Координаты вектора это что

Вектор. Координаты вектора.

Формула определения координат вектора для двухмерных задач.

В случае двухмерной задачи вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтос известными координатами точек A(х11) и B(x2;y2) можно вычислить:

Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что= (x2 – x1 ; y2 – y1).

Формула определения координат вектора для пространственных задач.

В случае пространственной задачи вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтос известными координатами точек A11;z1) и B(x2;y2;z2) можно вычислить применив формулу:

Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что= (x2 x1 ; y2 y1;z2 z1).

Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора. (Свойство 3, приведенное ниже).

Свойства координат вектора.

1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты.

2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.

3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат.

4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.

5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов.

6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Источник

Векторы для чайников. Действия с векторами.
Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами

Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии. Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод, понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:

1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии, авторы – Л.С. Атанасян и Компания. Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20 (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.

2) Геометрия в 2 томах. Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т. Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том. Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.

Из инструментальных средств предлагаю собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов, а также Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении. На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений, что позволит научиться решать задачи по геометрии. Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве, Уравнения прямой в пространстве, Основные задачи на прямую и плоскость, другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматриваться типовые задания.

Более того, по материалам сайта создана книга!

. да, это свершилось! – освойте азы теории и научитесь решать в кратчайшие сроки! Спасибо за поддержку проекта.

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
В данном случае началом отрезка является точка Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, концом отрезка – точка Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Сам вектор обозначен через Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. У такого вектора конец и начало совпадают.

. Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, но допустима и запись Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоВ частности, наш вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоможно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Длиной или модулем ненулевого вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоназывается длина отрезка Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Длина нулевого вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чторавна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной «школьный» вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё почти корректно – направленный отрезок можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоот конца вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Суммой векторов Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоявляется вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, а затем по вектору Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Тогда сумма векторов Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтопредставляет собой вектор результирующего пути Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтос началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоотложить от начала вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, при этом возможна детализация: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что(векторы сонаправлены) или Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что(векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтона число Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоявляется такой вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, длина которого равна Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, причём векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтосонаправлены при Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои противоположно направлены при Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоотрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоили Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтов два раза меньше длины вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Если множитель Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтопо модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтораз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например, Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

4) Векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтосонаправлены. Векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтотакже сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что:

Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоплоскости единственным образом выражается в виде:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, где Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чточисла, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоназывается разложением вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что по базису Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

! ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ!

Начнем с первой буквы алфавита: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что;
2) сложение векторов по правилу треугольника: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

А теперь мысленно отложите вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоот любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтобудет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоне обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.

Векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоиллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтосонаправлен с базисным вектором Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтонаправлен противоположно по отношению к базисному вектору Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
А базисные векторы, к слову, так: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что(по сути, они выражаются сами через себя).

И, наконец: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.

Рассмотренное разложение вида Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоиногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:

Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоИли со знаком равенства: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Сами базисные векторы записываются так: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Действительно, Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что– это ведь два разных вектора.

С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Перед вами ортонормированный базис Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтотрехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоданного базиса попарно ортогональны: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Ось Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтонаклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методички Графики и свойства функций.

Любой вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтотрехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, где Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что– координаты вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что(числа) в данном базисе.

Пример с картинки: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что(красная стрелка), Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что(зеленая стрелка) и Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что(малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Вектор суммы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоначинается в исходной точке отправления (начало вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоот любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что«останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтошироко используются версии со скобками: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтолибо Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что(дотошно Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что) – запишем Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что;
вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что(дотошно Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что) – запишем Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что;
вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что(дотошно Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что) – запишем Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Базисные векторы записываются следующим образом:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части:

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть, даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, то вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоимеет следующие координаты:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Если даны две точки пространства Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, то вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоимеет следующие координаты:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Формулы в конце урока.

Даны две точки плоскости Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти координаты вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Решение: по соответствующей формуле:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Как вариант, можно было использовать следующую запись:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Эстеты решат и так: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, в данном случае Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Любой вектор является свободным, поэтому при желании или необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости (во избежание путаницы переобозначив, например, через Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что). Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

а) Даны точки Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.
б) Даны точки Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.
в) Даны точки Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.
г) Даны точки Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится ;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, то длину отрезка Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоможно вычислить по формуле Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Если даны две точки пространства Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, то длину отрезка Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоможно вычислить по формуле Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, но более стандартен первый вариант

Даны точки Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти длину отрезка Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Решение: по соответствующей формуле:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Ответ: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Для наглядности выполню чертёж
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Отрезок Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоэто не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоможно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приёмвынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Конечно, оставить ответ в виде Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоне будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Да, разделилось нацело, таким образом: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. А может быть, число Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоещё раз удастся разделить на 4? Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Таким образом: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. У числа Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтопоследняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. В результате:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоГотово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Даны точки Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти длину отрезка Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, то его длина вычисляется по формуле Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Если дан вектор пространства Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, то его длина вычисляется по формуле Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.

Даны точки Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти длину вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Я взял те же точки, что и в Примере 3.

Решение: Сначала найдём вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

По формуле Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтовычислим длину вектора:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Ответ: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3 знаков после запятой.

Выполним чертеж к задаче:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости, при этом его лучше переобозначить, например, через Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чторавна длине вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Так же очевидно, что длина вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтобудет такой же. По итогу: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти длину отрезка Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Вместо применения формулы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, поступаем так:
1) Находим вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чторавна длине вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.

Вышесказанное справедливо и для пространственного случая

а) Даны точки Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти длину вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.
б) Даны векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти их длины.

Решения и ответы в конце урока.

Действия с векторами в координатах

В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов:

1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Для того, чтобы сложить векторы, нужно сложить их соответствующие координаты: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои найдём сумму трёх векторов: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, то их суммой является вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоумножить на число Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, нужно каждую координату данного вектора умножить на число Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что.

Для пространственного вектора Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоправило такое же:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.

Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтоно и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Даны векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Решение чисто аналитическое:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Ответ: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, то графическое решение задачи будет таким:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =)

Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.

Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо):

Даны векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Ответ: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

И в заключение занятный пример с векторами на плоскости:

Даны векторы Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что. Найти Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Это задача для самостоятельного решения.

Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:

Это, так скажем, вектор-минимум студента =)

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Задание: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что, Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Пример 2: Решение:
а)
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
б)
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
в)
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
г)
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Пример 4: Решение:
По соответствующей формуле: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
Ответ:Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Пример 6: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это чтои Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
а) Решение: найдём вектор Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
Вычислим длину вектора:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
Ответ: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

б) Решение:
Вычислим длины векторов:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Пример 9: Решение:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что
Примечание: Перед выполнением действий можно предварительно раскрыть скобки:
Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Ответ: Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Координаты вектора это что. Смотреть фото Координаты вектора это что. Смотреть картинку Координаты вектора это что. Картинка про Координаты вектора это что. Фото Координаты вектора это что Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *