Корреляция что это простыми словами в математике

Корреляция: это простыми словами

Что представляет собой корреляция?

Термин «корреляция» пугает многих людей и кажется чем-то сложным и непонятным. Однако на практике ничего устрашающего в ней нет. Корреляция – это всего лишь показатель, показывающий зависимость между событиями или объектами.

Данное понятие применяется в экономическом и статистическом анализе, психологии, биологии, математике. Например, если посмотреть на небо и увидеть густые и темные тучи, то можно прийти к выводу, что скоро пойдет дождь. Однако наше умозаключение не дает 100% гарантии. Это и является отличительной особенностью корреляцию от линейной зависимости.

Что такое корреляция?

Корреляция – это взаимозависимость случайных факторов. Она отображает приближенную взаимосвязь и не дает точных ответов. Например, в стране выросла безработица и увеличилось количество преступлений. Можно предположить, что на второй фактор повлияли первый. Но на уровень преступности также влияют воспитание, менталитет людей, уровень образования. Составить точный прогноз нереально, так как всегда есть дополнительные факторы.

Связь может быть трех видов:

Например, повышения уровня радиации негативно сказывается на здоровье человека. Межу событиями имеется обратно пропорциональная зависимость – увеличения радиации приводит к ухудшению здоровья. Коэффициент корреляции при этом имеет отрицательное значение.

Некоторые события или явления практически никак не связаны друг с другом. Утром у вас разрядился телефон, а вчера в маршрутке вам на ногу наступил мужчина. Ни одно из событий не влияет на другое. В данном случае коэффициент корреляции равен нулю.

Если коэффициент больше нуля и стремится к 1, то такая корреляция называется положительной. Она показывает прямую взаимосвязь между событиями. Например, чем выше уровень знаний, тем выше шансы поступить в университет на бюджет.

Анализ корреляционного соотношения помогает выдвинуть гипотезу о причинно-следственных связях.

Корреляция цены на нефть и курса доллара

Цена на нефть и курс американского доллара имеют обратную корреляционную связь. При росте стоимости «черного золота» курс доллара снижается и наоборот.

США обладают самой мощной промышленностью в мире и на ее нужды требуется просто огромное количество нефти. В то же время Штаты входят в первую десятку стран по уровню добычи этого природного ресурса. При этом США значительную часть добытой нефти экспортируют, что вызывает дефицит в промышленности. Для его покрытия американцы ежегодно импортируют свыше 8 миллиардов баррелей нефти.

Данного объема достаточно для влияния на курс национальной валюты. Увеличение спроса США на нефть приводит к увеличению цены на международном рынке. В свою очередь, рост объемов импорта влияет на стоимость произведенных товаров. В итоге на валютном рынке наблюдается избыток американской валюты, и ее курс начинает падать.

Корреляция в управлении инвестиционными активами

Корреляция активно используется инвесторами при формировании и управлении своих инвестиционных портфелях. Логично, что нельзя держать все свои активы в одном месте. Диверсификация позволяет значительно снизить риски.

Например, инвестор покупает акции одной крупной компании и нескольких мелких. Коэффициент корреляции акций гигантов отрасли и небольших предприятий приблизительно равен +0,8. Это достаточно большое значение и оно характеризует прямую зависимость между объектами. При падении акции крупной компании существует большая вероятность, что стоимость ценных бумаг небольших фирм тоже снизится существенная. В данном случае лучше подбирать активы таким образом, что корреляционные связи были минимальными.

Для этого, например, инвестор может составить свой портфель из акций и облигаций или акций и казначейских векселей. Облигации между собой, как и акции, также имеют прямую связь. Их коэффициент еще выше. Однако между облигациями и акциями такой зависимости нет, что и позволяет инвестору снизить риски.

Также наблюдается зависимость между странами и даже регионами. Чем ближе они находятся, тем выше коэффициент корреляции. Например, для Канады и США он составляет 0,9. В то же время для Японии и США он на 4 десятых меньше. Собственно, инвестору более выгодно покупать активы эмитентов из разных регионов.

Золото и ценные бумаги практически не коррелируются. Однако серебро и золото очень зависимы друг от друга, так же, как и евро и американский доллар. Их использование в рамках одного инвестиционного портфеля нецелесообразно.

Корреляция – это удобный и необходимый инструмент в различных сферах жизни. Она не является панацеей, но позволяет достаточно точно установить причинно-следственные связи между явлениями.

Источник

Что такое корреляция и что означает коррелировать — простыми словами о сложном

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Когда некоторые люди слышат слово «корреляция», то зачастую просто впадают в ступор. Оно и понятно: жуткий термин из мира высшей математики и статистики.

Сразу представляются унылые графики, многоэтажные формулы, при взгляде на которые хочется забиться в угол и плакать. На самом деле все гораздо проще.

Потратив несколько минут на прочтение этой статьи, вы узнаете, что такое корреляция и как ее использовать в повседневной жизни.

Определение корелляции — что это

Простыми словами корреляция – это взаимосвязь двух или нескольких случайных параметров. Когда одна величина растет или уменьшается, другая тоже изменяется.

Объясним на примере: существует корреляция между температурой воздуха и потреблением мороженого. Чем жарче погода, тем больше холодного лакомства покупают люди. И наоборот.

Такие закономерности устанавливаются путем исследования больших объемов статистических данных. Собираем информацию о потреблении мороженого за несколько лет и сведения о колебаниях температуры за тот же период. А дальше сопоставляем и ищем зависимость.

Коррелировать – это значит быть взаимосвязанным с чем-то. Существует положительная и отрицательная корреляции.

При положительной чем больше один параметр, тем больше и другой. Например, чем масштабнее траты фермера на удобрения, тем обильнее урожай. При обратной корреляции рост одной величины сопровождается уменьшением другой. Чем выше здание, тем хуже оно противостоит землетрясениям.

Корреляция — это взаимосвязь без гарантий

Рассмотрим пример прямой корреляции: чем выше уровень благосостояния человека, тем больше его продолжительность жизни. Обеспеченные люди питаются качественной пищей и своевременно получают врачебную помощь. В отличие от бедняков.

Однако нельзя с уверенностью сказать, что определенный олигарх проживет дольше вот этого нищего.

Это лишь статистическая вероятность, которая может не сработать для одного конкретного случая. Этим корреляция отличается от линейной зависимости, где исход известен со 100-процентной вероятностью.

Но если мы возьмем выборку из сотни тысяч богачей и такого же числа малоимущих, сравним их продолжительность жизни, то общая тенденция будет верна.

Коэффициент корреляции

Величина коэффициента корреляции рассчитывается по формуле:

Если внезапно потемнело в глазах и возникло непреодолимое желание закрыть статью (синдром гуманитария), то есть вариант попроще. Microsoft Exel все выполнит сам при помощи функции «КОРРЕЛ». Делается это так:

Судя по расчетам, рост человека практически никак не влияет на уровень зарплаты.

Реальные причины корреляции и возможные гипотезы

Курс доллара и стоимость нефти отрицательно коррелируют. Можем выдвинуть гипотезу: повышение цен на черное золото вызывает падение стоимости американской валюты. Но почему так происходит? Откуда взялась связь между этими явлениями?

Определение причины корреляции – это очень сложная задача. Переплетаются тысячи различных факторов, часть из которых скрыта.

Возможно, дело в том, что США – крупнейший потребитель нефти в мире. Каждый день они импортируют около 7,2 миллиона баррелей. Снижение цены на черное золото – хорошо для американской экономики, ведь позволяет тратить меньше денег. Следовательно, доллар растет.

Корреляция предоставляет возможность сделать вывод из статистических данных.

Например, мы выяснили, что существует отрицательная взаимосвязь между доходом персонала и его эффективностью в работе. Наша гипотеза: «Лентяи и бездельники получают больше, чем ответственные сотрудники». Тогда мы пересмотрим систему мотивации и избавимся от бесполезных людей.

Гипотеза – это лишь статистический вывод, предположение. Она вполне может оказаться ошибочной.

Согласно статистике, чем больше пожарных участвует в тушении огня, тем существенней размер ущерба. Какую гипотезу можем сделать отсюда? Пожарные приносят вред, давайте сократим их! Но если разобраться, то настоящая причина повреждения – это огонь. А увеличение числа лиц, задействованных в его тушении, – следствие масштаба пожара.

Наша вселенная бесконечна, а значит всегда можно найти несколько переменных, которые будут коррелировать между собой, несмотря на полное отсутствие причинно-следственных связей. Даже самое буйное воображение не сможет объяснить, что объединяет сыр и одеяло-убийцу:

Более подробно на эту тему смотрите в видео:

Как при помощи корреляции люди становятся богаче

Главное правило любого инвестора: не класть все яйца в одну корзину. Вложения рекомендуется диверсифицировать (что это?) – распределять. Поэтому люди покупают акции не одной компании, а десятка разных, формируя инвестиционные портфели. Если котировки какой-то фирмы упадут, то оставшиеся девять смогут отыграть падение или хотя бы уменьшить убытки.

Но это в теории, а на практике все портит корреляция. Проблема в том, что стоимости акций разных компаний внутри отрасли или даже всей страны могут сильно коррелировать. Проблемы огромной корпорации провоцируют панику на рынке, снижают стоимость иных активов, на первый взгляд не связанных между собой. В 2008 году случился крах Lehman Brothers, который вызвал цепную реакцию и обвал на мировых рынках.

Поэтому при инвестировании нужно стараться выбирать направления, которые не связаны между собой (r стремится к 0).

Территориальное приближение активов друг к другу усиливает корреляцию. Значит, нужно рассматривать варианты в разных точках мира, максимально удаленных друг от друга.

В жизни этот принцип тоже действует. Если ваши навыки и знания позволяют трудиться программистом, таксистом, сантехником и журналистом – вы хорошо защищены от риска безработицы.

Памятка

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (12)

Отличная статья! Спасибо! Все доступно к пониманию.

Скажите, пожалуйста, если некий факт N напрямую обусловлен фактом М, то есть без M не было бы N вообще, то корректно ли говорить о том, что N коррелирует с M?

Спасибо за статью. Кратко, четко, ясно.

«Корреляция — это взаимозависимость СЛУЧАЙНЫХ факторов. Она отображает ПРИБЛИЖЕННУЮ взаимосвязь и не дает точных ответов»

Выше цитата для Анны, т.е. «если некий факт N напрямую обусловлен фактом М,» то ИМХО это противоречит «взаимозависимости СЛУЧАЙНЫХ факторов» и «ПРИБЛИЖЕННОЙ взаимосвязи»

Все люди должны иметь хотя бы поверхностные знания об экономике, хотя многие ошибочно полагают, что их это не касается. В том числе важно понимать взаимосвязи между факторами, чтоб эффективно вести даже маленькое домохозяйство.

Не обязательно понимать сложные формулы корреляции, чтоб знать что безработица и стагнация сказываются на жизни всех граждан страны.

Это слово я слышала всего несколько раз за всю жизнь и каждый раз приходится гуглить. Ну почему нельзя давать определение проще? Напридумывают же сложных слов, а ты голову ломай.

Статья — супер! Спасибо большое.

Благодарю за статью. Доступно и понятно. Даже для тех у кого « синдром гуманитария»

Источник

Что означает понятие корреляции простыми словами?

Все в мире взаимосвязано. Каждый человек на уровне интуиции пытается найти взаимосвязи между явлениями, чтобы иметь возможность влиять на них и управлять ними. Понятие, которое отражает эту взаимосвязь, называется корреляцией. Что она означает простыми словами?

Понятие корреляции

Корреляция (от латинского «correlatio» – соотношение, взаимосвязь) – математический термин, который означает меру статистической вероятностной зависимости между случайными величинами (переменными).

Пример: возьмем два вида взаимосвязи:

Примерами взаимосвязи между природными явлениями являются: цепочка питания в природе, организм человека, который состоит из систем органов, взаимосвязанных между собой и функционирующих как единое целое.

Каждый день мы сталкиваемся с корреляционной зависимостью в повседневной жизни: между погодой и хорошим настроением, правильной формулировкой целей и их достижением, положительным настроем и везением, ощущением счастья и финансовым благополучием. Но мы ищем связи, опираясь не на математические расчеты, а на мифы, интуицию, суеверия, досужие домыслы. Эти явления очень сложно перевести на математический язык, выразить в цифрах, измерить. Другое дело, когда мы анализируем явления, которые можно просчитать, представить в виде цифр. В таком случае мы можем определить корреляцию с помощью коэффициента корреляции (r), отражающего силу, степень, тесноту и направление корреляционной связи между случайными переменными.

Сильная корреляция между случайными величинами – свидетельство наличия некоторой статистической связи конкретно между этими явлениями, но эта связь не может переноситься на эти же явления, но для другой ситуации. Часто исследователи, получив в расчетах значительную корреляцию между двумя переменными, основываясь на простоте корреляционного анализа, делают ложные интуитивные предположения о существовании причинно-следственных взаимосвязей между признаками, забывая о том, что коэффициент корреляции носит вероятностный характер.

Пример: количество травмированных во время гололеда и число ДТП среди автотранспорта. Эти величины будут коррелировать между собой, хотя они абсолютно не взаимосвязаны между собой, а имеют только связь с общей причиной этих случайных событий – гололедицей. Если же анализ не выявил корреляционной взаимосвязи между явлениями, это еще не является свидетельством отсутствия зависимости между ними, которая может быть сложной нелинейной, не выявляющейся с помощью корреляционных расчетов.

Первым, кто ввел в научный оборот понятие корреляции, был французский палеонтолог Жорж Кювье. Он в XVIII веке вывел закон корреляции частей и органов живых организмов, благодаря которому появилась возможность восстанавливать по найденным частям тела (останкам) облик всего ископаемого существа, животного. В статистике термин корреляции впервые применил в 1886 году английский ученый Френсис Гальтон. Но он не смог вывести точную формулу для расчета коэффициента корреляции, но это сделал его студент – известнейший математик и биолог Карл Пирсон.

Виды корреляции

По значимости – высокозначимая, значимая и незначимая.

Источник

Значение слова «корреляция»

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

Математической мерой корреляции двух случайных величин служит корреляционное отношение

либо коэффициент корреляции

). В случае если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической.

Впервые в научный оборот термин корреляция ввёл французский палеонтолог Жорж Кювье в XVIII веке. Он разработал «закон корреляции» частей и органов живых существ, с помощью которого можно восстановить облик ископаемого животного, имея в распоряжении лишь часть его останков. В статистике слово «корреляция» первым стал использовать английский биолог и статистик Фрэнсис Гальтон в конце XIX века.

КОРРЕЛЯ’ЦИЯ, и, ж. [латин. correlatio] (науч.). 1. Соотношение, взаимная зависимость сопоставляемых понятий (филос.). 2. Взаимная связь явлений, находящихся в известной зависимости друг от друга. Рост безработицы и количество уголовных преступлений находятся в прямой корреляции друг к другу.

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

корреля́ция

1. матем. статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми) ◆ Высок коэффициент парной корреляции между переменными x₁ и x₃ (коэффициент корреляции 0,9), что показывает их тесную корреляционную взаимосвязь. К. М. Семенович, Б. П. Чупрынов, «Математика для экономистов: Учебное пособие», 2015 г. (цитата из библиотеки Google Книги) ◆ Если, когда увеличивается одно значение, то в большинстве случаев увеличивается и второе, корреляция положительная, а если одно значение уменьшается при увеличении второго, то тут корреляция уже отрицательная, или обратная. Пример отрицательной корреляции — график, показывающий, как соотносится температура воздуха с высотой над уровнем моря. Чем выше на гору вы забираетесь, тем холоднее воздух. М. Эскью, Р. Истуэй, «Математика с удовольствием!», 2017 г. (цитата из библиотеки Google Книги)

2. психол. взаимное соотношение, соответствие понятий и явлений ◆ Всё большее количество фактов поддерживают теорию, согласно которой существует корреляция между Я-концепцией и успеваемостью в школе. У успешных учеников более развитое чувство достоинства, и они в какой-то мере лучше относятся к себе (Garzarelli, Ever art, and Lester, 1993). Тем не менее эта связь обратима. Те, у кого высокая самооценка, лучше учатся в школе, а те, кто хорошо учится в школе, имеют более высокую самооценку… Ф. Райс, «Психология подросткового и юношеского возраста», 2010 г. (цитата из библиотеки Google Книги) ◆ Положительные, но умеренные по величине корреляции между учебными оценками и результатами тестирования не позволяли исследователям однозначно утверждать, что интеллект детерминирует успешность обучения. В. Н. Дружинин, «Психология общих способностей. 3-е изд.», 2013 г. (цитата из библиотеки Google Книги) ◆ «Корреляция» в прямом переводе означает соотношение. Если изменение одной переменной сопровождается изменением другой, то говорят о корреляции этих переменных. Наличие корреляции двух переменных не является свидетельством наличия причинно-следственных зависимостей между ними, но даёт возможность выдвинуть такую гипотезу. Отсутствие корреляции позволяет опровергнуть гипотезу о причинно-следственной связи переменных. М. Коновалова, «Экспериментальная психология: конспект лекций», 2017 г. (цитата из библиотеки Google Книги)

3. книжн. взаимная связь явлений, соотношение ◆ Корреляция между атмосферным давлением и влажностью воздуха. ◆ Количество уголовных преступлений и рост безработицы находятся друг к другу в прямой корреляции.

4. биол. взаимная согласованность функций частей и строения и животного или растения, которая поддерживает постоянство его внутренней среды и является следствием приспособления организма к условиям его существования ◆ Закон корреляции (Ж. Кювье, 1793): в организме, как целостной системе, все его части соответствуют друг другу как по строению, так и по выполняемым функциям. Р. Е. Михайловна, ‎Ш. Т. Матвеевна, ‎Ш. Л. Алексеевна, «Биология (Учебник)», 2016 г. (цитата из библиотеки Google Книги)

5. лог. отношение между двумя одинаковыми по форме связями; в случае, если одна связь становится изоморфной другой, тогда это — корреляция, а само закономерное структурное изменение – коррелятор

Источник

Корреляция

Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс

Содержание

Сущность понятия корреляция

Корреляционным называется исследование, проводимое для подтверждения или опровержения гипотезы о статистической связи между несколькими (двумя и более) переменными. В психологии переменными могут выступать психические свойства, процессы, состояния и др.

«Корреляция» в прямом переводе означает «соотношение». Если изменение одной переменной сопровождается изменением другой, то можно говорить о корреляции этих переменных. Наличие корреляции двух переменных ничего не говорит о причинно-следственных зависимостях между ними, но дает возможность выдвинуть такую гипотезу. Отсутствие же корреляции позволяет отвергнуть гипотезу опричинно-следственной связи переменных. Различают несколько интерпретаций наличия корреляционной связи между двумя измерениями:

1. Прямая корреляционная связь. Уровень одной переменной непосредственно соответствует уровню другой. Примером является закон Хика: скорость переработки информации пропорциональна логарифму от числа альтернатив. Другой пример: корреляция высокой личностной пластичности и склонности к смене социальных установок.

2. Корреляция, обусловленная третьей переменной. Две переменные (а, с) связаны одна с другой через третью (в), не измеренную в ходе исследования. По правилу транзитивности, если есть R (а, b) и R (b, с), то R (а, с). Примером подобной корреляции является установленный психологами США факт связи уровня интеллекта с уровнем доходов. Если бы такое исследование проводилось в сегодняшней Российской Федерации, то результаты были бы иными. Очевидно, все дело в структуре общества. Скорость опознания изображения при быстром предъявлении и словарный запас испытуемых также положительно коррелируют. Скрытой переменной, обусловливающей эту корреляцию, является общий интеллект.

3. Случайная корреляция, не обусловленная никакой переменной.

Корреляция рассматривается как признак, указывающий на взаимосвязь ряда числовых последовательностей. Иначе говоря, корреляция характеризует силу взаимосвязи в данных. Если это касается взаимосвязи двух числовых массивов xt и у, то такую корреляцию называют парной.

Таким образом, корреляционный анализ позволяет сделать вывод о силе взаимосвязи между парами данных х и у, а регрессионный анализ используется для прогнозирования одной переменной (у) на основании другой (х). Иными словами, в этом случае пытаются выявить причинно-следственную связь между анализируемыми совокупностями.

Аналитически функциональная зависимость представляется в следующем виде:

В случае статистической связи значению одного фактора соответствует какое-то приближенное значение исследуемого параметра, его точная величина является непредсказуемой, непрогнозируемой, поэтому получаемые показатели оказываются случайными величинами. Это значит, что изменение результативного признака у обусловлено влиянием факторного при-знака х лишь частично, т.к. возможно воздействие и иных факторов, вклад которых обозначен как s равно или меньше.

Методика корреляционного анализа используется главным образом для данных интервального уровня, но тесты существуют и для других уровней. Нахождение корреляции не подразумевает причинность. Между переменными иногда обнаруживаются фальшивые связи, поэтому нужны другие доказательства для обоснования вывода о влиянии одной переменной на другую. Нужно также помнить, что кажущаяся ассоциация способна вызываться третьим фактором, систематически воздействующим на обе переменные. Если задействованы три или более переменных, применяются методы многомерного анализа.

Корреляция и взаимосвязь величин

Качество корреляционной зависимости обратно пропорционально плотности точек (Один из постулатов Мэрфи). Исследование отдельных статистических объектов позволяет получить о них полезную информацию и описать их стандартными показателями. При этом изучаемую совокупность можно представить в виде ряда распределения путем ранжирования (в порядке возрастания или убывания анализи-руемого количественного признака), дать характеристику этой совокупности, указав центральные значения ряда (среднее арифметическое, медиана, мода), размах варьирования, форму кривой распределения. Такого рода сведения могут быть вполне достаточными в случаях, когда приходится иметь дело с одномерными данными (т.е. лишь с одной характеристикой, например, зарплатой) о каждой единице совокупности (скажем, о сотруднике фирмы).

Указанные ситуации весьма типичны в статистической практике, и в этом смысле аналитическая работа коммерсанта весьма богата такими примерами.

Зависимость одной случайной величины от значений, которые принимает другая случайная величина (физическая характеристика), в статистике называется регрессией. Если этой зависимости придан аналитический вид, то такую форму представления изображают уравнением регрессии. Процедура поиска предполагаемой зависимости между различными числовыми совокупностями обычно включает следующие этапы: становление значимости связи между ними; возможность представления этой зависимости в форме математического выражения (уравнения регрессии).

Первый этап в указанном статистическом анализе касается выявления так называемой корреляции, или корреляционной зависимости.

Корреляцию и регрессию принято рассматривать как совокупный процесс статистического исследования, поэтому их использование в статистике часто именуют корреляционно-регрессионным анализом. Если между парами совокупностей просматривается вполне очевидная связь (ранее нами это исследовалось, есть публикации на данную тему и т.д.), то, минуястадию корреляции, можно сразу приступать к поиску уравнения регрессии.

Если же исследования касаются какого-то нового процесса, ранее не изучавшегося, то наличие связи между совокупностями является предметом специального поиска. При этом условно можно выделить методы, которые позволяют оценить наличие связи качественно, и методы, дающие количественные оценки. Чтобы выявить наличие качественной корреляционной связи между двумя исследуемыми числовыми наборами экспериментальных данных, существуют различные методы, которые принято называть элементарными. Ими могут быть приемы, основанные на следующих операциях: параллельном сопоставлении рядов; построении корреляционной и групповой таблиц; графическом изображении с помощью поля корреляции.

Пусть у нас имеются n серии значений двух параметров X и Y:

Однако, если X и Y случайные величины, то между ними может существовать зависимость иного рода, называемая статистической. Дело в том, что на формирование значений случайных величин X и Y оказывают влияние различные факторы. Под воздействием этих факторов и формируются конкретные значения X и Y. Допустим, что на Х и У влияют одни те же факторы, например Z1, Z2, Z3, тогда X и Y находятся в полном соответствии друг с другом и связаны функционально. Предположим теперь, что на X воздействуют факторы Z1, Z2, Z3, а на только Y и Z1, Z2. Обе величины и X и Y являются случайными, но так как имеются общие факторы Z1 и Z2, оказывающие влияние и на X и на Y, то значения X и Y обязательно будут взаимосвязаны. И связь это уже не будет функциональной: фактор Z3, влияющий лишь на одну из случайных величин, разрушает прямую (функциональную) зависимость между значениями X и Y, принимаемыми в одном и том же испытании. Связь носит вероятностный случайный характер, в численном выражении меняясь, от испытания к испытанию, но эта связь определенно присутствует и называется статистической. При этом каждому значению X может соответствовать не одно значение Y, как при функциональной зависимости, а целое множество значений.

Определение. Зависимость случайных величин называют статистической, если изменения одной из них приводит к изменению закона распределения другой.

Определение. Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной. Сами случайные величины, связанные коррреляционной зависимостью, оказываются коррелированными.

Примерами коррреляционной зависимости являются: зависимость массы от роста:

— зависимость заболеваемости от воздействия внешних факторов, например, запыленности, уровня радиации, солнечной активности и т.д.;

— количество (X) вводимого объекту препарата и его концентрация в крови (Y);

— между показателями уровня жизни населения и процентом смертности;

— между количеством пропущенных студентами лекций и оценкой на экзамене.

Именно корреляционные зависимости наиболее часто встречаются в природе в силу взаимовлияния и тесного переплетения огромного множества самых различных факторов, определяющих значения изучаемых показателей. Корреляционную зависимость Y от X можно описать с помощью уравнения вида:

Например, на графике 1 видна тенденция роста значений Y с ростом X, при этом средние значения Y располагается визуально на прямой. Имеет смысл использовать линейную модель (вид зависимости Y от X принято называть моделью) зависимости Y от X. На графике 2 средние значения Y не зависят от x, следовательно линейная регрессия незначима (функция регрессии постоянна и равна ). На графике 3 прослеживается тенденция нелинейности модели.

Две случайные величины X и У называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что то же, коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и У называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю. Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что:

Обратное предположение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю. Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.

Пример. Двумерная случайная величина (X, Y) задана плотностью распределения:

Решение. Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и Y:

Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечетна, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно:

Итак, из коррелнрованности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин. Заметим, однако, что из некоррелированности нормально распределенных величин вытекает их независимость. Это утверждение будет доказано в следующем параграфе.

Виды корреляции

Виды корреляционной связи между измеренными переменными могут быть различны: так корреляция бывает линейной и нелинейной, положительной и отрицательной. Она линейна, если с увеличением или уменьшением одной переменной, вторая переменная также растёт, либо убывает. Она нелинейна, если при увеличении одной величины характер изменения второй не линеен, а описывается другими законами (полиномиальная, гиперболическая).

Если повышение уровня одной переменной сопровождается повышением уровня другой, то речь идет о положительной корреляции. Чем выше личностная тревожность, тем больше риск заболеть язвой желудка. Возрастание громкости звука сопровождается ощущением повышения его тона.

Если рост уровня одной переменной сопровождается снижением уровня другой, то мы имеем дело с отрицательной корреляцией. По данным Зайонца, число детей в семье отрицательно коррелирует с уровнем их интеллекта. Чем боязливей особь, тем меньше у нее шансов занять доминирующее положение в группе. Нулевой называется корреляция при отсутствии связи переменных.

Примеры распределений испытуемых в пространстве двух признаков: а) строгая положительная корреляция, б) сильная положительная корреляция, в) слабая положительная корреляция, г) нулевая корреляция, д) отрицательная корреляция, е) строгая отрицательная корреляция, ж) нелинейная корреляция, з) нелинейная корреляция.

Отрицательная и положительная корреляция

Зависимость между случайными величинами может иметь функциональный характер, т.е. быть строгим функциональным отношением, связывающим их значения. Однако при обработке экспериментальных данных гораздо чаще встречаются зависимости другого рода: статистические зависимости. Различие между двумя видами зависимостей состоит в том, что функциональная зависимость устанавливает строгую взаимосвязь между переменными, а статистическая зависимость лишь говорит о том, что распределение случайной величины Y зависит от того, какое значение принимает случайная величина X.

Примером отрицательной корреляции может быть взаимосвязь между бесполезно потраченным временем и средним баллом. Бесполезно потраченное время можно операционально определить как количество часов в неделю, потраченное на определенные занятия, например на игру в видеоигры, просмотр телесериалов или игру в гольф (конечно, эти виды! деятельности можно назвать и «терапией»). Ниже приведены гипотетические данные для других восьми студентов. На этот раз вы увидите обратную взаимосвязь между количеством часов в неделю, потраченных впустую, и средним баллом:

Примером отрицательной корреляции может быть взаимосвязь между бесполезно потраченным временем и средним баллом. Бесполезно потраченное время можно операционально определить как количество часов в неделю, потраченное на определенные занятия, например на игру в видеоигры, просмотр телесериалов или игру в гольф (конечно, эти виды! деятельности можно назвать и «терапией»). Ниже приведены гипотетические данные для других восьми студентов. На этот раз вы увидите обратную взаимосвязь между количеством часов в неделю, потраченных впустую, и средним баллом:

Линейная и нелинейная корреляция

Корреляционный анализ занимается степенью связи между двумя случайными величинами Х и Y. Корреляционный анализ экспериментальных данных для двух случайных величин заключает в себе следующие основные приемы:

— вычисление выборочных коэффициентов корреляции;

— составление корреляционной таблицы;

— проверка статистической гипотезы значимости связи.

Определение. Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(x) и ф(x) являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми; они называется прямыми регрессии.

Для достаточно полного описания особенностей корреляционной зависимости между величинами недостаточно определить форму этой зависимости и в случае линейной зависимости оценить ее силу по величине коэффициента регрессии. Например, ясно, что корреляционная зависимость возраста Y учеников средней школы от года Х их обучения в школе является, как правило, более тесной, чем аналогичная зависимость возраста студентов высшего учебного заведения от года обучения, поскольку среди студентов одного и того же года обучения в вузе обычно наблюдается больший разброс в возраcте, чем у школьников одного и того же класса.

Для оценки тесноты линейных корреляционных зависимостей между величинами Х и Y по результатам выборочных наблюдений вводится понятие выборочного коэффициента линейной корреляции, определяемого формулой:

Следует отметить, что основной смысл выборочного коэффициента линейной корреляции rB состоит в том, что он представляет собой эмпирическую (т.е. найденную по результатам наблюдений над величинами Х и Y) оценку соответствующего генерального коэффициента линейной корреляции r. Принимая во внимание формулы:

Видим, что выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид:

Основные свойства выборочного коэффициента линейной корреляции:

1. Коэффициент корреляции двух величин, не связанных линейной корреляционной зависимостью, равен нулю.

3. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, удовлетворяет неравенству 0 меньше r меньше 1.

4. Чем ближе r к 1, тем теснее прямолинейная корреляция между величинами Y, X.

Пример 4. Изучалась зависимость между двумя величинами Y и Х. Результаты наблюдений приведены в таблице в виде двумерной выборки объема 11:

1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции.

2. Оценить характер и силу корреляционной зависимости.

3. Написать уравнение линейной регрессии Y на Х.

Решение. По известным формулам:

Пример 5. Изучалась зависимость между качеством Y (%) и количеством Х (шт). Результаты наблюдений приведены в виде корреляционной таблицы:

Требуется вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции зависимости Y от Х.

Для удобства перепишем данную таблицу в новых обозначениях:

Выбрав вид функции регрессии, т.е. вид рассматриваемой модели зависимости Y от Х (или Х от У), например, линейную модель, необходимо определить конкретные значения коэффициентов модели. При различных значениях а и b можно построить бесконечное число зависимостей, т.е на координатной плоскости имеется бесконечное количество прямых, нам же необходима такая зависимость, которая соответствует наблюдаемым значениям наилучшим образом. Таким образом, задача сводится к подбору наилучших коэффициентов.

Линейную функцию ищем, исходя лишь из некоторого количества имеющихся наблюдений. Для нахождения функции с наилучшим соответствием наблюдаемым значениям используем метод наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов требуется, чтобы еi, разность между измеренными yi и вычисленными по уравнению значениям Yi, была минимальной. Следовательно, находим коэффициенты а и b так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от значений на прямой линии регрессии оказалась наименьшей:

Исследуя на экстремум эту функцию аргументов а и с помощью производных, можно доказать, что функция принимает минимальное значение, если коэффициенты а и b являются решениями системы:

Если разделить обе части нормальных уравнений на n, то получим:

При этом b называют коэффициентом регрессии; a называют свободным членом уравнения регрессии и вычисляют по формуле:

Полученная прямая является оценкой для теоретической линии регрессии. Имеем:

Регрессия может быть прямой (b больше 0) и обратной (b меньше 0). Прямая регрессия означает, что при росте одного параметра, значения другого параметра тоже увеличиваются. А обратная, что при росте одного параметра, значения другого параметра уменьшаются.

Пример 1. Результаты измерения величин X и Y даны в таблице:

Предполагая, что между X и Y существует линейная зависимость, способом наименьших квадратов определить коэффициенты a и b. Решение. Здесь n=5:

Решая эту систему, получим:

Пример 2. Имеется выборка из 10 наблюдений экономических показателей (X) и (Y).

Требуется найти выборочное уравнение регрессии Y на X. Построить выборочную линию регрессии Y на X.

Решение. 1. Проведем упорядочивание данных по значениям xi и yi. Получаем новую таблицу:

Для упрощения вычислений составим расчетную таблицу, в которую занесем необходимые численные значения.

Согласно формуле, вычисляем коэффициента регрессии:

Нанесем на координатной плоскости точки (xi; yi) и отметим прямую регрессии.

На графике видно, как располагаются наблюдаемые значения относительно линии регрессии. Для численной оценки отклонений yi от Yi, где yi наблюдаемые, а Yi определяемые регрессией значения, составим таблицу:

Значения Yi вычислены согласно уравнению регрессии. Заметное отклонение некоторых наблюдаемых значений от линии регрессии объясняется малым числом наблюдений. При исследовании степени линейной зависимости Y от X число наблюдений учитывается. Сила зависимости определяется величиной коэффициента корреляции.

Показатели и коэффициенты корреляции

Случайная величина описывается двумя числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией. Чтобы описать систему из двух случайных величин кроме «основных» характеристик используют так же корреляционный момент и коэффициент корреляции. Корреляционным моментом случайных величин X и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

Для нахождения корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

Корреляционный момент характеризует наличие (отсутствие) связи между величинами X и У. Ниже будет доказано, что корреляционный момент равен нулю, если X и У независимы; Если же корреляционный момент для случайных величин X и Y не равен нулю, то между ними имеется завимость.

Замечание 1. Приняв во внимание, что отклонения есть центрированные случайные величины, можно дать корреляционному моменту определение, как математическому ожиданию произведения двух центрированных случайных величин:

Замечание 2. Не сложно доказать, что корреляционный момент можно записать в виде:

Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и У. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины. Пусть, например, X и У были измерены в сантиметрах и mxy = 2 см2; если измерить X и У в миллиметрах, то mxy = 200 мм. Такая особенность корреляционного момента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным. Для того чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику-коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции гху случайных величин X и У называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Замечание 3. Во многих вопросах теории вероятностей целесообразно вместо случайной величины X рассматривать нормированную случайную величину X, которую определяют как отношение отклонения к среднему квадратическому отклонению:

Нормированная величина имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице. Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, имеем:

Легко убедиться, что коэффициент корреляции rху равен корреляционному моменту нормированных величин X и Y:

Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.

Доказательство: Разделим обе части полученного двойного неравенства на произведение положительных чисел:

Параметрические показатели корреляции

Теорема. Если двумерная случайная величина (X, Y) распределена нормально, то X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

Доказательство. Двумерная плотность вероятности:

Плотность вероятности составляющей X:

Найдем функцию регрессии для чего сначала найдем условный закон распределения величины Y при Х=х:

Полученное условное распределение нормально с математическим ожиданием (функцией регрессии У на X):

Аналогично можно получить функцию регрессии X на Y:

Так как обе функции регрессии линейны, то корреляция между величинами X и Y линейная, что и требовалось доказать. Принимая во внимание вероятностный смысл параметров двумерного нормального распределения, заключаем, что уравнения прямых регрессии совпадают с уравнениями прямых среднеквадратической регрессии:

Ковариация

Предполагается, что все математические ожидания Е в правой части данного выражения определены.

Случайные величины, имеющие нулевую ковариацию, называются некоррелированными. Независимые случайные величины всегда некоррелированы, но не наоборот. Обсудим достоинства и недостатки ковариации, как величины, характеризующей зависимость двух случайных величин.

1. Если ковариация отлична от нуля, то случайные величины зависимы. Чтобы судить о наличии зависимости согласно любому из определений независимости, требуется знать совместное распределение пары случайных величин. Но найти совместное распределение часто бывает сложнее, чем посчитать математическое ожидание произведения случайных величин. Если нам повезёт, и математическое ожидание произведения случайных величин не будет равняться произведению их математических ожиданий, мы скажем, что случайные величины зависимы, не находя их совместного распределения! Это очень хорошо.

Нужно как-то нормировать ковариацию, получив из неё «безразмерную» величину, абсолютное значение которой: не менялось бы при умножении случайных величин на число и свидетельствовало бы о «силе зависимости» случайных величин.

Бывают гораздо более слабые зависимости. Так, если по последовательности независимых случайных величин построить величины:

то эти величины зависимы, но очень «слабо»: через единственное общее слагаемое Е25. Сильно ли зависимы число гербов в первых двадцати пяти подбрасываниях монеты и число гербов в испытаниях с двадцать пятого по девяностое? Итак, следующая величина есть всего лишь ковариация, нормированная нужным образом.

Свойства мартиц ковариации:

Линейный коэффициент корреляции (коэффициент корреляции Пирсона)

Линейный корреляционный анализ позволяет установить прямые связи между переменными величинами по их абсолютным значениям. Формула расчета коэффициента корреляции построена таким образом, что если связь между признаками имеет линейный характер, коэффициент Пирсона точно устанавливает тесноту этой связи. Поэтому он называется также коэффициентом линейной корреляции Пирсона.

В общем виде формула для подсчета коэффициента корреляции такова:

Расчет коэффициента корреляции Пирсона предполагает, что переменные X и Y распределены нормально. Даная формула предполагает, что из каждого значения xi переменной X, должно вычитаться ее среднее значение x. Это не удобно, поэтому для расчета коэффициента корреляции используют не данную формулу, а ее аналог, получаемый с помощью преобразований:

Для решения данной задачи представим исходные данные в виде таблицы, в которой введены дополнительные столбцы, необходимые для расчета по формуле В таблице 12 даны индивидуальные значения переменных X и Y, построчные произведения переменных X и Y, квадраты переменных всех индивидуальных значений переменных X и Y, а также суммы всех вышеперечисленных величин.

Рассчитываем эмпирическую величину коэффициента корреляции по формуле:

Определяем критические значения для полученного коэффициента корреляции. Величины критических значений коэффициентов линейной корреляции Пирсона даны по абсолютной величине. Следовательно, при получении как положительного, так и отрицательного коэффициента корреляции по формуле оценка уровня значимости этого коэффициента проводится по той же таблице приложения без учета знака, а знак добавляется для дальнейшей интерпретации характера связи между переменными X и Y.

При нахождении критических значений для вычисленного коэффициента корреляции Пирсона число степеней свободы рассчитывается как

Строим соответствующую «ось значимости»:

Для применения коэффициента корреляции Пирсона, необходимо соблюдать следующие условия: сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений, распределения переменных X и Y должны быть близки к нормальному, число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.

Пример решения задачи при помощи коэффициента Пирсона. На основании наблюдений за развивающимся сайтом и изменением его средневзвешенной позиции по основным запросам в поисковой системе необходимо проверить, можно ли говорить о линейной зависимости между позицией сайта и числом посетителей. Исходные данные: X (число посетителей в сутки), Y (усредненная позиция сайта в поисковой системе). В таблице представлены значения признаков X и Y:

1. На основании исходных данных, приведенных в таблице, расчитаем средние значения для X и Y:

Все необходимые для расчета коэффициента корреляции промежуточные данные и их суммы представлены в таблице:

Оценим полученное нами эмпирическое значение коэффициента Пирсона, сравнив его с соответствующим критическим значением для заданного уровня значимости из таблицы критических значений коэффициента корреляции Пирсона. Для выборки с числом элементов m = 9 и уровнем значимости p = 0,05 критическое значение коэффициента Пирсона = 0,67, с уровнем значимости p = 0,01 критическое значение коэффициента Пирсона = 0,8. Так как абсолютное значение, полученного нами коэффициента корреляции меньше критического значения, взятого из таблицы (находится вне зоны значимости), мы принимаем гипотезу Н0 об отсутcтвии корреляционной зависимости между выборками. Полученный результат свидетельствует об отсутствии линейной зависимости между числом посетителей сайта и его позицией в поисковой системе, однако это не означает, что эти параметры не связаны между собой.

Непараметрические показатели корреляции

По существу, для каждого параметрического критерия имеется, по крайней мере, один непараметрический аналог. Эти критерии можно отнести к одной из следующих групп: критерии различия между группами (независимые выборки); критерии различия междугруппами (зависимые выборки); критерии зависимости между переменными.

Различия между независимыми группами. Обычно, когда имеются две выборки (например, мужчины и женщины), которые вы хотите сравнить относительно среднего значения некоторой изучаемой переменной, вы используете t-критерий для независимых выборок (в модуле Основные статистики и таблицы). Непараметрическими альтернативами этому критерию являются: критерий серий Вальда-Вольфовица, U критерий Манна-Уитни и двухвыборочный критерий Колмогорова-Смирнова. Если вы имеете несколько групп, то можете использовать дисперсионный анализ. Его непараметрическими аналогами являются: ранговый дисперсионный анализ Краскела-Уоллиса и медианный тест.

Различия между зависимыми группами. Если вы хотите сравнить две переменные, относящиеся к одной и той же выборке (например, математические успехи студентов в начале и в конце семестра), то обычно используется t-критерий для зависимых выборок (в модуле Основные статистики и таблицы. Альтернативными непараметрическими тестами являются: критерий знаков и критерий Вилкоксона парных сравнений. Если рассматриваемые переменные по природе своей категориальны или являются категоризованными (т.е. представлены в виде частот попавших в определенные категории), то подходящим будет критерий хи-квадрат Макнемара. Если рассматривается более двух переменных, относящихся к одной и той же выборке, то обычно используется дисперсионный анализ (ANOVA) с повторными измерениями. Альтернативным непараметрическим методом является ранговый дисперсионный анализ Фридмана или Q критерий Кохрена (последний применяется, например, если переменная измерена в номинальной шкале). Q критерий Кохрена используется также для оценки изменений частот (долей).

Зависимости между переменными. Для того, чтобы оценить зависимость (связь) между двумя переменными, обычно вычисляют коэффициент корреляции. Непараметрическими аналогами стандартного коэффициента корреляции Пирсона являются статистикиСпирмена R, тау Кендалла и коэффициент Гамма. Если две рассматриваемые переменные по природе своей категориальны, подходящими непараметрическими критериями для тестирования зависимости будут: Хи-квадрат, Фи коэффициент, точный критерий Фишера. Дополнительно доступен критерий зависимости между несколькими переменными так называемый коэффициент конкордации Кендалла. Этот тест часто используется для оценки согласованности мнений независимых экспертов (судей), в частности, баллов, выставленных одному и тому же субъекту.

Нелегко дать простой совет, касающийся использования непараметрических процедур. Каждая непараметрическая процедура в модуле имеет свои достоинства и свои недостатки. Например, двухвыборочный критерий Колмогорова-Смирнова чувствителен не только к различию в положении двух распределений, например, к различиям средних, но также чувствителен и к форме распределения. Критерий Вилкоксона парных сравнений предполагает, что можно ранжировать различия между сравниваемыми наблюдениями. Если это не так, лучше использовать критерий знаков. В общем, если результат исследования является важным (например, оказывает ли людям помощь определенная очень дорогостоящая и болезненная терапия?), то всегда целесообразно применить различные непараметрические тесты. Возможно, результаты проверки (разными тестами) будут различны. В таком случае следует попытаться понять, почему разные тесты дали разные результаты. С другой стороны, непараметрические тесты имеют меньшую статистическую мощность (менее чувствительны), чем их параметрические конкуренты, и если важно обнаружить даже слабые отклонения (например, является ли данная пищевая добавка опасной для людей), следует особенно внимательно выбирать статистику критерия.

Большие массивы данных и непараметрические методы. Непараметрические методы наиболее приемлемы, когда объем выборок мал. Если данных много (например, n больше 100), то не имеет смысла использовать непараметрические статистики. Главное здесь состоит в том, что когда выборки становятся очень большими, то выборочные средние подчиняются нормальному закону, даже если исходная переменная не является нормальной или измерена с погрешностью. Таким образом, параметрические методы, являющиеся более чувствительными (имеют большую статистическую мощность), всегда подходят для больших выборок. Большинство критериев значимости многих непараметрических статистик, описанных далее, основываются на асимптотической теории (больших выборок) поэтому соответствующие тесты часто не выполняются, если размер выборки становится слишком малым. Обратитесь к описаниям определенных критериев, чтобы узнать больше об их мощности и эффективности.

Коэффициент ранговой корреляции Кенделла

Коэффициент корреляции Кенделла вычисляется по формуле:

Для измерения степени согласия Кенделл предложил следующий коэффициент:

Таким образом, коэффициент Кенделла можно считать мерой неупорядоченности второй последовательности относительно первой.

Статистическая проверка наличия корреляции. Нулевая гипотеза Н0: Выборки x и y не коррелируют. Рассмотрим центрированную и нормированную статистику Кенделла:

Ниже приведены примеры вычисления корреляций Кенделла и Спирмена. Значения коэффициентов указаны над каждым изображением. Заметно, что в большинстве случаев коэффициент Спирмена больше коэффициента Кенделла. Объяснение этого эффекта приводится ниже.

Направление линейной зависимости.

Коэффициенты корреляции реагируют на изменение направления и зашумлённость линейной зависимости между переменными.

Наклон линейного тренда.

Коэффициенты корреляции реагируют на изменение направления, но не реагируют на изменение наклона тренда. На первом, четвёртом и седьмом рисунках дисперсия одной из переменных близка к нулю, поэтому не удаётся зафиксировать факт линейной зависимости.

Корреляции Кенделла и Спирмена не отражают меры нелинейной зависимости между переменными.

Линейная и нелинейная зависимости. На каждой из приведённых ниже иллюстраций осуществляется переход от линейной зависимости к нелинейной. Коэффициенты корреляции Кенделла и Спирмена реагируют на это одинаковым образом.

По мере смены линейной зависимости нелинейной значения коэффициентов корреляции падают. В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла может быть использован для оценки коэффициента корреляции Пирсона по формуле:

Выборкам x и y соответствуют последовательности рангов:

Проведем операцию упорядочивания рангов.

Коэффициент корреляции Кенделла и коэффициент корреляции Спирмена выражаются через ранги следующим образом:

Заметно, что в случае с коэффициентом Спирмана инверсиям придаются дополнительные веса, таким образом коэффициент Спирмана сильнее реагирует на несогласие ранжировок, чем коэффициент Кенделла. Этот эффект проявляется в приведённых выше примерах: в большинстве из них коэффициент Спирмана больше коэффициент Кенделла.

Утверждение. Если выборки x и y не коррелируют (выполняется гипотеза Н0), то величины Кенделла и Спирмена сильно закоррелированы. Коэффициент корреляции между ними можно вычислить по формуле:

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Преимущество: можно ранжировать по признакам, которые нельзя выразить численно: субъективные оценки, предпочтения и т.д. При экспертных оценках можно ранжировать оценки разных экспертов и найти их корреляции друг с другом, чтобы затем исключить из рассмотрения оценки эксперта, слабо коррелирующие с оценками других. Коэффициент корреляции рангов применяется для оценки устойчивости тенденции динамики.

Недостатки: недостатком коэффициента корреляции рангов является то, что одинаковым разностям рангов могут соответствовать совершенно отличные разности значений (в случае количественных признаков). Недоучет размеров отклонений признаков от их средних величин занижает меру тесноты связи. Поэтому для количественных признаков корреляция рангов обладает меньшей информативностью, чем коэффициент корреляции числовых значений этих признаков.

Свойства коэффициента ранговой корреляции Спирмена:

2. Ограниченность. Для оценки данных необходима выборка от 5 до 40 наблюдений по каждой переменной. При большом количестве одинаковых рангов по сопоставляемым переменным коэффициент дает приближенные значения. При совпадении значений вносится поправка на одинаковые ранги. В этом случае формула имеет вид:

3. Независимость. Чтобы получить адекватный результат, необязательно наличие нормального закона распределения коррелируемых рядов.

Коэффициент корреляции рангов используется для оценки качества связи между двумя совокупностями. Кроме этого, его статистическая значимость применяется при анализе данных на гетероскедастичность.

Повторяющиеся ранги для X и Y есть. В этом случае вводится поправка на связки в ранговых рядах. Поправка рассчитывается для каждого ряда отдельно. Поправка для каждого ряда рассчитывается с учетом всех связок в этом ряду: поправка для связок рангов в ряду X; поправка для связок рангов в ряду Y; номер связки в ряду X; количество одинаковых рангов в связке с номером j; номер связки в ряду Y; количество одинаковых рангов в связке с номером k.

Пример решения задачи с использованием коэффициента Спирмана: На основании наблюдений за развивающимся сайтом и изменением его средневзвешенной позиции по основны м запросам в поисковой системе необходимо проверить, можно ли говорить о линейная зависимость между позицией сайта и числом посетителей.

Исходные данные: X (число посетителей в сутки), Y (усредненная позиция сайта в поисковой системе). В таблице представлены значения признаков X и Y:

Проранжируем каждый из элементов признаков (X и Y) в порядке возрастания значений (самому маленькому элемнту присвоим ранг 1 и т. д. до самого большого элемента последовательности, который получит ранг m). Результаты ранжирования представлены в таблице:

Найдем сумму квадратов разностей рангов, сложив для этого элементы столбца. Подставим полученные значения в формулу, и найдем значение коэффициента Спирмена.

Оценка коэффициента корреляции Спирмена. Оценим полученное нами эмпирическое значение коэффициента Спирмена, сравнив его с соответствующим критическим значением для заданного уровня значимости из таблицы критических значений коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Для выборки с числом элементов m = 9 и уровнем значимости p = 0,05 критическое значение коэффициента Спирмена = 0,68.

Так как абсолютное значение, полученного нами коэффициента корреляции больше критического значения, взятого из таблицы, мы отклоняем гипотезу H0 об отсуттвии корреляционной зависимости между выборками и принимаем альтернативную гипотезу о статистической значимости отличия коэффициента корреляции от нуля, и наличии связи.

Оценка коэффициента корреляции Спирмена на основании t-критерия. Произведем оценку значимости полученного нами коэффициента ранговой корреляции Спирмена, используя таблицу «Стьюдента».

Так как коэффициент ранговой корреляции больше t-критерия мы отклоняем гипотезу H0 об отсуттвии корреляционной зависимости между выборками и принимаем альтернативную гипотезу о статистической значимости отличия коэффициента корреляции от нуля, и наличии отрицательной связи между числом посетителей сайта и его позицией в поисковой системе.

Заметим, что для тех же исходных данных при подсчете коэффициента корреляции Пирсона в результате было получено заключение об отсутствии связи. Такой результат можно обьяснить тем, что коэффициент корреляции Пирсона подтверждает или опровергает наличие линейной зависимости. Коэффициент рангов Спирмена подтверждает присутствие монотонно-возрастающей или убывающей зависимости (не обязательно линейной). В нашем случае зависимость нелинейная, но монотонно-убывающая.

Коэффициент корреляции знаков Фехнера

Расчет коэффициента Фехнера состоит из следующих этапов:

1. Определяют средние значения для каждого признака (X и Y).

2. Определяют знаки отклонения (-,+) от среднего значения каждого из признаков.

3. Если знаки совпадают, присваивают значение А, иначе В.

4. Считают количество А и В, вычисляя коэффициент Фехнера по формуле:

Найдем индексы Фехнера для примера.

Коэффициент множественной ранговой корреляции (конкордации)

До сих пор рассматривались модели простой корреляции, т.е. корреляционной зависимости между двумя признаками Однако в практике экономического анализа часто приходится изучать явления, которые складываются под влиянием не одного, а многих различных факторов, каждый из которых в отдельности может не производить решающего влияния Совокупный же влияние факторов иногда оказывается достаточно сильным, чтобы по их изменениях можно было делать виснет овкы о величинах показателя изучаемого явления Методы измерения корреляционной связи одновременно между двумя, тремя и более корреляционными признакам создают учение о множественной корреляции.

В моделях множественной корреляции зависимая переменная рассматривается как функция нескольких (в общем случае п) независимых переменных. Множественное корреляционное уравнение устанавливает связь между исследуемыми признаками и позволяет вычислить ожидаемые значения результативного признака под влиянием включенных в анализ признаков-факторов, связанных да аниме уравнением.

Для оценки степени тесноты связи между результативным и факторными признаками вычисляют коэффициент множественной корреляции Величина его всегда положительное число, которое находится в пределах от 0 до 1. В множественных корреляционно-регрессионных моделях коэффициент простой корреляции между результативным признаком и факторными, а также между самими факторными признаками.

Методы корреляции произведения моментов Пирсона и линейного регрессионного анализа Гальтона были обобщены и расширены в 1897 г. Джорджем Эдни Юлом до модели множественной линейной регрессии, предполагающей использование многомерного нормального распределения. Методы множественной корреляции позволяют оценить связь между множеством непрерывных независимых переменных и одной зависимой непрерывной переменной. Коэффициент множественной корреляции обозначается через R0. Его вычисление требует решения совместной системы линейных уравнений. Число линейных уравнений равно числу независимых переменных.

Иногда необходимо исключить эффект третьей переменной, с тем чтобы определить «чистую» связь между любой парой переменных. Частный (парциальный) коэффициент корреляции выражает связь между двумя переменными при исключенном (элиминированном) влиянии еще одной или несколко других переменных. В простейшем случае частный коэффициент корреляции вычисляется как функция парных корреляций (произведений моментов) между Y, X1 и Х2.

При небходимости можно воспользоваться услугами группы из m-экспертов, установить результирующие ранги целей, но тогда возникнет вопрос о согласованности мнений этих экспертов или конкордации. Пусть у нас имеются ранжировки 4 экспертов по отношению к 6 факторам, которые определяют эффективность некоторой системы.

Заметим, что полная сумма рангов составляет 84, что дает в среднем по 14 на фактор. Для общего случая n факторов и m экспертов среднее значение суммы рангов для любого фактора определится выражением.

Теперь можно оценить степень согласованности мнений экспертов по отношению к шести факторам. Для каждого из факторов наблюдается отклонение суммы рангов, указанных экспертами, от среднего значения такой суммы. Поскольку сумма этих отклонений всегда равна нулю, для их усреднения разумно использовать квадраты значений.

В нашем случае сумма таких квадратов составит S= 64, а в общем случае эта сумма будет наибольшей только при полном совпадении мнений всех экспертов по отношению ко всем факторам:

М. Кэндэллом предложен показатель согласованности или коэффициент конкордации, определяемый как:

В нашем примере значение коэффициента конкордации составляет около 0,229, что при четырех экспертах и шести факторах достаточно, чтобы с вероятностью не более 0.05 считать мнения экспертов несогласованными. Дело в том, что как раз случайность ранжировок, их некоррелированность просчитывается достаточно просто. Так для нашего примера указанная вероятность соответствует сумме квадратов отклонений S = 143,3, что намного больше 64.

Здесь обычно используются элементарные приемы нормирования. Если цель 3 имеет ранг 1, цель 8 имеет ранг 2 и т. д., а сумма рангов составляет 55, то весовой коэффициент для цели 3 будет наибольшим и сумма весов всех 10 целей составит 1. Вес цели придется определять как:

Имеющийся опыт свидетельствует о возможностях существенно повысить представительность, обоснованность и, главное, достоверность суждений экспертов. В качестве “побочного эффекта” можно составить мнение о профессиональности каждого эксперта.

Свойства коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции р для генеральной совокупности, как правило, неизвестен, поэтому он оценивается по экспериментальным данным, представляющим собой выборку объема n пар значений (Xi, Yi), полученную при совместном измерении двух признаков Х и Y. Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции). Его принято обозначать символом r.

1. Коэффициенты корреляции способны характеризовать только линейные связи, т.е. такие, которые выражаются уравнением линейной функции. При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками следует использовать другие показатели связи.

3. При независимом варьировании признаков, когда связь между ними отсутствует.

4. При положительной, или прямой, связи, когда с увеличением значений одного признака возрастают значения другого, коэффициент корреляции приобретает положительный (+) знак и находится в пределах от 0 до +1.

5. При отрицательной, или обратной, связи, когда с увеличением значений одного признака соответственно уменьшаются значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным (–) знаком и находится в пределах от 0 до –1.

7. Только по величине коэффициентов корреляции нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Этот параметр зависит от числа степеней свободы. Чем больше n, тем выше достоверность связи при одном и том же значении коэффициента корреляции.

В практической деятельности, когда число коррелируемых пар признаков Х и Y невелико, то при оценке зависимости между показателями используется следующую градацию:

Корреляционный анализ

Одна из наиболее распространенных задач статистического исследования состоит в изучении связи между выборками. Обычно связь между выборками носит не функциональный, а вероятностный (или стохастический) характер. В этом случае нет строгой, однозначной зависимости между величинами. При изучении стохастических зависимостей различают корреляцию и регрессию.Корреляционный анализ состоит в определении степени связи между двумя случайными величинами X и Y. В качестве меры такой связи используется коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции оценивается по выборке объема п связанных пар наблюдений (xi, yi) из совместной генеральной совокупности X и Y. Существует несколько типов коэффициентов корреляции, применение которых зависит от измерения (способа шкалирования) величин X и Y.

Направление изменения зависимой переменной определяется знаком коэффициента корреляции. Если значение коэффициента положительно, то зависимая переменная изменится в том же направлении, что и независимая; если же его значение отрицательно, то зависимая переменная будет двигаться в направлении, противоположном изменению независимой.

Корреляционный анализ имеет два основных назначения: определение прогностических возможностей индикаторов и характера взаимосвязи двух финансовых инструментов.

В случае сравнения индикатора и цены бумаги высокий положительный коэффициент корреляции (скажем, больше +0,70) означает, что за изменением индикатора должно последовать соответствующее изменение цены. Высокая отрицательная корреляция (напр., меньше 0,70) говорит о том, что изменение индикатора обычно вызывает изменение цены в противоположном направлении. Низкий (т.е. близкий к нулю) коэффициент корреляции означает слабую взаимосвязь цены и индикатора.

Корреляционный анализ также используется для измерения взаимосвязи двух финансовых инструментов. Нередко один из них «опережает» другой, позволяя предсказать его будущую динамику. Так, коэффициент корреляции между ценой на золото и курсом доллара говорит о сильной отрицательной зависимости. Это означает, что рост курса доллара обычно предвещает падение цен на золото.

Следующий график иллюстрирует взаимосвязь цен на кукурузу и живых свиней. Высокие значения коэффициента корреляции показывают, что эта взаимосвязь сильна (исключая короткие периоды в феврале и мае): если цены на кукурузу изменяются, цены на свиней движутся в том же направлении.

Корреляционная связь не предполагает причинной зависимости между переменными. Корреляционный анализ может использоваться для определения тесноты и направления связи и в причинных моделях. Инструментами корреляционного анализа являются разнообразные меры связи. Выбор мер (коэффициентов) связи зависит от способов измерения переменных и характера связи между ними.

Для номинальных переменных, за исключением дихотомических, понятия прямой и обратной связи не определены, связь между ними рассматривается как ненаправленная.

Отдельную методологическую проблему представляет так называемая «ложная корреляционная зависимость», проявляющаяся в корреляционной связи (иногда достаточно сильной) между переменными, которые заведомо не могут взаимно обусловливать друг друга. Причиной обычно является наличие некого неучтенного в анализе фактора, который влияет на каждую из исследуемых переменных. Например,корреляция сорта губной помады с политическими убеждениями женщины объясняется ее общественным положением и уровнем благосостояния. Ложные корреляции, так же, как вызывающие их факторы, могут быть выявлены только в результате глубокого теоретического анализа структуры связей между переменными. Для их устранения применяется аппарат коэффициентов частной корреляции.

Ограничения корреляционного анализа

Вторым условием закономерного проявления корреляционной связи служит условие, обеспечивающее надежное выражение закономерности в средней величине. Кроме уже указанного большого числа единиц совокупности для этого необходима достаточная качественная однородность совокупности. Нарушение этого условия можег извратить параметры корреляции. Например, в массе зерновых хозяйств уровень продукции с гектара растет по мере концентрации площадей, т.е. он выше в крупных хозяйствах. В массе овощных и овоще-молочных хозяйств (пригородный тип) наблюдается та же прямая связь уровня продукции с размером хозяйства. Но если соединить в общую неоднородную совокупность те и другие хозяйства, то связь уровня продукции с размером площади пашни (или посевной площади) получится обратной. Причина в том, что овощные и овоще-молочные хозяйства, имея меньшую площадь, чем зерновые, производят больше продукции с гектара ввиду большей интенсивности производства в данных отраслях, чем в производстве зерна.

Иногда как условие корреляционного анализа выдвигают необходимость подчинения распределения совокупности по результативному и факторным признакам нормальному закону распределения вероятностей. Это условие связано с применением метода наименьших квадратов при расчете параметров корреляции: только при нормальном распределении метод наименьших квадратов дает оценку параметров, отвечающую принципам максимального правдоподобия. На практике эта. предпосылка чаще всего выполняется приближенно, но и тогда метод наименьших квадратов дает неплохие результаты.

Однако при значительном отклонении распределений признаков от нормального закона нельзя оценивать надежность выборочного коэффициента корреляции, используя параметры нормального распределения вероятностей или распределения Стьюдента.

Еще одним спорным вопросом является допустимость применения корреляционного анализа к функционально связанным признакам. Можно ли, например, построить уравнение корреляционной зависимости размеров выручки от продажи картофеля, от объема продажи и цены? Ведь произведение объема продажи и цены равно выручке в каждом отдельном случае. Как правило, к таким жестко детерминированным связям применяют только индексный метод анализа. Однако на этот вопрос можно взглянуть и с другой точки зрения. При индексном анализе выручки предполагается, что количество проданного картофеля и его цена независимы друг от друга, потому-то и допустима абстракция от изменения одного фактора при измерении влияния другого, как это принято в индексном методе. В реальности количество и цена не являются вполне независимыми друг от друга.

Корреляционно-регрессионный анализ учитывает межфакторные связи, следовательно, дает нам более полное измерение роли каждого фактора: прямое, непосредственное его влияние на результативный признак; косвенное влияние фактора через его влияние на другие факторы; влияние всех факторов на результативный признак. Если связь между факторами несущественна, индексным анализом можно ограничиться. В противном случае его полезно дополнить корреляционно-регрессионным измерением влияния факторов, даже если они функционально связаны с результативным признаком.

Ограничения корреляционного анализа:

1. Применение возможно при наличии достаточного количества наблюдений для изучения. На практике считается, что число наблюдений должно быть не менее, чем в 5-6 раз превышать число факторов (также встречается рекомендация использовать пропорцию не менее, чем в 10 раз превышающую количество факторов). В случае, если число наблюдений превышает количество факторов в десятки раз, в действие вступает закон больших чисел, который обеспечивает взаимопогашение случайных колебаний.

2. Необходимо, чтобы совокупность значений всех факторных и результативного признаков подчинялась многомерному нормальному распределению. В случае, если объём совокупности недостаточен для проведения формального тестирования на нормальность распределения, то закон распределения определяется визуально на основе корреляционного поля. Если в расположении точек на этом поле наблюдается линейная тенденция, то можно предположить, что совокупность исходных данных подчиняется нормальному закону распределения.

3. Исходная совокупность значений должна быть качественно однородной.

4. Сам по себе факт корреляционной зависимости не даёт основания утверждать, что одна из переменных предшествует или является причиной изменений, или то, что переменные вообще причинно связаны между собой, а не наблюдается действие третьего фактора.

Задачи корреляционного анализа

В соответствии с сущностью корреляционной связи ее изучение имеет две цели: измерение параметров уравнения, выражающего связь средних значений зависимой переменной со значениями независимой переменной (зависимость средних величин результативного признака от значений одного или нескольких факторных признаков); измерение тесноты связи двух (или большего числа) признаков между собой.

Вторая задача специфична для статистических связей, а первая разработана для функциональных связей и является общей. Основным методом решения задачи нахождения параметров уравнения связи является метод наименьших квадратов (МНК), разработанный К. Ф. Гауссом (1777-1855). Он состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактически измеренных значений зависимой переменной у от ее значений, вычисленных по уравнению связи с факторным признаком (многими признаками) х.

Формула применяется при расчете показателя тесноты связи по аналитической группировке. При вычислении корреляционного отношения по уравнению связи (уравнению парной или множественной регрессии) применяется формула:

Если уравнение выбрано неверно или сделана ошибка при расчете его параметров, то сумма квадратов в числителе может оказаться большей, чем в знаменателе, и отношение утратит тот смысл, который оно должно иметь, а именно какова доля общей вариации результативного признака, объясняемая на основе выбранного уравнения связи его с факторным признаком (признаками). Чтобы избежать ошибочного результата, лучше вычислять корреляционное отношение по другой формуле, не столь наглядно выявляющей сущность показателя, но зато полностью гарантирующей от возможного искажения:

В числителе формулы стоит сумма квадратов отклонений фактических значений признака у от его индивидуальных расчетных значений, т. е. доля вариации этого признака, не объясняемая за счет входящих в уравнение связи признаков-факторов. Эта сумма не может стать равной нулю, если связь не является функциональной. При неверной формуле уравнения связи или ошибке в расчетах возрастают расхождения фактических и расчетных значений, и корреляционное отношение снижается, как логически и должно быть.

В основе перехода от формулы к формуле лежит известное правило разложения сумм квадратов отклонений при группировке совокупности:

При расчете n не по группировке, а по уравнению корреляционной связи (уравнению регрессии) мы используем формулу. В этом случае правило разложения суммы квадратов отклонений результативного признака записывается как:

Важнейшее положение, которое следует теперь усвоить любому, желающему правильно применять метод корреляционно-регрессионного анализа, состоит в интерпретации формул. Это положение гласит: Уравнение корреляционной связи измеряет зависимость между вариацией результативного признака и вариацией факторного признака (признаков). Меры тесноты связи измеряют долю вариации результативного признака, которая связана корреляционно с вариацией факторного признака (признаков).

Интерпретировать корреляционные показатели строго следует лишь в терминах вариации (различий в пространстве) отклонений от средней величины. Если же задача исследования состоит в измерении связи не между вариацией двух признаков в совокупности, а между изменениями признаков объекта во времени, то метод корреляционно-регрессионного анализа требует значительного изменения.

Итак, строго говоря, метод корреляционно-регрессионного анализа не может объяснить роли факторных признаков в создании результативного признака. Это очень серьезное ограничение метода, о котором не следует забывать.

Однако коренное отличие метода корреляционно-регрессионного анализа от аналитической группировки состоит в том, что корреляционно-регрессионный анализ позволяет разделить влияние комплекса факторных признаков, анализировать различные стороны сложной системы взаимосвязей. Если метод комбинированной аналитической группировки, как правило, не дает возможность анализировать более 3 факторов, то корреляционный метод при объеме совокупности около ста единиц позволяет вести анализ системы с 8-10 факторами и разделить их влияние.

Наконец, развивающиеся на базе корреляционно-регрессионного анализа многомерные методы (метод главных компонент, факторный анализ) позволяют синтезировать влияние признаков (первичных факторов), выделяя из них непосредственно не учитываемые глубинные факторы (компоненты). Например, изучая корреляцию ряда признаков интенсификации сельскохозяйственного производства, таких, как фондообеспеченность, издержки труда на единицу площади, энергообеспеченность, внесение удобрений на единицу площади, плотность поголовья скота, можно синтезировать общую часть их влияния на уровень продукции с единицы площади или на эффективность труда, получив обобщенный фактор «интенсификация производства», непосредственно не измеримый, не отражаемый единым показателем.

Правильное применение и интерпретация результатов корреляционно-регрессионного анализа возможны лишь при понимании всех специфических черт, достоинств и ограничений метода. Поэтому нужно рекомендовать вернуться к данному разделу заново после изучения остальных разделов данной главы и после приобретения некоторой практики применения метода к решению различных задач.

Необходимо сказать и о других задачах применения корреляционно-регрессионного метода, имеющих не формально математический, а содержательный характер:

1. Задача выделения важнейших факторов, влияющих на результативный признак (т.е. на вариацию его значений в совокупности). Эта задача решается в основном на базе мер тесноты связи факторов с результативным признаком.

2. Задача оценки хозяйственной деятельности по эффективности использования имеющихся факторов производства. Эта задача решается путем расчета для каждой единицы совокупности тех величин результативного признака, которые были бы получены при средней по совокупности эффективности использования факторов и сравнения их с фактическими результатами производства.

3. Задача прогнозирования возможных значений результативного признака при задаваемых значениях факторных признаков. Такая задача решается путем подстановки ожидаемых, или планируемых, или возможных значений факторных признаков в уравнение связи и вычисления ожидаемых значений результативного признака.

Приходится решать и обратную задачу: вычисление необходимых значений факторных признаков для обеспечения планового или желаемого значения результативного признака в среднем по совокупности. Эта задача обычно не имеет единственного решения в рамках данного метода и должна дополняться постановкой и решением оптимизационной задачи на нахождение наилучшего из возможных вариантов ее решения (например, варианта, позволяющего достичь требуемого результата с минимальными затратами).

Область применения корреляционного анализа

Данный метод обработки статистических данных весьма популярен в экономике и социальных науках (в частности в психологии и социологии), хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна: контроль качества промышленной продукции, металловедение, агрохимия, гидробиология, биометрия и прочие. В различных прикладных отраслях приняты разные границы интервалов для оценки тесноты и значимости связи. Популярность метода обусловлена двумя моментами: коэффициенты корреляции относительно просты в подсчете, их применение не требует специальной математической подготовки. В сочетании с простотой интерпретации, простота применения коэффициента привела к его широкому распространению в сфере анализа статистических данных.

Корреляционно-регрессионной моделью системы взаимосвязанных признаков является такое уравнение регрессии, которое включает основные факторы, влияющие на вариацию результативного признака, обладает высоким (не ниже 0,5) коэффициентом детерминации и коэффициентами регрессии, интерпретируемыми, в соответствии с теоретическим знанием о природе связей в изучаемой системе.

Теория и практика выработали ряд рекомендаций для построения корреляционно-регрессионной модели:

1. Признаки-факторы должны находиться в причинной связи с результативным признаком (следствием). Поэтому, недопустимо, например, в модель исходной стоимости у вводить в качестве одного из факторов хj коэффициент рентабельности, хотя включение такого «фактора» значительно повышает коэффициент детерминации.

2. Признаки-факторы не должны быть составными частями результативного признака или его функциями, о чем уже сказано ранее.

3. Признаки-факторы не должны дублировать друг друга, т. е. быть коллинеарными (с коэффициентом корреляции более 0,8). Так, не следует в модель эффективности труда включать и энерговооруженность рабочих, и их фондовооруженность, так как эти факторы тесно связаны друг с другом в большинстве объектов.

4. Не следует включать в модель факторы разных уровней иерархии, т. е. фактор ближайшего порядка и его субфакторы. Например, в моделях начальной стоимости зерна не следует включать и урожайность зерновых культур, и дозу удобрений под них или расхода на обработку гектара, показатели качества семян, плодородия почвы, т. е. субфакторы самой урожайности.

6. Математическая форма уравнения регрессии должна соответствовать логике связи факторов с результатом в реальном объекте. Например, такие факторы урожайности, как дозы разных удобрений, уровень плодородия, число прополок и т. п., создают прибавки величины урожайности, мало зависящие друг от друга; урожайность может существовать и без любого из этих факторов. Такому характеру связей отвечает аддетивное уравнение регрессии.

7. Принцип простоты: предпочтительнее модель с меньшим числом факторов при том же коэффициенте детерминации или даже при несущественно меньшем коэффициенте. Для анализа степени эффективности управления производством можно использовать сравнение единиц совокупности по показателям отклонений результативного признака от средней величины и от значения, расчитанного по уравнению регрессии.

Рассмотрим пример расчета и анализа отклонений по ранее построенной модели уровня валового дохода в 16 хозяйствах. Знаки тех и других отклонений 8 раз совпадают и 8 раз не совпадают. Коэффициент корреляции рангов отклонений двух видов составил 0,156. Это означает, что связь вариации факторообеспеченности с вариацией фактороотдачи слабая, несущественная.

Обратим внимание на хозяйство 15 с высокой факторообеспеченностью (15-е место) и самой худшей фактороотдачей (1-й ранг), из-за которой хозяйство недополучило по 122 руб. Дохода с 1 га. Напротив, хозяйство 5 имеет факторообеспеченность ниже средней, но благодаря более эффективному использованию факторов получило на 125 руб. Дохода с 1 га больше, чем было бы получено при средней по совокупности эффективности факторов. Более высокая эффективность фактора х1 (расхода труда) может означать более высокую квалификацию работников, лучшую заинтересованность работников в качестве выполняемой работы. Более высокая эффективность фактора х3 с точки зрения доходности может состоять в высоком качестве молока (жирности, охлажденности), ввиду которого оно реализовано по более высоким ценам. Коэффициент регрессии при х2, как уже отмечено, экономически не обоснован.

Использование регрессионной модели для прогнозирования состоит в подстановке в уравнение регрессии ожидаемых значений факторных признаков для расчета точечного прогноза результативного признака или (и) его доверительного интервала с заданной вероятностью. Сформулированные там же ограничения прогнозирования по уравнению регрессии сохраняют свое значение и для многофакторных моделей. Кроме того, необходимо соблюдать системность между подставляемыми в модель значениями факторных признаков.

Формулы для расчета средних ошибок оценки положения гиперплоскости регрессии в заданной многомерной точке и для индивидуальной величины результативного признака весьма сложны, требуют применения матричной алгебры и здесь не рассматриваются. Средняя ошибка оценки значения результативного признака, рассчитанная по программе ПЭВМ «Microstat», равна 79,2 руб. на 1 га. Это лишь среднее квадратическое отклонение фактических значений дохода от расчетных по уравнению, не учитывающее ошибки положения самой гиперплоскости регрессии при экстраполяции значений факторных признаков. Поэтому ограничимся точечными прогнозами в нескольких вариантах.

Для сравнения прогнозов с базисным уровнем средних по совокупности значений признаков введена первая строка таблицы. Краткосрочный прогноз рассчитан на малые изменения факторов за короткое время и снижение трудообеспеченности.

Практическое применение корреляции

Основные поводыри для Американского фондового рынка следующие (в порядке убывания силы глобального влияния):

Теперь вопрос: почему акции так одинаково ходят и кто за всем этим стоит? Да все, особенно скальперы, роботы-скальперы, люди-скальперы. Роботы-арбитражеры в первую очередь, а также алгоритмы, котирующие акцию (читай маркетмейеры). Ведь иначе невозможно было бы такую массу акций заставить двигаться более менее одинаково, речь, понятно, внутри дня. Потому что, если мы взглянем на большие таймфреймы, то выясниться, что многие сектора живут своей отдельной жизнью. Вот например, график месячный, с 2000 года:

Действующие лица те же. В общем есть некое понимание, что графики похожи, но одни сильнее рынка в целом, а другие слабее, в абсолютном выражении, при расчете на начало года. Это все глобально, на год, а вот на месяц:

Стиль торговли таким образом называется «арбитраж», торгуется, как правило, минимум два инструмента, причем часто в разные стороны, но можно торговать один, рассматривая другие инструменты, как поводырей. Стиль сегодня очень роботизирован, но и для «мануальных скальперов» еще есть место.

Теперь, как определить «главного» в секторе/индустрии. Те, кто первый в столбце, те и рулят, как правило. НО. В случае, если нет глобальных новостей по сектору или если нет отчетов у разных акций из этого сектора. Т.е. их главенство имеет место быть в самый скучный понедельник, а не в день статистики, газовых запасов, безработицы да еще с отчетом старших акций.

Корреляция валютных пар на Форексе

Как читать таблицу корреляции: Каждая ячейка таблицы показывает коэффициент корреляции, между двумя валютными парами, за соответствующий период времени. Следующие категории указывают на быстрый способ интерпретации значения таблицы. Обратите внимание, что отрицательная корреляция означает, что две пары валют коррелируют в противоположных направлениях (например, когда цена на одной идет вверх, другая идет вниз и наоборот):

— 0,0 до 0,2 Очень слабая корреляция и не значительная;

— 0,2 до 0,4 Слабая, низкая корреляция, не очень значительная;

— 0,4 до 0,7 Умеренная корреляция;

— 0,7 до 0,9 Сильнае, высокая корреляция;

— 0,9 до 1,0 Очень сильная корреляция.

Валютные пары положительной корреляции:

— EUR / USD и англиский Фунт стерлингов / USD;

— EUR / USD и доллар Новозеландии / USD;

— Англиский Фунт стерлингов / USD и доллар Новой Зеландии / USD;

— Австралийский доллар / USD и англиский Фунт стерлингов / USD;

— Австралийский доллар / USD и EUR / USD.

Валютные пары отрицательной корреляции:

— EUR / USD и USD /CHF;

— Англиский Фунт стерлингов / USD и USD / JPY;

— Англиский Фунт стерлингов / USD и USD / CHF;

— Австралийский доллар / USD и USD / доллар Канады;

— Австралийский доллар / USD и USD / JPY.

При положительной корреляции, на одной валютной паре открываем ордер на покупку, а на второй на продажу, таким образом мы можем фиксировать прибыль, когда общая прибыль выше убыточной, но в любом случае будет прибыль. Например знаем, что EUR/USD и USD / CHF движутся в противоположном направлении, соответственно по индикаторам находим максимальные отклонения на обоих валютных парах, и входим в рынок, но лучше использовать индикаторы корреляции, некоторые из которых есть на нашем сайте в разделе индикаторов.

Торговля в положительной корреляции ещё называют хежированием риска одной валютной паре с другой. Например, трейдер открыл длинные позиции по валютным парам положительной корреляции в одно время. Так как валютные пары движутся в противоположных направлениях, одна из валютных пар делает некоторые убытки, другая пара пойдет в прибыль, и со временем общая прибыль будет значительно больше убыточного ордера.

Торговля по отрицательной корреляции, позволяет работать в профита сразу на обоих валютных парах, но есть и недостаток, не всегда в момент входа в рынок, мы можем получить прибыль, бывает и так, что при входе в рынок, обе валютные пары нам могут делать убытки, таким образом риск торговли с отрицательной корреляцией, значительно выше торговли с положительной корреляцией. Нет точных инструментов, которые могут показать начало отрицательной корреляции, и это может удвоить убытки, потому что убытки будут сразу на двух валютных парах. Не всегда корреляция бывает отрицательной, бывают дни, когда валютные пары движутся в одном направлении. Вывод: Лучше в торговле использовать положительную корреляцию.

Корреляция валют

Если неудобно использовать десятичные дроби, то можно выражать корреляцию в процентах, умножив число в таблице на 100 (в нашем случае корреляция между EUR/USD и новозеландский доллар /USD равна 94%). Высокая корреляция означает, что курсы валютных пар изменяются более или менее синхронно. Низкая корреляция говорит о том, что курсы изменяются по-разному.

Следовательно, высокая корреляция между EUR/USD и NZD / USD указывает на то, что инвестиции и в эти пары приводят к удвоению позиций. Кроме того, не надо открывать длинную позицию по одной паре и короткую по другой, поскольку рост курса первой пары может спровоцировать рост курса второй. В конечном счете, сумма ваших прибылей и убытков не будет равняться нулю, потому что курсы обеих пар в пунктах отличаются. Однако они движутся настолько одинаково, что открытие противоположных позиций может привести к уменьшению профита или даже к убыткам.

Мы представляем в данной статье исследование величины корреляции между движениями различных валют на январь. Как уже многие обратили внимание, корреляции между различными валютными парами изменяются через какое-то время, поэтому чрезвычайно важно регулярно следовать изменениям в корреляции. В представляемый обзор мы включили 3 месячные и 1-летние корреляции, чтобы трейдеры могли лучше почувствовать исторические тенденции и добавили 6-месячные скользящие корреляции в качестве дальнейшего подтверждения результатов корреляции.

Изменения, подобно этим, можно частично объяснить изменениями монетарной политики или изменениями внутренних условий. Для Великобритании, ожидания изменения монетарной политики в сторону возможности снижения ставок подтолкнули трейдеров к закрытию длинных позиций по GBPUSD, усиливая движения валютной пары и приводя к нарушению ее корреляции с EURUSD.

Независимо от вашей торговой стратегии и вашего намерения диверсифицировать свои позиции или найти дополнительные валютные пары для торговли, очень важно иметь в виду корреляцию между различными валютными парами и тенденции их изменения. Трейдеру, работающему на валютный рынок, необходимо быть уверенным в характеристиках валютного рынка. Без знания основных тенденций той или иной валютной пары, трейдеры подвергают себя неоправданному риску. Один из самых мощных инструментов для анализа рынка, которым может вооружиться трейдер на форексе, это историческая корреляция между валютными парами. Понимание закономерностей корреляции позволяет трейдерами не только хеджировать позиции, но и может подсказать момент для открытия сделки.

Microsoft Excel позволяет анализировать корреляцию между двумя валютными парами простым щелчком мыши. Сложность анализа заключается по большей степени в получении данных, а не в их обработке. Если вы имеете доступ к историческим данным, вы можете просто скопировать и вставить их в соответствующую колонку Microsoft Excel. Цены закрытия можно использовать как для дневных, так и для внутредневных диапазонов, главное, чтобы выбранный диапазон совпадал для обеих валютных пар.

После того, как вы разделили данные по двум отдельным колонкам, убедитесь, что программа готова к статистическому анализу. Для этого необходимо зайти в меню Tools и нажать на опцию Data Analysis в выпадающем меню. Если вы не видите Data Analysis, необходимо загрузить пакет для анализа данных, выбрав Add-Ins в том же самом меню. После этого кликните по Analysis Toolpak и следуйте инструкциям.

Теперь выделенные данные готовы для корреляции. Кликнув по меню Tools, выберете в выпадающем меню опцию Data Analysis. Выберете ее. Перед вами появится окно, в который необходимо ввести «входной диапазон». Другими словами, вам надоответить, какие данные будут учитываться в анализе. Убедитесь в том, что вы выбрали колонки, а не ряды групп данных. Кликните мышью и протяните ее по данным, которые будут подвергаться анализу, после чего нажмите OK. Результатом будет таблица, в которой будет определен коэффициент корреляции между двумя валютными парами.

Согласно теории ценообразования на капитальные активы (САРМ), премия за риск по активу зависит от параметра «бета» (степени изменчивости актива по отношению к рынку), который, в свою очередь, зависит от перемещений этого актива вместе с портфелем. Чтобы установить премию за риск по тому или иному классу активов, надо оценить, до какой степени взаимосвязаны эти параметры. Такой оценкой является коэффициент корреляции. Это статистическая мера степени корреляции между двумя временными рядами показателей, например ценами на акции в США и Мексике. Коэффициент корреляции принимает значение от минус единицы, что отражает полную отрицательную зависимость, до плюс единицы, что означает, что эти ряды абсолютно положительно зависимы. Нулевая корреляция означает, что ценовые вариации в двух странах абсолютно не связаны. Чем меньше коэффициент корреляции, тем значительнее выгоды от диверсификации. Временные ряды цен акций в различных странах в общем положительно коррелируются, но коэффициент корреляции обычно значительно ниже единицы.

В связи с тем что фондовый рынок США представляет собой значительную часть мирового рынка, коэффициент корреляции американского рынка с мировым сравнительно высокий. Это действительно так, хотя на протяжении ряда лет этот показатель, судя по всему, понижался по мере того, как большее значение приобретали рынки других стран. А это означает, что дальнейшее расширение мирового инвестиционного рынка будет способствовать увеличению эффекта от диверсификации.

Растущая интеграция экономических систем и рынков не означает, что движения активов на разных рынках стали похожими. Из этой интеграции вытекает только то, что потоки капитала встречают сейчас на своем пути меньше препятствий. Многие замечали, что при росте одной валютной пары, другая стремительно падает, и, причем, помимо краткосрочного движения зеркально отражает движение этой пары.

Нулевое же значение сигнализирует об отсутствии закономерности движения между валютными парами. Корреляцию определить легко. Существует так называемый вариант «на глаз» путем наложения графика друг на друга. Этот прием больше является субъективным, и часто может приводить к ошибочным действиям. Например, если я покупаю валютную пару EUR / JPY. То фактически я совершаю операции с парами: EUR/USD и USD JPY (рис.1). Но это элементарный пример, объясняющий, что все валюты существуют парами.

Правило расчета корреляции: выбрать необходимые для анализа валютные пары, определить необходимый период для анализа, создайте две колонки для каждой пары, заполните их, под одной из колонок напишите функцию корреляции CORREL, выделите анализируемый временной диапазон через запятую, должна получить формула типа: КОРРЕЛ или CORREL (A1:А50, В1:В50), число, которое получиться, и есть долгожданная корреляция.

Корреляция индексов фондового рынка

Все в мире взаимосвязано в той или иной степени. И на рынке акций есть подобная взаимосвязь различных индексов и показателей, которая называется корреляция. Изучение характера взаимного влияния различных факторов друг на друга и на движение рынка ценных бумаг помогает лучше понимать происходящие процессы и более эффективно управлять портфелем ценных бумаг.

Корреляционный анализ применяется для изучения и прогнозирования движений рынка акций. Внутренняя корреляция индексов позволяет отслеживать моменты, наиболее благоприятные для применения дисперсионных стратегий опционной торговли. С его помощью мы имеем возможность, например, сопоставить динамику изменения биржевых индексов различных отраслей и стран, установить наличие связи между значениями индексов и происходящими в экономике процессами, с определенной долей вероятности предположить величину и направление изменения цен. Стоит заметить, что для более достоверного отражения связи между переменными величинами как объектом выборки расчетных данных, так и период времени, за который делается выборка, должны быть достаточно велики.

Оценивая корреляцию между ведущими биржевыми индексами экономически развитых стран, можно сделать вывод о том, что эти индексы объективно отражают не только процессы, происходящие на уровне национальных экономик, но и на уровне мирового масштаба. Из этого, в свою очередь, можно заключить, что рынок акций все более глобализуется и, фактически, представляет собой единое торговое пространство. Общие экономические процессы и представляют собой причину сходной динамики национальных индексов.

Российский рынок акций на современном этапе его развития стоит отнести к развивающимся рынкам. Экономика Российской Федерации не имеет достаточно сильной интеграции со странами Еврозоны, Америки, Азии. Положительная корреляция российских биржевых индексов с индексами развитых стран существует, в основном, в периоды относительной стабильности. Сохраняется положительная корреляция и в периоды кризисов.

Можно заметить, что между российскими и зарубежными индексами сейчас существует достаточно сильная взаимосвязь на небольших временных промежутках. С началом торговой сессии на европейских и американских биржах можно четко проследить такую зависимость, сравнивая графики интересующих нас инструментов. Однако временами, на крупных тайм-фреймах, отмечается отрицательная взаимосвязь.

Отрицательная корреляция характерна, в первую очередь, для периодов выхода из кризиса. Всемирная экономика сейчас переживает процесс медленного восстановления. Экономика развитых стран оздоравливается как за счет внутренних ресурсов, так и благодаря развивающимся рынкам, что, вероятно, и является причиной отрицательной корреляции. Кроме этого можно отметить взаимосвязь между национальными индексами и мировыми ценами на нефть, золото и курсами ключевых валют.

Корреляция цен товаров и валют

Более слабая, но все еще значимая корреляция обнаруживается между золотом и валютой Швейцарии. Политический нейтралитет страны и то, что ее валюта на 40% реально обеспечивается золотом, сделали франк валютой выбора во времена политической нестабильности. С декабря 2002 г. по сентябрь 2005 г. Доллар США-Швейцарский Франк и золото показали 85%-ную положительную корреляцию. Однако эти взаимоотношения несколько нарушились в сентябре 2005 г., когда американский доллар немного разошелся с золотом.

Лучший способ использовать товарные цены в торговле состоит в том, чтобы всегда держать в поле зрения движения на нефтяном или золотом рынке, наблюдая, как реагирует на эти движения рынок валют. Из-за несколько отсроченного воздействия этих движений на валютный рынок Forex могут возникать возможности прибыльных сделок.

Корреляция цен на продовольственные товары и энергоносители

В связи с засухой, которая наблюдалась с начала 2012г., цены на пшеницу, кукурузу и сою на мировом рынке взлетели к настоящему моменту на 30, 25 и 42%. Эти зерновые традиционно являются кормовыми культурами. Засуха сказывается на состоянии сельскохозяйственных угодий в США, где половина пастбищ находится в очень плохом или неудовлетворительном состоянии, в связи с чем потребность в закупках зерна растет.

Стоит отметить, что рост цен на кукурузу стимулирует еще и тот факт, что в Америке ее все чаще используют в качестве сырья для получения биотоплива, так что значительная часть зерна идет на производство этанола для нужд автомобильной индустрии.

Эксперты HSBС уверены, что именно по этой причине цены на пищевые продукты и энергоносители стали характеризоваться значительно более сильной корреляцией, чем в прошлом. В результате напряженность на Ближнем Востоке в совокупности с низким урожаем способна подтолкнуть вверх цены не только на нефть, но и на продовольственные товары. После снижения до 90 долл./барр. в июне 2012г. Цены на «черное золото» к настоящему моменту укрепились почти на 30%. Специалисты напоминают, что в 2008 и 2010гг. давление на сырьевые товары хотя и временно, но смогло ослабнуть.

В 2010г. Цены на нефть всего за семь месяцев упали на 35 долл./барр. с уровня 145 долл./барр. Отчасти это позволило смягчить картину, не дав дополнительного импульса к скачку котировок на сельскохозяйственные культуры, передает ИА «Казах-Зерно».

Стоит отметить, что ООН в попытках сдержать рост цен на продовольствие призывает правительство США немедленно приостановить государственный мандат на производство этанола. Однако это очень деликатный вопрос, и с учетом приближения выборов президента США, которые состоятся в октябре, неясно, будет ли он решен. Если действие мандата все-таки будет приостановлено, можно будет увидеть снижение цен на продукты питания, которое, однако, будет сопровождаться резким скачком стоимости черного золота.

На графике отслеживается динамика золота и серебра за последние 13 лет, а на нижней панели дан коэффициент корреляции цен на оба металла, который на этой неделе вырос до 0,93 по итогам наблюдений за 120-дневный период. Это максимальный уровень как минимум с 1950 года.

Золото и серебро обвалились до минимумов почти за три года, после того как глава Федеральной резервной системы Соединенных штатов Бен Бернэйнк на прошлой неделе обнародовал потенциальный сценарий выхода США из программы стимулирования, благодаря которой золото достигало пика 12-летнего ралли. Сюй из bank of China сказал, что эти два металла могут вернуться к более естественной корреляции на уровне примерно 0,6, как только станет понятно, какой следующий шаг предпримет Бернанке. Как только всемирная экономика окрепнет, а спрос на промышленные товары повысится, серебро, которое широко используется в таких отраслях, как электроника и производство солнечных батарей, окажется в выигрышном положении, написали в обзоре от 24 июня Analysti UBS AG Эдель Талли и Джони Тевес. Серебро, с начала года демонстрирующее худшую динамику среди сырьевых товаров в индексе Standard & Poor’s GSCI, подешевело на 38 процентов, а котировки золота опустились на 27 процентов. Согласно среднему значению цен за последнюю неделю, золото дороже серебра в 65 раз.

Корреляция между ценой на золото и размером процентных ставок

Корреляция между индексом РТС, индексом S&P500 и ценами на нефть

Наиболее важной для всех трейдеров российского фондовой биржи является корреляция между российским рынком, индексом S&P500 и ценами на нефть. Есть полуавтоматические системы (одну из них видел собственными глазами), когда наши трейдеры интуитивно покупают или продают контракты на индекс РТС, глядя только за движением цен на нефть и фьючерсным контрактом S&P500.

На самом деле, фундаментально фондовые биржи являются прежде всего отражением рынка процентных ставок (рынков облигаций). Процентные ставки определяют, в каком направлении текут финансовые потоки. Все в финансовом мире зависит от рынка процентных ставок: и валюты (через дифференциалы процентных ставок) и рынки commodities (биржевых товаров) и фондовые рынки. В этом финансовом мире все взаимосвязано.

Американский рынок процентных ставок (облигаций) самый крупный в мире и поэтому он оказывает наибольшее влияние на то, что происходит на других финансовых рынках. Однако эта взаимосвязь очень сложная, и ее трудно отслеживать. Гораздо проще отслеживать другие взаимодействия, более четкие и явные. Российский рынок в «грубом приближении» можно считать деривативом от фьючерсного контракта (индекса) S&P500 и цен на нефть.

Впрочем не одни мы такие. Практически любой рынок акций в мире тесно связан с американским рынком акций и реагирует прежде всего на то, что происходит там. И здесь помимо фундаментальных причин взаимодействия рынков капитала оказывает сильное влияние также широкое распространение средств автоматической торговли. Это проявляется особенно отчетливо на микроуровне (тики). Каждое тиковое движение индекса S&P500 вверх или вниз тут же отзывается соответствующим изменением индексов FTSE, DAX, ММВБ, Bovespa. Подобная корреляция существует повсеместно и является основой для принятия трейдерами решений.

А как же это проявляется на графиках?

Далее идут несколько графиков, которые показывают, как взаимодействуют между собой индекс S&P500, индекс РТС и цены на нефть. На этих графиках показано изменение S&P500, индекса РТС и цен на нефть в процентах с заданного на графике момента отсчета.

На рисунке выделена ситуация в марте месяце, когда индекс РТС пошел за черным золотом, а не за индексом S&P500. Это был период обострения ситуации в Северной Африке и на Среднем Востоке. Повышение цен на нефть негативно отразилось на американском фондовом рынке, но в то же время привело к ралли на российском рынке акций. Обратите внимание еще на один факт: разворот на российском фондовом рынке почти всегда происходит чуть раньше, чем это делают цены на нефть. На следующем графике показаны те же корреляции с момента выступления Бена Бернэйнк в Джексонхолле, где он объявил о предстоящей программе QE2.

Как мы видим, почти до Нового года S&P500, индекс РТС и нефть двигались практически синхронно. В январе – феврале случилась сезонная коррекция в черного золота, но российский рынок продолжал расти вместе с Америкой, осваивая деньги, которые обычно выделяют инвестиционным фондам в начале года. Следующий график показывает те же корреляции с момента пика американского фондового рынка в 2007 году. Впечатляющее параболическое ралли в черного золота все-таки несильно смогло утащить за собой российский рынок акций.

Обращает внимание на этом графике стабильность спрэда между ценами на нефть и индексом РТС. Следующий график показывает нам корреляции с января 2004 года. Инвестирование в американский фондовый рынок за этот период не принесло никакой профита.

И наконец самый впечатляющий график из этой серии: с начала 2000 года.

Как мы видим, в то время как нефть и индекс РТС выдали очень сильный рост за этот период, 450% и 1500% соответственно, американский фондовый рынок за это время практически не покидал отрицательную зону. Несомненно, есть и другие факторы, которые оказывают влияние на российский фондовый рынок. Например, курс рубля. Укрепление курса рубля приводит к притоку денег на российский рынок. Увеличение ставки дополнительного вложения капитала приводит к росту рубля и соответственно способствует росту российского рынка ( обычно оно заранее отыгрывается инсайдерами).

Когда доллар дешевеет относительно рубля, то, если считать, что цены на активы в рублях остаются неизменны, следовательно они должны дорожать относительно доллара и других валют. Возможно, зависимость российского рынка от цен на нефть выражает взаимосвязь рынка с изменением курса национальной валюты с каким-нибудь коррелирующим коэффициентом. Поэтому хотя здесь тоже есть определенная корреляция, заниматься выявлением взаимодействия индекса РТС с курсом рубля или какой-то другой валюты нет смысла.

Вкратце: можно сделать следующие выводы: взаимодействие российского рынка акций с индексом S&P500 отражает глобальный рыночный сентимент по отношению к рынкам акций в целом; взаимодействие с ценами на нефть отражает как традиционное преобладание в российских индексах акций нефтегазового сектора, так и большую часть взаимосвязи с изменением курсов валют.

Существуют и другие корреляции, которые необходимо учитывать при инвестировании в российский рынок акций: например взаимодействие российского рынка с притоком/оттоком иностранного капитала.

Корреляция ценных бумаг

Между доходностями ценных бумаг может наблюдаться функциональная зависимость. Это означает, что существует строгое правило, которое связывает значения их доходностей. Наиболее простой является линейная зависимость.

На финансовом рынке зависимость между доходностями ценных бумаг часто бывает не функциональной, т. е. не жесткой. В этом случае одному значению доходности одной бумаги могут соответствовать разные значения доходности другой бумаги. Таким образом, не наблюдается строгого закона, который бы связывал значения их доходностей. Зависимость подобного рода называют стохастической или вероятностной, или статистической. Это означает, что при изменении доходности одной бумаги можно говорить лишь о том, какие значения доходности может принять другая бумага и с какой вероятностью. Такое положение вещей объясняется существованием большого количества факторов, влияющих на доходности конкретных активов и тем, что все их сложно учесть.

При формировании портфеля степень взаимосвязи между доходностями двух ценных бумаг можно определить с помощью таких показателей как ковариация и коэффициент корреляции.

Ковариация говорит о степени зависимости двух случайных величин. Она может принимать положительные, отрицательные значения и равняться нулю. Если ковариация положительна, это говорит о том, что при изменении значения одной переменной другая имеет тенденцию изменяться в том же направлении. Так, при положительной ковариации доходностей двух бумаг с ростом доходности первой бумаги доходность второй также будет расти. При падении доходности первой бумаги доходность второй также будет снижаться.

При отрицательной ковариации переменные имеют тенденцию изменяться в противоположных направлениях. В таком случае рост доходности первой бумаги будет сопровождаться падением доходности второй бумаги, и наоборот. Чем больше значение ковариации, тем сильнее зависимость между переменными. Если ковариация равна нулю, никакой зависимости между переменными не наблюдается.

Корреляция инвестиций

Составление диверсификации инвестиционного портфеля из активов с некоррелированными результатами уменьшает риск, поскольку в то время, как прибыль на один актив падает, на другой она, вероятно, растет. При попытке строить диверсифицированный инвестиционный портфель из активов с ярко выраженной отрицательной корреляцией мы можем получить неожиданный и очень полезный для нас эффект. Суммарная доходность инвестиционного портфеля может оказаться выше доходности отдельных активов, а соответственно риск может оказаться ниже, чем риск того и другого активов.

Корреляции между акциями и краткосрочными облигациями и казначейскими векселями тоже близки к нулю и даже несколько отрицательные.

Отдельно США, Канада, Япония и Великобритания, отдельно Европа, Азиатский регион и Тихоокеанский регион: корреляция между близко лежащими регионами достаточно высокая. Между Азией и Тихоокеанским регионом корреляция около 0.92. Между Канадой и США также достаточно высокая корреляция. А вот чем дальше друг от друга отстоят регионы, тем ниже между ними корреляция. Даже у Японии с Англией или Японии с Канадой и США корреляция меньше чем 0.5. Важно! При желании уменьшить риск инвестиционного портфеля мы можем включать в него акции из разных частей света.

Корреляция между индексом ММВБ, двумя ПИФами УК «Тройка Диалог», золотом, серебром, долларом, евро и московской недвижимым имуществом: корреляция между индексом акций и фондом акций, конечно, высокая. Корреляция между акциями и облигациями где то на уровне 0.5. Между ценными бумагами и золотом корреляция близка к нулю (даже немного отрицательная). Корреляция между золотом и серебром высокая. Поэтому пытаться включать в свой инвестиционный портфель и золото и серебро особого смысла не имеет.

Корреляция между долларом и евро и между акциями и облигациями опять же нулевая или даже отрицательная. Корреляция между жильем и индексом ММВБ в Российской Федерации даже отрицательная (на уровне минус 0.17-0.18). Что, кстати, довольно не типично по мировым меркам.

Выводы: Без правильной диверсификации активов с учетом их взаимной корреляции невозможно сформировать эффективный инвестиционный портфель, который позволит Вам приумножить Ваш капитал или, во всяком, случае сохранить его.

Корреляция курса доллара и цены на нефть и обратная пропорциональность

Фундаментальные факторы являются основой торговли на валютном рынке, они позволяют установить взаимосвязь валютных курсов с теми или иными событиями. В этой статье пойдет речь о корреляции такого показателя как цена на нефть с курсом доллара Соединенных Штатов. Экономика Америки является одной из самых энергозависимых экономик мира. Соединенные Штаты Америки потребляют просто огромное количество нефтепродуктов, поэтому повышение цены на сырую нефть просто не может не сказаться на курсе национальной валюты.

Причина подобной связи лежит довольно глубоко, но изменения происходят буквально сразу, так как рынок склонен реагировать еще до фундаментальных изменений на основании психологических факторов. При рассмотрении влияния цены на нефть на курс доллара складывается довольно не однозначная ситуация ведь США являются одним из самых крупных производителей нефти, в тоже время выступают самым крупным приобретателем данного вида сырья.

По статистическим данным экономике Америки не хватает собственных запасов нефтепродуктов для обеспечения потребностей всего производства, при этом часть добытой черного золота внутри страны идет на экспорт. По этой причине Америка вынуждена ежегодно закупать около 9 миллиардов баррелей черного золота, что существенно отображается на увеличении стоимости американских товаров как внутри страны, так и на внешних рынках.

А увеличение стоимости товаров, как известно всегда ведет к негативным последствиям для национальной валюты. Кроме этого негативное влияние на курс американского доллара так же оказывает то, что для закупки черного золота компаниям приходится покупать другие иностранные валюты, так как экспортеры не всегда согласны на расчеты в долларах Соединенных Штатов. К примеру, ряд арабских стран не так давно полностью перешли в расчетах за нефть на евро. В результате этих двух факторов видим следующую картину, цена на нефть повышается, в результате увеличивается предложение доллара Соединенных Штатов Америки на валютном рынке Forex, в результате его курс идет вниз.

В то же время, при падение цены на нефть, наблюдается обратная ситуация, доллар Соединенных Штатов Америки начинает активно расти по отношению к таким валютам как евро, канадский доллар и некоторым другим валютам. Данную зависимость можно довольно удачно использовать в игре на валютной бирже forex, для торговли самым оптимальным выбором будет пара Доллар США-Канадский доллар, так как именно по этому инструменту будут наблюдаться наибольшая волатильность. При возможности можно использовать и такую валютную пару как USD/RUR, она будет реагировать аналогично предыдущему инструменту.

Корреляция курса рубля и цены на нефть

О войне в Сирии говорят все, кто торгует черным золотом. Чёрное золото марки Brent очень долго находилась в диапазоне 100-110 долларов за баррель. Но на вероятности свержения американцами еще одного правительства фьючерс на нефть быстро поднялся до 117 долларов. Потом была логичная коррекция, и сейчас Brent торгуется около 115 долларов.

Здесь несколько причин. Во-первых, бюджет, который зависит от цен на нефть и курса доллара к рублю. Этому бюджету чем выше курс доллара и цены на нефть, тем лучше. Во-вторых, не только нефтяники хотят видеть более слабый рубль. Отчетности многих экспортеров “просят” более выгодный для них курс. В-третьих, отток капитала никуда не девался. Отток идет и идет большой. В-четвертых, в курс доллара были еще заложены ожидания по покупке Банк России валюты для Минфина. В-пятых, доллар сейчас растет по отношению ко всем “слабым” валютам типа рубля (бразильскому риалу или индийской рупии).

Зависимость бюджета Российской Федерации от сырьевого экспортирования стала уже притчей во языцах. Федеральный бюджет на 45 процентов наполняется поступлениями от продажи черного золота и нефтепродуктов. Примерно половина добытой в Российской Федерации черного золота (246 млн. тонн) отправляется за границу, а вторая половина перерабатывается на Российских НПЗ. Расчеты по черного золота с импортерами проводятся в долларах. В результате, валютные поступления от продажи черного золота и определяют курс рубля относительно доллара. Чем больше цена черного золота, тем больше долларовых поступлений, тем больше на международный валютный рынок Forex поступает долларов, тем крепче рубль. И наоборот.

Степень соответствия стоимости рубля к цене черного золота можно охарактеризовать коэффициентом корреляции, устанавливающим статистическую взаимосвязь этих величин. Коэффициент корреляции (обычно используется коэффициент Пирсона) может принимать значения от минус единицы до единицы. Для независимых между собой процессов (величин) коэффициент корреляции принимает значение, близкое к нулю. И, наоборот, для функционально зависимых друг от друга процессов этот коэффициент приближается к единице или минус единице, в зависимости от сонаправленного или встречного характера движения исследуемых величин.

В нашем случае коэффициент корреляции, рассчитанный на периоде в один год (с 01 февраля 2009 года до 01 февраля 2010 года) составляет значение равное по модулю 0,935. Это очень высокая степень соответствия стоимости рубля и цены на нефть: с точки зрения математической статистики, функциональная связь существует. Построим простейшую математическую модель поведения курса рубля относительно доллара, предполагающую линейную зависимость одного от другого. Зеленая линия на графике отображает моделированное поведение курса рубля.

Модель позволяет провести оценку будущего курса рубля, например, при цене барреля 90 долларов, курс рубля может подняться до 27 руб/долл., а при цене барреля 50 долларов может опуститься до 35 руб/долл. Следует признать, конкретная модель не учитывает множество факторов, в том числе, как уже показано, и вмешательство центральный банк, но, тем не менее наглядно иллюстрирует общий принцип.

Возникает вопрос, как долго сохранится жесткая связь «баррель-рубль»? Ответ: до тех пор, пока не изменится структура российского экспортирования или расчетной валютой по нефтяным контрактам останется доллар.

Корреляция цен на нефть и ВВП России

В последнее время в связи с падением цен на нефть заговорили о возможных проблемах с исполнением бюджета страны. И меня заинтересовал вопрос, насколько тесно коррелируют цены на нефть с макроэкономическими показателями отечественной экономики!?

Корреляция цен на нефть и размера ВВП Российской Федерации меня просто поразила. Подсчитав коэффициент корреляции, я понял, что означает выражение «на нефтяной игле». Если 97% динамики ВВП Российской Федерации связано с ценой на нефть, то, что остается на другие факторы!? Играют ли они, хоть какую-то роль!?

Не подумайте, что столь высокая корреляция характерна для всех макроэкономических показателей. Так курс доллара показывает всего 50%-ную корреляцию со стоимостью черного золота. То есть, только половина изменений курса доллара может быть объяснена мировой конъюнктурой нефтяного рынка.

ВВП США также демонстрирует весьма умеренную корреляцию с ценами на нефть. Хотя и в США взаимосвязь также весьма тесная.

Корреляция в психологии

Таким образом, испытуемые имели иллюзорные представления о том, что слово «бекон» теснее связано со словом «яйца», а слово «лев» со словом «тигр», чем другие слова друг с другом. Напомню, что на самом деле каждая из 12 пар слов предъявлялась равное количество раз.

Итак, при иллюзорной корреляции человек, как говорится, путает Божий дар с яичницей: видит связь там, где ее на самом деле нет.

Иллюзорная корреляция и проективные тесты. Исследовал Лорен Чепман (вместе со своей женой Джин Чепман) и роль иллюзорных корреляций в определении характера человека с помощью так называемых проективных тестов. Исследовались такие проективные тесты как «рисунок человека» и «тест Роршаха».

При этом супругов Чепман интересовал вопрос о том, почему психологи продолжают пользоваться проективными тестами, хотя в научных исследованиях многократно показывалась их несостоятельность (bankruptcy) как психодиагностического инструмента, т.е. отсутствие связи между предлагаемыми разработчиками этих тестов ключами и интерпретациями с психологическими характеристиками тестируемых индивидов. Чепманы предположили, что подобная настойчивость в использовании не валидных тестов обусловлена явлением иллюзорной корреляции, которому подвержены психологи (как и все люди).

Прежде чем перейти к описанию собственно экспериментов необходимо сказать несколько слов о проективных тестах.

И Чепманы экспериментально показали что такого рода иллюзорным корреляциям при интерпретации упомянутыхпроективных тестов подвержены и профессиональные психологи, и не имеющие никакого отношения к психологии люди.

Схема эксперимента была несколько похожа на схему эксперимента по выявлению иллюзорных корреляций, который мы рассмотрели выше. Испытуемым предложили рисунки человека, выполненные как пациентами психиатрической клиники, так и здоровыми людьми, и соответствующие психологические характеристики. Например, к рисунку человека с большой головой прилагалась характеристика «обеспокоен уровнем своего интеллекта». При этом, обратите внимание (!), одни и те же психологические характеристики прилагались к разным рисункам. Например, характеристика «относится к людям с недоверием и подозрением» прилагалась как к рисункам с выраженным акцентом на глазах, так и к рисункам, не имеющим каких либо особенностей изображения глаз. Причем таких сочетаний было, как и в уже рассмотренном эксперименте, одинаковое количество.

Испытуемых попросили установить связь между особенностями рисунков и психологическими характеристиками авторов этих рисунков. И как читатель, должно быть, уже догадался, испытуемые продемонстрировали иллюзорную корреляцию: например, утверждали, что такая черта характера как подозрительность сочетается именно с выраженным акцентом на глазах. Более того: такая же картина наблюдалась и в следующей серии экспериметов, в которой эти две характеристики (выраженные глаза и подозрительность) вообще не встречались вместе!

Похожим образом проводился и эксперимент с пятнами Роршаха. К пятнам прилагались интерпретации, сформулированные лицами, прошедшими психодиагностику, и психологические характеристики этих людей. Например, интерпретация «задний проход» равное количество раз совпадала с каждым из следующих четырех психологических характеристик: он проявляет сексуальное влечение к другим мужчинам; он полагает, что окружающие сговорились вокруг него; он испытывает грусть и депрессию в течение длительного времени; он испытывает сильное чувство собственной неполноценности.

Как и в предыдущем эксперименте испытуемые вновь продемонстрировали явление иллюзорной корреляции, увязавинтерпретацию «задний проход» с психологической характеристикой «он проявляет сексуальное влечение к другим мужчинам».

Иллюзорная корреляция в нашей жизни. Конечно, иллюзорные корреляции искажают наше с Вами восприятие не только в лабораториях. Например, именно явление иллюзорной корреляции во многом определяет формирование стереотипов по отношению к тем или иным народам или социальным слоям.

Корреляция в повседневной жизни

Усиление интереса в психологической науке к потенциалу корреляционного анализа обусловлено целым рядомпричин. Во-первых, становится допустимым изучение широкого круга переменных, экспериментальная проверка которых затруднена или невозможна. Ведь по этическим соображениям, к примеру, нельзя провести экспериментальные исследования самоубийств, наркомании, деструктивных родительских воздействий, влияния авторитарных сект. Во-вторых, возможно получение за короткое время ценных обобщений данных о больших количествах исследуемых лиц. В-третьих, известно, что многие феномены изменяют свою специфику во время строгих лабораторных экспериментов. А корреляционный анализ предоставляет исследователю возможность оперировать информацией, полученной в условиях, максимально приближенных к реальным. В-четвертых, осуществление статистического изучения динамики той или иной зависимости нередко создает предпосылки к достоверному прогнозированию психологических процессов и явлений.

Однако следует иметь в виду, что применение корреляционного метода связано и с весьма существенными принципиальными ограничениями.

Так, известно, что переменные вполне могут коррелировать и при отсутствии причинно-следственной связи между собой.

Это иногда возможно в силу действия случайных причин, при неоднородности выборки, из-за неадекватности исследовательского инструментария поставленным задачам. Такая ложная корреляция способна стать, скажем, «доказательством» того, что женщины дисциплинированнее мужчин, подростки из неполных семей более склонны к правонарушениям, экстраверты агрессивнее интровертов и т. п.

Необходимо запомнить: наличие корреляций не является показателем выраженности и направленности причинно-следственных отношений.

Другими словами, установив корреляцию переменных мы можем судить не о детерминантах и производных, а лишьо том, насколько тесно взаимосвязаны изменения переменных и каким образом одна из них реагирует на динамику другой.

Не со всеми проблемами можно справиться экспериментальным методом. Существует множество ситуаций, когда исследователь не может контролировать, какие испытуемые попадают в те или иные условия. Например, если надо проверить гипотезу, что люди с анорексией более чувствительны к изменениям вкуса, чем люди с нормальным весом, то не можем же мы собрать группу испытуемых с нормальным весом и потребовать, чтобы у половины из них появилась анорексия! На самом деле нам придется отобрать людей, уже страдающих анорексией, и тех, у кого вес в норме, и проверить, различаются ли они также по вкусовой чувствительности. Вообще говоря, можно использовать метод корреляций, чтобы определить связана ли некоторая переменная, которую мы не можем контролировать, с другой интересующей нас переменной, или, иначе говоря, коррелируют ли они между собой.

Наконец, обратимся к графику на рисунке. Здесь отображена доля ошибок пациентов в тесте на распознавание лиц в зависимости от их роста. Разумеется, нет оснований считать, что доля узнанных лиц связана с ростом пациента, и график подтверждает это. При движении слева направо точки не проявляют согласованного движения ни вниз, ни вверх, а разбросаны вокруг горизонтальной линии. Корреляция равна нулю.

По мере усиления связи двух переменных r увеличивается от 0 до 1. Чтобы лучше это представить, рассмотрим несколько известных положительных коэффициентов корреляции: коэффициент корреляции между баллами, полученными в первый год обучения в колледже, и баллами, полученными на втором году, составляет около 0,75, корреляция между показателями геста на интеллект в возрасте 7 лет и при повторном тестировании в 18 лет составляет примерно 0,70, корреляция между ростом одного из родителей и ростом ребенка во взрослом возрасте, составляет около 0,50, корреляция между результатами теста на способность к обучению, полученными в школе и в колледже, равна примерно 0,40, корреляция между баллами, полученными индивидуумами в бланковых тестах, и суждением психолога-эксперта об их личностных качествах составляет около 0,25.

В психологических исследованиях коэффициент корреляции 0,60 и выше считается достаточно высоким. Корреляция в диапазоне от 0,20 до 0,60 имеет практическую и теоретическую ценность и полезна при выдвижении предсказаний. К корреляции от 0 до 0,20 следует относиться осторожно, при выдвижении предсказаний ее польза минимальна.

Источники и ссылки

Источник