Критерий фишера что показывает

F-тест качества спецификации множественной регрессионной модели

Цель этой статьи — рассказать о роли степеней свободы в статистическом анализе, вывести формулу F-теста для отбора модели при множественной регрессии.

1. Роль степеней свободы (degree of freedom) в статистике

Имея выборочную совокупность, мы можем лишь оценивать числовые характеристики совокупности, параметры выбранной модели. Так не имеет смысла говорить о среднеквадратическом отклонении при наличии лишь одного наблюдения. Представим линейную регрессионную модель в виде:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Сколько нужно наблюдений, чтобы построить линейную регрессионную модель? В случае двух наблюдений можем получить идеальную модель (рис.1), однако есть в этом недостаток. Причина в том, что сумма квадратов ошибки (MSE) равна нулю и не можем оценить оценить неопределенность коэффициентов Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает. Например не можем построить доверительный интервал для коэффициента наклона по формуле:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

А значит не можем сказать ничего о целесообразности использования коэффициента Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показываетв данной регрессионной модели. Необходимо по крайней мере 3 точки. А что же, если все три точки могут поместиться на одну линию? Такое может быть. Но при большом количестве наблюдений маловероятна идеальная линейная зависимость между зависимой и независимыми переменными (рис. 1).

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Мы не знаем среднее генеральной совокупности, поэтому оцениваем его средним значением по выборке. Это стоит нам одну степень свободы.

Представим теперь что имеется 4 выборочных совокупностей (рис.3).

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показываетРисунок 3

Каждая выборочная совокупность имеет свое среднее значение, определяемое по формуле Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает. И каждое выборочное среднее может быть оценено Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает. Для оценки мы используем 2 параметра Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает, а значит теряем 2 степени свободы (нужно знать 2 точки). То есть количество степеней свобод Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показываетЗаметим, что при 2 наблюдениях получаем 0 степеней свободы, а значит не можем оценить коэффициенты модели и стандартные ошибки.

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

В общем случае количество степеней свободы для линейной регрессии рассчитывается по формуле:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

2. Анализ дисперсии, F-тест

При выполнении основных предположений линейной регрессии имеет место формула:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

где Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает,

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает,

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

В случае, если имеем модель по формуле (1), то из предыдущего раздела знаем, что количество степеней свободы у SSTO равно n-1. Количество степеней свободы у SSE равно n-2. Таким образом количество степеней свободы у SSR равно 1. Только в таком случае получаем равенство Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает.

Масштабируем SSE и SSR с учетом их степеней свободы:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показываетКритерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Получены хи-квадрат распределения. F-статистика вычисляется по формуле:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Формула (9) используется при проверке нулевой гипотезы Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показываетпри альтернативной гипотезе Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показываетв случае линейной регрессионной модели вида (1).

3. Выбор линейной регрессионной модели

Известно, что с увеличением количества предикторов (независимых переменных в регрессионной модели) исправленный коэффициент детерминации увеличивается. Однако с ростом количества используемых предикторов растет стоимость модели (под стоимостью подразумевается количество данных которые нужно собрать). Однако возникает вопрос: “Какие предикторы разумно использовать в регрессионной модели?”. Критерий Фишера или по-другому F-тест позволяет ответить на данный вопрос.

Определим “полную” модель: Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает(10)

Определим “укороченную” модель: Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает(11)

Вычисляем сумму квадратов ошибок для каждой модели:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает(12)

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает(13)

Определяем количество степеней свобод Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает(14)

Коэффициент детерминации из формулы (6):

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Из формулы (15) выразим SSE(F):

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

SSTO одинаково как для “укороченной”, так и для “длинной” модели. Тогда (14) примет вид:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Поделим числитель и знаменатель (14a) на SSTO, после чего прибавим и вычтем единицу в числителе.

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Используя формулу (15) в конечном счете получим F-статистику, выраженную через коэффициенты детерминации.

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

3 Проверка значимости линейной регрессии

Данный тест очень важен в регрессионном анализе и по существу является частным случаем проверки ограничений. Рассмотрим ситуацию. У линейной регрессионной модели всего k параметров (Сейчас среди этих k параметров также учитываем Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает).Рассмотрим нулевую гипотеза — об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при предикторах регрессионной модели (то есть всего ограничений k-1). Тогда “короткая модель” имеет вид Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает. СледовательноКритерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает. Используя формулу (14.в), получим

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Заключение

Показан смысл числа степеней свободы в статистическом анализе. Выведена формула F-теста в простом случае(9). Представлены шаги выбора лучшей модели. Выведена формула F-критерия Фишера и его запись через коэффициенты детерминации.

Можно посчитать F-статистику самому, а можно передать две обученные модели функции aov, реализующей ANOVA в RStudio. Для автоматического отбора лучшего набора предикторов удобна функция step.

Надеюсь вам было интересно, спасибо за внимание.

При выводе формул очень помогли некоторые главы из курса по статистике STAT 501

Источник

Критерий Фишера и Стьюдента

С помощью критерия Фишера оценивают качество регрессионной модели в целом и по параметрам.

Для этого выполняется сравнение полученного значения F и табличного F значения. F-критерия Фишера. F фактический определяется из отношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

где n — число наблюдений;

m — число параметров при факторе х.

F табличный — это максимальное значение критерия под влиянием случайных факторов при текущих степенях свободы и уровне значимости а.

Уровень значимости а — вероятность не принять гипотезу при условии, что она верна. Как правило а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл > Fфакт то признается статистическая незначимость модели, ненадежность уравнения регрессии.

Таблицы по нахождению критерия Фишера и Стьюдента

Таблицы значений F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента Вы можете посмотреть здесь.

Табличное значение критерия Фишера вычисляют следующим образом:

Для нахождения табличного значения критерия Стьюдента определяют число степеней свободы, которое определяется по формуле n — m — 1 и находят его значение при определенном уровне значимости (0,10, 0,05, 0,01).

Критерии Стьюдента

Для оценки статистической значимости модели по параметрам рассчитывают t-критерии Стьюдента.

Оценка значимости модели с помощью критерия Стьюдента проводится путем сравнения их значений с величиной случайной ошибки:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Случайные ошибки коэффициентов линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Сравнивая фактическое и табличное значения t-статистики и принимается или отвергается гипотеза о значимости модели по параметрам.

Зависимость между критерием Фишера и значением t-статистики Стьюдента определяется так

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Как и в случае с оценкой значимости уравнения модели в целом, модель считается ненадежной если tтабл > tфакт

Видео лекциий по расчету критериев Фишера и Стьюдента

Для более подробного изучения расчетов критериев Фишера и Стьюдента советуем посмотреть это видео

Лекция 1. Критерии и Гипотезы

Лекция 2. Критерии и Гипотезы

Лекция 3. Критерии и Гипотезы

Определение доверительных интервалов

Для построения доверительного интервала определяется предельная ошибка А для обоих показателей:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Формулы для нахождения доверительных интервалов выглядят так

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Прогнозное значение у определяется с помощью подстановки в
уравнение регрессии прогнозного значения х. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

и находится доверительный интервал

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Задача регрессионного анализа в предмете эконометрика состоит в анализе дисперсии изучаемого показателя y:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показываетобщая сумма квадратов отклонений (TSS)

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показываетсумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией (RSS)

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показываетостаточная сумма квадратов отклонений (ESS)

Долю дисперсии, обусловленную регрессией, в общей дисперсии показателя у характеризует коэффициент детерминации R, который должен превышать 50% (R 2 > 0,5). В контрольных по эконометрике в ВУЗах этот показатель рассчитывается всегда.

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Любые задачи по эконометрике решаются здесь

Источник

6.1 Параметрические критерии

В группу параметрических критериев методов математической статистики входят методы для вычисления описательных статистик, построения графиков на нормальность распределения, проверка гипотез о при­надлежности двух выборок одной совокупности. Эти методы основыва­ются на предположении о том, что распределение выборок подчиняется нормальному (гауссовому) закону распределения. Среди параметрических критериев статистики нами будут рассмотрены критерий Стьюдента и Фишера.

6.1.1 Методы проверки выборки на нормальность

Чтобы определить, имеем ли мы дело с нормальным распределением, можно применять следующие методы:

1) в пределах осей можно нарисовать полигон частоты (эмпирическую функцию распределения) и кривую нормального распределения на основе данных исследования. Исследуя формы кривой нормального распределения и графика эмпирической функции распределения, можно выяснить те параметры, которыми последняя кривая отличается от первой;

2) вычисляется среднее, медиана и мода и на основе этого определяется отклонение от нормального распределения. Если мода, медиана и среднее арифметическое друг от друга значительно не отличаются, мы имеем дело с нормальным распределением. Если медиана значительно отличается от среднего, то мы имеем дело с асимметричной выборкой.

3) эксцесс кривой распределения должен быть равен 0. Кривые с положительным эксцессом значительно вертикальнее кривой нормального распределения. Кривые с отрицательным эксцессом являются более покатистыми по сравнению с кривой нормального распределения;

4) после определения среднего значения распределения частоты и стандартного oтклонения находят следующие четыре интервала распределения сравнивают их с действительными данными ряда:

а) Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает— к интервалу должно относиться около 25% частоты совокупности,

б) Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает— к интервалу должно относиться около 50% частоты совокупности,

в) Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает— к интервалу должно относиться около 75% частоты совокупности,

г) Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает— к интервалу должно относиться около 100% частоты совокупности.

6.1.2 Критерий Стьюдента ( t-критерий)

Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних значения в выборке относятся к одной и той же совокупности. Данный критерий наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности».

При использовании критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух неза­висимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и экспериментальная (опытная) группа, количество испытуемых в группах может быть различно.

Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой матери­ал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными.

Статистика критерия для случая несвязанных, независимых выборок равна:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает(1)

где Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает, Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает— средние арифметические в эксперименталь­ной и контрольной группах,

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает— стан­дартная ошибка разности средних арифметических. Находится из формулы:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает, (2)

где n 1 и n 2 соответственно величины первой и второй выборки.

Если n 1= n 2, то стандартная ошибка разности средних арифметических будет считаться по формуле:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает(3)

где n величина выборки.

Подсчет числа степеней свободы осуществля­ется по формуле:

Далее необходимо срав­нить полученное значение t эмп с теоретическим значением t—рас­пределения Стьюдента (см. приложение к учеб­никам статистики). Если t эмп t крит, то гипотеза H 0 принимается, в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.

Таблица 1. Результаты эксперимента

Первая группа (экспериментальная) N 1=11 человек

Вторая группа (контрольная)

12 14 13 16 11 9 13 15 15 18 14

13 9 11 10 7 6 8 10 11

Общее количество членов выборки: n 1=11, n 2=9.

Расчет средних арифметических: Хср=13,636; Y ср=9,444

Стандартное отклонение: s x=2,460; s y =2,186

По формуле (2) рассчитываем стандартную ошибку разности арифметических средних:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Считаем статистику критерия:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Сравниваем полученное в эксперименте значение t с табличным значением с учетом степеней свободы, равных по формуле (4) числу испытуемых минус два (18).

Табличное значение tкрит равняется 2,1 при допущении возможности риска сделать ошибочное сужде­ние в пяти случаях из ста (уровень значимости=5 % или 0,05).

Если полученное в эксперименте эмпирическое значение t превы­шает табличное, то есть основания принять альтернативную гипотезу (H1) о том, что учащиеся экспериментальной группы показывают в среднем более высокий уровень знаний. В эксперименте t=3,981, табличное t=2,10, 3,981>2,10, откуда следует вывод о преимуществе эксперимен­тального обучения.

Здесь могут возникнуть такие вопросы:

1. Что если полученное в опыте значение t окажется меньше табличного? Тогда надо принять нулевую гипотезу.

2. Доказано ли преимущество экспериментального метода? Не столько доказано, сколько показано, потому что с самого начала допускается риск ошибиться в пяти случаях из ста (р=0,05). Наш эксперимент мог быть одним из этих пяти случаев. Но 95% возможных случаев говорит в пользу альтернативной гипотезы, а это достаточно убедительный аргумент в статистическом доказательстве.

3. Что если в контрольной группе результаты окажутся выше, чем в экспериментальной? Поменяем, например, местами, сделав Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показываетсредней арифметической эксперимен­тальной группы, a Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает— контрольной:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Отсюда следует вывод, что новый метод пока не про­явил себя с хорошей стороны по разным, возможно, при­чинам. Поскольку абсолютное значение 3,9811>2,1, принимается вторая альтернативная гипотеза (Н2) о пре­имуществе традиционного метода.

В случае связанных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t-критерия Стьюдента.

Вычисление значения t осуществляется по формуле:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает(5)

Sd вычисляется по следующей формуле:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает(6)

Если t эмп t крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

Пример 2. Изучался уровень ориентации учащихся на художественно-эстети­ческие ценности. С целью активизации формирования этой ориентации в экспериментальной группе проводились бе­седы, выставки детских рисунков, были организованы по­сещения музеев и картинных галерей, проведены встречи с музыкантами, художниками и др. Закономерно встает вопрос: какова эффективность проведенной работы? С целью проверки эффективности этой работы до начала эксперимента и после давался тест. Из методических со­ображений в таблице 2 приводятся результаты небольшо­го числа испытуемых. [2]

Таблица 2. Результаты эксперимента

до начала экспери­мента (Х)

Вначале произведем расчет по формуле:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Затем применим формулу (6), получим:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

И, наконец, следует применить формулу (5). Получим:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

Число степеней свободы: k =10-1=9 и по таблице При­ложения 1 находим tкрит =2.262, экспериментальное t=6,678, откуда следует возможность принятия альтерна­тивной гипотезы (H1) о достоверных различиях средних арифметических, т. е. делается вывод об эффективности экспериментального воздействия.

6.1.3 F — критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выбороч­ных дисперсий двух независимых выборок. Для вычисления Fэмп нуж­но найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, что­бы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая – в знаменателе. Формула вычисления критерия Фи­шера такова:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает(8)

где Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает— дисперсии первой и второй выборки соответственно.

Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значе­ние Fэмп всегда будет больше или равно единице.

Чис­ло степеней свободы определяется также просто:

В Приложе­нии 1 критические значения критерия Фишера находятся по величинам k 1 (верхняя строчка таблицы) и k 2 (левый столбец таблицы).

Если t эмп> t крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

Пример 3. В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. [3] Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос — есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Решение. Для критерия Фишера необходимо сравнить дис­персии тестовых оценок в обоих классах. Резуль­таты тестирования представлены в таблице:

Рассчитав дисперсии для переменных X и Y, получаем:

Тогда по формуле (8) для расчета по F критерию Фишера находим:

Критерий фишера что показывает. Смотреть фото Критерий фишера что показывает. Смотреть картинку Критерий фишера что показывает. Картинка про Критерий фишера что показывает. Фото Критерий фишера что показывает

6.2 Непараметрические критерии

Сравнивая на глазок (по процентным соотношениям) результаты до и после какого-либо воздействия, исследователь приходит к заключению, что если наблюдаются различия, то имеет место различие в сравниваемых выборках. Подобный подход категорически неприемлем, так как для процентов нельзя определить уровень достоверности в различиях. Проценты, взятые сами по себе, не дают возможности делать статистически достоверные выводы. Чтобы доказать эффективность какого-либо воздействия, необходимо выявить статистически значимую тенденцию в смещении (сдвиге) показателей. Для решения подобных задач исследователь может использовать ряд критериев различия. Ниже будет рассмотрены непараметрические критерии: критерий знаков и критерий хи-квадрат.

6.2.1 Критерий знаков ( G-критерий)

Критерий предназначен для срав­нения состояния некоторого свойства у членов двух зави­симых выборок на основе измерений, сделанных по шка­ле не ниже ранговой.

Нулевая гипотеза формулируются следующим обра­зом: в состоянии изучаемого свойства нет значимых различий при первичном и вторичном измерениях. Альтернативная гипотеза: законы распределения величин X и У различны, т. е. состояния изучаемого свойства существенно раз­личны в одной и той же совокупности при первичном и вторичном измерениях этого свойства.

Ста­тистика критерия (Т) определяется следую­щим образом:

Пример 4. Учащиеся выполняли контрольную ра­боту, направленную на проверку усвоения некоторого понятия. Пятнадцати учащимся затем предложили электронное пособие, составленное с целью фор­мирования данного понятия у учащихся с низким уров­нем обучаемости. После изучения пособия учащиеся снова выполняли ту же контрольного работу, которая оценивалась по пятибалльной системе.

Результаты двукратного выполнения ра­боты представляют измерения по шкале по­рядка (пятибалльная шкала). В этих условиях возмож­но применение знакового критерия для выявления тенденции изменения состояния знаний учащихся после изучения пособия, так как выполняются все допуще­ния этого критерия.

Результаты двукратного выполнения работы (в бал­лах) 15 учащимися запишем в форме таблицы (см. табл. 1). [4]

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *