Корень уравнения что это

Корень уравнения — определение в математике, формулы нахождения

Часто в математических задачах нужно быстро найти корень уравнения. Однако при несоблюдении общих правил решение может быть неверным. Для каждого вида уравнения существуют определенные методы нахождения корня или корней. Важно сначала идентифицировать тип уравнения, а затем его решать.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Общие сведения

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Уравнение — это равенство вида F (x1, x2. xn) = G (x1, x2. xn), в котором есть переменные. Определение можно сформулировать следующим образом: уравнением называется равенство, в котором присутствуют неизвестные величины. Решить его — значит найти корни (корень) или доказать, что их нет.

Корень — значение, при подстановке которого равенство принимает истинное значение. Например, корнем уравнения (2х = 4) является 2.

Решением уравнения называется задача по нахождению всех его корней или доказательство их отсутствия. В некоторых случаях условием задачи могут быть наложены ограничения (только целые числа, дробные, комплексные и так далее).

Равносильные функции с неизвестными

В математике существует понятие равносильности или эквивалентности уравнений. Оно означает, что корни заданных равенств совпадают. Кроме того, они считаются эквивалентными, когда не имеют корней. Эквивалентность имеет:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Последний прием используется при решении квадратных, кубических и биквадратных уравнений некоторых типов. Метод позволяет упростить поиск неизвестных величин. Например, x 2 — 2x = 0 является квадратным уравнением с параметром С = 0.

Можно найти его дискриминант и вычислить корни. Но существует более простой способ — использование третьего свойства эквивалентности. Следует просто вынести общий множитель за скобки: х * (х-2) = 0. Уравнение «распадается» на два простых: х = 0 и х — 2 = 0. Решаются они очень просто: х1 = 0 и х2 = 2.

Информация о свойствах

Выражения, входящие в состав уравнения, не должны изменять корни, а также приводить к обнаружению посторонних решений. Допустимые преобразования:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

При выполнении некоторых операций, приводящих к потере переменных значений, могут возникнуть посторонние корни. В этом случае придется проверять все значения, подставляя их в исходное выражение. Рекомендуется избегать операций, которые приводят к сокращению неизвестных. Это приводит к неверным решениям и образованию дополнительных корней.

Классификация уравнений

Для решения каждого уравнения есть свои правила и алгоритмы. Различают следующие виды уравнений: алгебраические, с параметрами, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Некоторые виды позволяют записывать значение корня в виде функции или функции с параметром. Для решения применяются специальные аналитические функции, которые могут предоставить сведения о вычислении корней, а также предварительно определить их количество и зависимость от значения параметра. Однако аналитические решения можно применять только для алгебраического типа (не выше 4 степени).

Для трансцендентных уравнений количество аналитических решений ограничено, поскольку не все тригонометрические функции имеют значения, равные нулю. Если невозможно найти аналитическое решение, то применяются вычислительные методы. Они позволяют сузить интервал, в котором находится корень. Следовательно, такое решение не будет точным.

Алгебраический тип

Уравнение вида P (x1, x2. xn) = 0, в котором многочлен представлен неизвестными аргументами, называется алгебраическим. Оно может содержать одно или несколько неизвестных, иметь степень.

Алгебраические уравнения могут быть нескольких типов: линейными, квадратными, кубическими, биквадратными (4 степень). Кроме того, линейные могут объединяться в системы. Решить систему уравнений — значит найти общие корни всех выражений, которые в нее входят.

Линейные и квадратные

Линейным называется уравнение, степень которого соответствует единице. Его можно записать в двух формах — общей и канонической. В первом случае оно имеет следующий вид: a1 * x1 + a2 * x2 + an * xn + b = 0. В последнем случае нужно перенести число b в правую часть: a1 * x1 + a2 * x2 + an * xn = b. Пример: 3х — 2 = 25.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Более сложным типом считается квадратное уравнение, то есть выражение типа А * х 2 + В * x + С = 0 (А не равно 0). Они бывают полными (А, В, С не равны 0) и неполными (какой-нибудь коэффициент равен 0, кроме А). Его можно решить автоматизированным и ручным методами.

Можно воспользоваться специальным программным обеспечением или интернет-ресурсом, который ищет корни квадратного уравнения. Необходимо вписать в специальные поля значения А, В и С. Программа вычислит все за секунду и выдаст результат. Во втором случае нужно применить формулу. Корни квадратного уравнения вычисляются при нахождении дискриминанта и подстановке значений А и В в выражения. Чтобы найти их, следует действовать по алгоритму:

Многочлен с неизвестными вида A * х 3 + B * x 2 + C * x + D = 0 называется кубическим уравнением. При этом А не может быть равно 0. Для решения применяется кубическая парабола.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Равенство можно разделить на А и выполнить замену такого вида: x = y — (b / (3 * A)). Исходное выражение примет такой вид: y 3 + p * y + q = 0. Коэффициенты p и q вычисляются по следующим формулам: q = [2 * B 3 — 9 * A * B * C + 27 * (A 2 ) * D] / (27 * A 3 ) и p = [(3 * A * C — B 2 ) / (3 * A 2 )].

При решении биквадратных многочленов с неизвестными необходимо рассматривать каждый случай индивидуально. Все они решаются аналитическим способом с помощью замены переменной. Главной задачей является понижение степени.

С параметрами и трансцендентные

В дисциплинах с физико-математическим уклоном можно встретить уравнения с параметрами, от которых зависит их вид. Они могут быть линейными и нелинейными. Для их решения надо найти все системы значений параметров, при которых имеются корни.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Пример — a * x + 1 = 4. Параметр «а» может быть дробью, действительным или натуральным числом, а также состоять из суммы, произведения или разности некоторых переменных. Допустимые значения оговариваются условием задачи. Их называют ограничениями.

Трансцендентные уравнения содержат показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Они не являются алгебраическими. Пример — cos (x) = x и lg (x) = x — 5. Их корни находятся по различным алгоритмам, которые зависят от общего вида. Допускается при решении использование метода замены переменных для упрощения вида.

Функциональные и дифференциальные

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Уравнения, которые выражают связь между значениями в нескольких точках, называются функциональными. Этот термин применяется для всех видов, которые невозможно свести к алгебраическому типу. Корнем является функция. Например, корнем выражения F (s) = 2^(s) * ПИ^(s-1) * sin (ПИ * s / 2) * Г (1-s) * f (1-s) является дзета-функция Римана.

Дифференциальное уравнение содержит какую-либо дифференциальную функцию с неизвестным или неизвестными. Все дифуравнения делятся на два типа: обыкновенные и в частных производных. В первый тип входят функции от одного аргумента, во вторую — функции, зависящие от многих аргументов. Для нахождения корней следует найти функцию, удовлетворяющую условию и имеющую на интервале производные.

Примеры решения

На ЕГЭ могут быть различные задания по математике. Среди них могут быть линейные и квадратные уравнения. Например, дано выражение вида: 3 (х-9) + 2х (х-3)= 2 (х-2)(х+2). Нужно найти значение переменной. Алгоритм следующий:

Нет смысла находить точки пересечения двух парабол (x 2 — 3x + 2 = 0 и y 2 — 5y + 6 = 0) с осями координат. Для получения быстрого результата достаточно воспользоваться теоремой Виета. Точки пересечения вычисляются следующим образом: x1 = 1, x2 = 2, y1 = 2 и y2 = 3.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Чтобы найти точки пересечения параболы (3x 2 — 10x + 5 = 0) с осями декартовой системы координат, следует решить квадратное уравнение:

Парабола пересекает ось ОХ в точках x1 = (5 — sqrt (10)) / 3 и x2 = (5 + sqrt (10)) / 3. Выражения можно не вычислять, поскольку получатся приближенные значения.

Таким образом, для нахождения корней уравнения необходимо сначала его идентифицировать, привести к упрощенному виду, понизить степень (при необходимости), а затем применить какой-либо из алгоритмов.

Источник

Уравнение и его корни: определения, примеры

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня ­­– три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Источник

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.

Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.

Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.

Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3

В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.

Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.

Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.

Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x :5 =20 :5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅ 4 =20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Далее делим все уравнение на 3.

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.

Источник

Что такое корень уравнения?

Само уравнение является равенством двух величин, к корню уравнения относят значение неизвестной составляющей. Для нахождения значения этой неизвестной уравнение следует решить.

Уравнение содержит два равных алгебраических выражения, в каждом из которых присутствуют неизвестные. В алгебраических выражениях неизвестные также именуют переменными. Связано это с тем, что каждая неизвестная может иметь одно, два или множество значений.

К примеру, в уравнении 6X–12=18 значение неизвестная X будет иметь только одно: X=5.

Для сравнения рассмотрим уравнение Y-X=4. Здесь количество корней, которые можно найти, бесконечно. Значение Y будет изменяться в зависимости от принятого значения Х, и наоборот.

Чтобы найти корень уравнения, необходимо определить все возможные значения переменных. Для этого, применяя определённые математические действия, следует решить уравнение. Алгебраические выражения, как и само уравнение, в результате решения должны быть сокращены до минимума. В конечном итоге либо определяют значение одной неизвестной, либо устанавливают взаимную зависимость двух переменных.

Для определения верности решения в уравнение подставляют найденные корни, после чего решают получившийся в результате математический пример. Итогом должно стать равенство двух чисел. В случае если равенство не получилось, уравнение нельзя считать решённым, а значит, и корни его остаются не найденными.

В качестве примера рассмотрим уравнение с одной неизвестной: 2X–6=2+X.

Определяем корень представленного уравнения:

Далее с найденным корнем проводим решение уравнения и получаем:

Решение уравнения в данном случае верное.

Если же принять за корень этого уравнения, например, число 9, то выйдет следующее:

Решение уравнения неверное. Вывод: число 9 не может являться корнем данного уравнения.

Однако не во всех случаях есть возможность найти корни. Уравнению, не имеющему корней, дали название «неразрешимое». Таким образом, например, не может иметь корней уравнение X2=–9, связано это с тем, что абсолютно любое значение неизвестной X при возведении в квадрат даст положительное число.

Для закрепления. Корнем уравнения называют значение неизвестной, определяемое путем решения уравнения.

Вместе со статьёй «Что такое корень уравнения?» читают:

Источник

Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вернем получившееся равенство Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этов первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Пример 4. Рассмотрим равенство Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этопозволяет узнать чему равно x

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Отсюда Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Отсюда Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это.

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этотребовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этовместо числа 15 располагается переменная x

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это. Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это. Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Мы получили новое уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это. Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этои подставим вместо x

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Равносильные уравнения

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Отсюда Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это.

Вернемся к исходному уравнению Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этои подставим вместо x найденное значение 2

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Отсюда Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Пример 3. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Раскроем скобки в левой части равенства:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Отсюда Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вернемся к исходному уравнению Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этои подставим вместо x найденное значение 4,5

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этомы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это. Корень этого уравнения, как и уравнения Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этотак же равен 4,5

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это.

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В результате останется простейшее уравнение

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вернемся к исходному уравнению Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этои подставим вместо x найденное значение 4

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это. Корень этого уравнения, как и уравнения Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что эторавен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это, мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этона множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Пример 2. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Умнóжим обе части уравнения на 15

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Перепишем то, что у нас осталось:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Отсюда Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вернемся к исходному уравнению Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этои подставим вместо x найденное значение 5

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Пример 3. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Умнóжим обе части уравнения на 3

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Останется простейшее уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это. Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Отсюда Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вернемся к исходному уравнению Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этои подставим вместо x найденное значение 9

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Умнóжим обе части уравнения на 6

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Перепишем то, что у нас осталось:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вернемся к исходному уравнению Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этои подставим вместо x найденное значение 4

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Умнóжим обе части уравнения на 15

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Перепишем то, что у нас осталось:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Раскроем скобки там, где это можно:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Перепишем то, что у нас осталось:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это. Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Приведем подобные слагаемые:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это. Это есть произведение минус единицы и переменной x

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этона минус единицу:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это, а правая часть будет равна 10

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень этого уравнения, как и уравнения Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что эторавен 5

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Значит уравнения Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этои Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что эторавносильны.

Пример 2. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этона −1 можно записать подробно следующим образом:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.

Пример 3. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые: Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это. Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этомы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Но если в уравнении Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этообе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Уравнения вида Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этомы решали выражая неизвестное слагаемое:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этослагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Далее разделить обе части на 2

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это.

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В случае с уравнениями вида Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этоудобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.

Когда корней несколько

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

Пример 2. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этои убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Пример 2. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x

Когда корней нет

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Пусть Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Пример 2. Решить уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Раскроем скобки в левой части равенства:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Приведем подобные слагаемые:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Умнóжим обе части уравнения Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этона t

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Умнóжим обе части уравнения на t

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

Тогда буквенное уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что этопримет следующий вид

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Затем разделить обе части на 50

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Пример 2. Дано буквенное уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это. Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Разделим обе части уравнения на b

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Пример 3. Дано буквенное уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это. Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В левой части вынесем за скобки множитель x

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Разделим обе части на выражение a − b

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Пример 4. Дано буквенное уравнение Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это. Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Умнóжим обе части на a

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В левой части x вынесем за скобки

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Разделим обе части на выражение (1 − a)

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Корень уравнения что это. Смотреть фото Корень уравнения что это. Смотреть картинку Корень уравнения что это. Картинка про Корень уравнения что это. Фото Корень уравнения что это

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *