Котангенс это отношение чего к чему

Тригонометрия. Понятие тригонометрической величины (тангенс и котангенс).

Значение каждой тригонометрической величины изменяется с изменением угла, которому она соответствует, т.е. тригонометрическая величина это функция угла.

Линией тангенса (ADl, AD2 и т.д.) является отрезок касательной, проведенной через конец А первого диаметра, от точки касания до пересечения с продолжением подвижного радиуса (OMl, ОМ2 и. т.д.).

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Линией котангенса (BEl, ВЕ2 и т.д.) является отрезок касательной, проведенной через конец В второго диаметра, от точки касания В до пересечения с продолжением подвижного радиуса (OM1, OM2 и т.д.).

Тангенс угла (tgх) – это отношение линии тангенса, взятого с соответствующим знаком, к радиусу.

Котангенс угла (сtgх) — отношение линии котангенса, взятого с соответствующим знаком, к радиусу.

Знаки тангенса и котангенса для различных четвертей указаны на рисунке ниже:

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Секанс (secx) и косеканс (cosecx) проще всего определить как обратные величины косинуса и синуса.

Существуют законы, которые связывают все тригонометрические функции между собой, т. е позволяют их выражать одну через любую другую.

Источник

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Угол поворота

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Синус (sin) угла поворота

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Основные функции тригонометрии

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Источник

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Источник

Основное тригонометрическое тождество

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Образовался прямоугольный треугольник OA1B.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему
Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему
Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

tg 2 α + 1 = Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

1 + ctg 2 α = Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:
Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Подставляем значения sin α:

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Источник

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть фото Котангенс это отношение чего к чему. Смотреть картинку Котангенс это отношение чего к чему. Картинка про Котангенс это отношение чего к чему. Фото Котангенс это отношение чего к чему

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *