно установить равенство трех соответствующих частей и использовать один из следующих результатов, чтобы вывести конгруэнтность двух треугольников.

Определение конгруэнтности

Достаточные доказательства соответствия между двумя треугольниками в евклидовом пространстве могут быть представлены с помощью следующих сравнений:

Боковой угол

Условие SSA (side-side-angle), которое определяет две стороны и невключенный угол (также известный как ASS, или angle-side-side) само по себе не доказывает совпадения. Чтобы продемонстрировать соответствие, требуется дополнительная информация, такая как измерение соответствующих углов и в некоторых случаях длины двух пар соответствующих сторон. Есть несколько возможных случаев:

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а длина стороны, противоположной углу, больше или равна длине соседней стороны (SSA, или длинная сторона-короткий боковой угол), то эти два треугольника совпадают. Противоположная сторона иногда длиннее, если соответствующие углы острые, но всегда длиннее, если соответствующие углы прямые или тупые. Если угол является прямым углом, также известным как постулат гипотенузы (HL) или условие прямоугольной стороны гипотенузы (RHS), третья сторона может быть вычислена с помощью теоремы Пифагора, что позволяет вычислить постулат SSS. применяемый.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а соответствующие углы являются острыми, а длина стороны, противоположной углу, равна длине смежной стороны, умноженной на синус угла, то два треугольника конгруэнтны.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы являются острыми и длина стороны, противоположной углу, больше, чем длина смежной стороны, умноженная на синус угла (но меньше длины соседней стороны), тогда нельзя показать, что два треугольника конгруэнтны. Это неоднозначный случай, и из данной информации могут быть образованы два разных треугольника, но дополнительная информация, позволяющая различать их, может привести к доказательству соответствия.

Угол-угол-угол

В евклидовой геометрии AAA (угол-угол-угол) (или просто AA, поскольку в евклидовой геометрии углы треугольника в сумме составляют 180 °) не предоставляет информации о размере двух треугольников и, следовательно, доказывает только сходство, а не конгруэнтность в евклидовом пространстве.

Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии (где сумма углов треугольника зависит от размера) AAA достаточно для сравнения на заданной кривизне поверхности. [4]

CPCTC

Более подробно, это краткий способ сказать, что если треугольники ABC и DEF совпадают, то есть

Это утверждение часто используется в качестве обоснования в доказательствах элементарной геометрии, когда требуется заключение о конгруэнтности частей двух треугольников после того, как конгруэнтность треугольников была установлена. Например, если два треугольника были показаны как конгруэнтные по критериям SSS, и утверждение, что соответствующие углы совпадают, необходимо в доказательстве, то CPCTC может использоваться в качестве обоснования этого утверждения.

Определение конгруэнтности в аналитической геометрии

В евклидовой системе конгруэнтность фундаментальна; это аналог равенства для чисел. В аналитической геометрии конгруэнтность может быть определена интуитивно следующим образом: два отображения фигур в одну декартову систему координат конгруэнтны тогда и только тогда, когда для любых двух точек в первом отображении евклидово расстояние между ними равно евклидову расстоянию между соответствующими точки во втором отображении.

Конгруэнтные конические сечения

Конгруэнтные многогранники

Конгруэнтные треугольники на сфере

Как и в случае плоских треугольников, на сфере два треугольника, разделяющие одну и ту же последовательность угол-сторона-угол (ASA), обязательно конгруэнтны (то есть, у них есть три одинаковые стороны и три одинаковых угла). [9] Это можно увидеть следующим образом: можно поместить одну из вершин с заданным углом на южном полюсе и провести сторону с заданной длиной вверх по нулевому меридиану. Знание обоих углов на обоих концах сегмента фиксированной длины гарантирует, что две другие стороны исходят с однозначно определенной траекторией и, таким образом, встретятся друг с другом в однозначно определенной точке; таким образом, ASA действительна.

Теоремы сравнения сторона-угол-сторона (SAS) и сторона-сторона-сторона (SSS) также верны для сферы; кроме того, если два сферических треугольника имеют одинаковую последовательность угол-угол-угол (AAA), они конгруэнтны (в отличие от плоских треугольников). [9]

Теорема сравнения плоскость-треугольник, угол-угол-сторона (AAS) не выполняется для сферических треугольников. [10] Как и в плоской геометрии, угол наклона стороны-стороны (SSA) не подразумевает конгруэнтности.

Обозначение

Источник

Конгруэнтность

Смотреть что такое «Конгруэнтность» в других словарях:

Конгруэнтность — Состояние, в котором слова человека соответствуют его действиям. Его невербальные сигналы и вербальные утверждения соответствуют друг другу. Состояние целостности, адекватности, внутренней гармонии, отсутствия конфликта. Краткий толковый… … Большая психологическая энциклопедия

КОНГРУЭНТНОСТЬ — КОНГРУЭНТНОСТЬ, эквивалентность размера и формы. Конгруэнтными называют такие геометрические фигуры, которые полностью совпадают при наложении. Если фигуры для полного совпадения необходимо изменить (поменять масштаб или зеркально развернуть),… … Научно-технический энциклопедический словарь

конгруэнтность — совпадение, соразмерность, соответствие, сравнимость Словарь русских синонимов … Словарь синонимов

конгруэнтность — Числа а и b связаны отношением конгруэнтности по модулю х, если (а b) делится на х. [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN congruence … Справочник технического переводчика

Конгруэнтность — В Викисловаре есть статья «конгруэнтность» Конгруэнтность (лат. congruens, род. п. congruentis «соразмерный», «соответствующий»): конгруэнтность в геометрии … Википедия

КОНГРУЭНТНОСТЬ — (от лат. совпадающий): понятие, играющее важную роль в гуманистической психологии К. Роджерса, в трактовке которого оно означает «соответствие опыта, осознания и сообщения». Чем больше люди убеждаются в том, что сообщения каждого из них… … Евразийская мудрость от А до Я. Толковый словарь

Конгруэнтность — ж. отвлеч. сущ. по прил. конгруэнтный Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

конгруэнтность — конгруэнтность, конгруэнтности, конгруэнтности, конгруэнтностей, конгруэнтности, конгруэнтностям, конгруэнтность, конгруэнтности, конгруэнтностью, конгруэнтностями, конгруэнтности, конгруэнтностях (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по… … Формы слов

КОНГРУЭНТНОСТЬ — отношение эквивалентности на множестве геометрич. фигур (отрезков, углов и т. д.). Оно вводится либо аксиоматически (см. Гильберта система аксиом), либо на основе какой либо группы преобразований, чаще всего движений. Так, в евклидовой геометрии… … Математическая энциклопедия

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

О полупрямых (или лучах) (равенство vs конгруэнтность)

Интересно, вот я не нашел, ни в учебнике Кисилева, ни в учебнике Адамара, ни в учебниках Перепелкина и Анастасяна доказательство такого простого факта:

Две любые полупрямые являются фигурами равными.

Это сейчас рассматривается уже как аксиома? Или просто авторы не считают нужным доказывать это простенькое предложение? Или может быть не вводится вся аксиоматика (чтобы учащихся не перегружать) и опускается доказательство этого предложения.

Заслуженный участник

Равными они не являются. Они являются конгруэнтными (согласно учебнику Колмогорова).

Отвечу вопросом на вопрос, но не по злобе: а в каком из приведенных Вами учебников Вы видели доказательство конгруэнтности прямых? Это ведь не менее фундаментальный факт, а пожалуй что и более.

Извините пожалуйста, но они являются равными согласно определению (имеется в виду прямые), а именно

Любая фигура равная прямой есть прямая: и обратно любая прямая может быть совмещена со всякой другой и притом таким образом, что любая точка первой может быть совмещена с любой точкой второй. (Адамар, Планиметрия)

Это определение, откуда, между прочим следует любые две прямые являются фигурами равными, а неравных прямых вообще нет.

Но вопрос встает не о прямых, а о полупрямых (или лучах)

Что же касается Кисилева, то там тоже нет такого доказательства (и я здесь имею в виду как редакцию оригиналььную, так и несколько исправленную с участием Глаголева).

Заслуженный участник

Во-первых, понимаете ли Вы разницу между равенством и конгруэнтностью? К сожалению, многие учебники школьной геометрии смешивают эти понятия (Колмогоров — нет, но судя по приведенной Вами цитате, Адамар смешивает).

В-третьих, говоря о совмещении, полезно указывать, какие преобразования считаются допустимыми. Иначе все подобные треугольники окажутся равными. И дальше уже не так далеко до топологии с непрерывными изоморфизмами. Что еще раз подтверждает необходимость доказательства этого факта (q.v. во-вторых).

В-четвертых, для лучей проходит очень простая модификация доказательства для прямых. Для прямых надо в начале доказательства совместить две произвольные точки, а для лучей — обязательно их начала.

Ну давайте тогда так, я отвечу а Вы поправите, если я не прав.

1) Равные это те, которые могут быть совмещены друг с другом так, что совпадут во всех частях, иными словами две равные это фактически одна, но в другом месте.

2) Что касается конгруэнтности, то, наверно надо задать некоторое множество допустимых преобразований. Тогда если одна фигура может быть переведена в другую посредством эитх преобразований, то они конгруэнтны. Ну а если уж совсем отвлечься, то мне кажется, что это есть некое отношение эквивалентности на определенном множесстве фигур.

Заслуженный участник

Если я правильно понимаю, Колмогоров называет две фигуры равными, если они равны в теоретико-множественном смысле (т.е. точка принадлежит одной из них тогда и только тогда, когда она принадлежит другой).

К сожалению, понятие «совместить» выходит за рамки аксиоматики геометрии. Его необходимо определять. По сути, совместить — это задать отображение. Конгруэнтными называются фигуры, которые могут быть отображены одна в другую при помощи изометрии. Изометрией же называется отображение, сохраняющее расстояние.

Это, впрочем, одно из определений (согласно Колмогорову). Система аксиом Гильберта вводит понятие конгруэнтности аксиоматически.

Заслуженный участник

Кстати, если я всё правильно помню, то в учебнике Погорелова движение не есть аксиоматическое понятие, оно там вводится именно как преобразование плоскости, сохраняющее расстояние.

Заслуженный участник

Я не уверен, что в массовой школе необходима такая вещь, как полная аксиоматика геометрии. Учебники Киселёва, на мой взгляд, были великолепны. А те школьники, которые этим заинтересовались, могли использовать дополнительную литературу. Я, например, использовал.

Заслуженный участник

Я тоже не уверен. Но сейчас, оглядываясь назад, понимаю, что это был единственный достаточно формальный раздел. Единственный, демонстрировавший методологию математики. И, пожалуй, единственный, где это было возможно.

Я хочу предложить: давайте примем терминологию «равны» как совместимые, и «совпадающие» как состоящие из одних и тех же точек. И вернемся к задачам:

1) Доказать, что все прямые равны.

2) Доказать, что два луча равны.

Между прочим, тоже хочу заметить, что в некоторых источниках я встречаю такое устверждение (иногда ее называют ну чтоли аксиомой объемности), а именно:

Каждая геометрическая фигура может быть бесчисленным образом перемещена в пространстве без изменения своего внешнего вида совершенно также, как это может быть сделано с обычными твердыми телами.

Вот эта аксиома вообщем то меня и устраивает (ну пока на данном типе понимания).
Фактически ведь это то же самое как всякое преобразование, сохраняющее расстояния, между любыми двумя точками. И напрягаться особо не надо для сохранения логической связности.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Еще и зеркальная симметрия. Другое название — изометрия.

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник