Критянин сказал что все критяне лжецы

Критянин сказал что все критяне лжецы

Формулировка парадокса

Если предположить, что Эпименид сказал правду, то выходит, что он, как и все критяне,- лжец. А значит, он солгал. Если же он солгал, тогда получается, что он, как и все критяне,- не лжец. А значит, он сказал правду.

Подробнее о правилах преобразования подобных фраз см. в пункте о логике предикатов. Из-за этих ошибок в древней формулировке используется другая, более сильная формулировка парадокса.

Сильная (современная) формулировка такова. Некто произносит: «Я сейчас лгу. Солгал ли я в предыдущей фразе?» Или просто: «Я лгу». Есть еще варианты: «Я всегда лгу», «Лгу ли я, когда лгу?», и т.п. Если фраза имеет форму утверждения, то надо определить, истинная эта фраза или ложная. Если фраза имеет форму вопроса, то надо определить, какой ответ («да» или «нет») для нее правилен.

Почему решение не одно?

Решение «психологией»

В целом это решение сводится к тому, что Эпименид в пылу спора выразился в гораздо более категоричной форме, чем хотел бы сказать. Условие задачи несколько меняется, и в результате последующие рассуждения к парадоксу не приводят. Но что будет, если оставить условие прежним?

Решение Бертрана Рассела

В результате мы либо признаем Эпименида шизофреником, который одновременно и согласен с собой, и не согласен. Либо мы признаем, что в этой фразе на самом деле спрятано множество фраз, и у каждой из них есть своя истинность или ложность:

я лгу = истина
я лгу, что я лгу = ложь
я лгу, что я лгу, что я лгу = истина
я лгу, что я лгу, что я лгу, что я лгу = ложь
и так далее

я лгу = ложь
я лгу, что я лгу = истина
я лгу, что я лгу, что я лгу = ложь
я лгу, что я лгу, что я лгу, что я лгу = истина
и так далее

Решение по теории множеств

Решение интерпретацией

Еще одно решение основано на точной интерпретации понятия «лжец». Обычно лжецом называют не того, кто лжет всегда и во всем, а того, кто лжет регулярно. Но не всегда. Тем самым мы имеем решение Рассела для современного варианта парадокса и психологическое решение для варианта древнего.

Решение в логике предикатов

Итак, использование более универсальной логики тоже позволяет решить парадокс.

Решение в многозначной логике

Очень похоже выглядит решение в другой многозначной логике: трехзначной. Там есть три степени истинности: «да», «нет» и «не знаю» (или «истина», «ложь» и «неопределенно»). Между истиной и ложью есть третье, промежуточное по смыслу значение. Оно и является правильным ответом на вопрос парадокса (отрицание «не знаю» дает «не знаю»).

Решение в двузначной логике

решений не имеет. Наша система уравнений тоже не имеет решений. Это означает буквально следующее: на заданный вопрос нельзя ответить ни «да», ни «нет». Поскольку ни вариант «X = истина», ни вариант «X = ложь» не подходят. Этот вывод согласуется с остальными решениями, поскольку все они так или иначе отказываются давать однозначный ответ «да» или «нет».

Решение в стиле программирования

Решение в аксиоматическом методе

Напоследок приведу решение, предложенное Inex.

Парадоксы в математике возникают тогда, когда используемая система аксиом несовместна. Это слово означает, что из такой системы можно вывести как само утверждение, так и его отрицание. То же самое относится и к системе логических формул. Мы считаем, что система аксиом логики высказываний непротиворечива. К ней добавляется новая система аксиом.

Вот и все. Парадокс не в логике, а в предпосылках. Из ложной посылки можно вывести любое следствие.

От себя добавлю: это означает, что иногда (как в данном случае) условия задачи могут быть специально подобраны так, чтобы противоречить применяемой логике. В этом ведь и смысл парадокса лжеца: наглядно продемонстрировать, как можно сформулировать такую задачу, что ее ответ не будет двузначным, не уложится в «да» или «нет». Аксиоматический метод со своей стороны отвечает на вопрос, как и почему это происходит.

Заключение

Инженеры имеют много инструментов для измерения длины. Иногда достаточно небольшой точности и применяется простая линейка. А иногда нужна точность повыше, и применяется микрометр или микроскоп. Но всегда помнят о том, какая точность нужна и какую можно получить. И выводы всех приборов будут вполне определенны и разумны с учетом их погрешности.

Математика имеет много вариантов логики для измерения истинности. Иногда достаточно небольшой точности, и используется двузначная логика. А иногда нужна точность повыше, и применяются более сложные методы. Опять же, выбранный метод определяет точность результата.

Как видим, математика позволяет решить парадокс лжеца с применением любой из наиболее популярных видов логики. Тип логики определяет ответ. Но в принципе все «логики» сходятся в одном. На вопрос лжеца нельзя дать один ответ потому, что в самом вопросе на деле спрятан не один, а несколько вопросов. Если же учесть этот факт, то мат. логика даст четкий ответ.

Зато можно дать вполне определенный ответ на другой вопрос: нет, парадокс лжеца не является неразрешимым. Он хорошо решается в разных видах математической логики. Он замечателен тем, что является хорошим «испытанием» и для новых видов логики, которые несомненно еще будут изобретены.

Источник

Парадокс Эпименида-критянина Все критяне лгут

глава из работы «Логические парадоксы. Пути решения»

КРИТЯНЕ
Парадокс Эпименида-критянина о критянах-лжецах

Закон Либермана:
Врут все, но это не имеет значения, потому что никто не слушает.

ЗАКОНЫ МЕРФИ
(ГОСУДАРСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ МЕРФОЛОГИЯ
http://aphorism-list.com/merfi.php?page=gos-ekon)

Вопрос: истинно или ложно утверждение Эпименида – критянина о критянах: «Все критяне лгут»?

При подходе к разрешению любой проблемы нужно понимание самой проблемы. Необходимым условием понимания является определение. Необходимым условием рассуждения является «точка опоры выводов». Для истинного решения нужна истинная «точка опоры выводов».

Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо сначала чётко определить исходную информацию и найти истинную «точку опоры выводов». Из имеющейся информации можно извлечь несколько отправных элементов:

1. обобщение произнес критянин;
2. обобщение: «все критяне лгут»;
3. обобщение: «лгут ВСЕ критяне»;
4. лгут – настоящее время.

Теперь нужно выявить смысл, заключенный в этих элементах, то есть определить, а затем прийти к истинному пониманию приведённой информации.

Что значит «все критяне»? Множество «критяне» составляют Эпименид и остальные критяне. Для решения задачи необходимо не просто выявление множества критян, а в его связи со словом «лгут». То есть, очевидно, что Эпименид имел в виду под словами «критяне лгут» то, что критяне лгут, когда говорят. Это понимание делает ненужным более чёткое определение слов «остальные критяне»: живые уравниваются с мёртвыми, когда молчат, относительно слова «лгать», потому что лгать можно, лишь говоря. Этим определением отбрасывается вывод о ложности слов Эпименида на основе того, что молчащие не лгут. То есть Эпименид сделал своё обобщение о словах критян, а не о ситуации говорят они или нет. А если расширить определение – и о других носителях информации: знаках в широком смысле.

Очень существенным моментом является определение временного отрезка, заключенного Эпименидом в слове «лгут» относительно критян. Он произнёс слово «лгать» в настоящем времени. Но что такое «настоящее время»? Сейчас, теперь, в эту секунду, в этом году?
Поэтому возможны четыре определения «настоящего»:

1) только на момент произнесения слов Эпименидом – одно мгновение, несколько секунд, в момент их произнесения. То есть для нас, а также, вообще, для всех после этого мгновения, после произнесения этих слов Эпименидом, данное настоящее есть уже прошлое, и его границы – границы момента произнесения слов Эпименидом о критянах – СИЯ СЕКУНДА;

2) более широкое, бытовое понимание настоящего как некоторое время назад и плюс сия секунда. То есть – это не очень удалённое прошлое до момента окончания произнесения слов Эпименидом: ПРОШЛОЕ + СИЯ СЕКУНДА;

3) момент настоящего, передвигающийся в будущее, то есть семантическое, лексемное понимание слова «сейчас». И относительно слов Эпименида – ПРОШЛОЕ+БУДУЩЕЕ;

4) ПРОШЛОЕ – некоторое время назад до момента появления сообщения.

Третье определение в силу огромного временного отрезка существенно меняет понимание всего парадокса в целом: выходит, Эпименид сделал своё обобщение не только о своих современниках, но и о всех потомках критян. А значит, можно технически определить логическое значение его обобщения – по словам наших, современных критян. Но в этом случае отпадает даже необходимость в проверке их слов, потому что становится достаточно того факта, который в силу своей очевидности не нуждается в проверке: критяне лгут, как и вообще любые другие люди, время от времени, а в основном говорят правду. И таким образом, обобщение является ложным, исходя из данной «точки опоры выводов».Но!

Все эти рассуждения можно отбросить даже до перехода к определению слова «лгут», которое ещё впереди, в виду следующего: определение №З не подходит для истинного решения, потому что, если бы Эпименид хотел сказать о потомках, он бы мог употребить слова «все критяне БУДУТ ЛГАТЬ». А также, потому что будущее неизвестно, а значит, не входит в объём понятия «всё» («Логические парадоксы. Пути решения», глава «О принципах решения парадоксов», пункт 2- Б, http://proza.ru/2009/04/27/370).

Определение №2 нельзя отбросить, используя ту же формулу, что и с определением №3. То есть, предположив, что, говоря о прошлом времени (до момента своего обобщения), Эпименид мог бы использовать фразу «все критяне лгали», и оставить лишь определение №1, фактически 2-3 секунды произнесения обобщения, потому что в таком случае становится непонятным вообще произнесение обобщения, его цель, если обобщается то, что происходит, а значит, не закончено ещё в момент появления этого обобщения. То есть, фактически, его обобщение тогда не будет обосновано ни на чём, а значит, априори ложно. Следовательно, Эпименид, произнося фразу «все критяне лгут» имел в виду период времени настоящего в бытовом значении (определение №2): несколько удалённый от секунд произнесения обобщения период времени плюс «сия секунда».

Но и данная точка опоры нуждается в необходимом уточнении. Основываясь на данном отрезке времени можно получить различные выводы о логическом значении обобщения, которые возникнут в одном случае – когда в момент произнесения обобщения Эпименидом (сия секунда), который входит в определение №2, кто-либо из критян произнесёт истину, правду. Тогда до этого момента обобщение Эпименида, если бы все критяне только лгали, будет истинным, а относительно времени сразу же за изречением истины критянином – ложным, так как не обобщает истинные слова критянина, сказанные им при произнесении Эпименидом своего обобщения. Отсюда, видна хрупкость, размытость определения «настоящего времени». Тот же результат был бы, если бы Эпименид делая истинное обобщение «все критяне зрячие», а в момент его произнесения ослеп какой-либо критянин. Тогда то же обобщение в момент своего появления, как перевёртыш, стало бы в долю секунды из истинного ложным, при выборе «точки опоры выводов» периода времени «прошлое + сия секунда». Из этого рассуждения следует понимание того, что момент произнесения обобщения Эпименидом (сия секунда) нельзя включать в его обобщение. Ведь тогда далее, произнося истинное обобщение относительно периода времени до «сей секунды», в этот момент оно может превратиться в ложное. Но одновременно истина ложью быть не может! Иначе нарушается закон непротиворечия – А = ¬А, (А не тождественно не-А) и парадокс не исчезает, если принимать данное определение настоящего. Это значит, истинным определением момента настоящего будет отрезок времени до произнесения слов Эпименидом, то есть основанием обобщения являются уже совершённые действия критян, которые и обобщаются. Уточнять определение №4 – насколько удалён отрезок времени от момента появления обобщения в прошлое – нет необходимости. И, фактически, становятся равноценными слова Эпименида «лгут» в настоящем времени со смыслом – до момента произнесения обобщения в несколько удалённом прошлом. Такое следствие исходит из неопределённости, размытости настоящего, прошлого и будущего.

1) Эпименид мог сказать истину только, если не включил себя во множество критян;

2) лгун может сказать истину, хотя бы один раз своим обобщением о том, что все, и он в том числе, лгут.

Которые являются единственными причинами, позволяющими уйти от парадокса, разорвать кольцо понимания. Но о первом выходе упомянуто мной выше, а второй так же, как и первый, неприемлем, но уже в силу другой причины – нарушается смысл слова «лгать».

Единственно верным является следующее рассуждение. Говоря неправду, человек лжёт. И лжецом (лгуном) он является только в этот момент. Он не является лгуном, говоря правду, истину. Потому что исходным является действие – лгать, – а производным – характеристика субъекта этого действия – лжец (глава «О принципах решения парадоксов», п. 2-В, http://proza.ru/2009/04/27/370). Если было бы наоборот, то, единожды солгав в жизни, человек становится лжецом на всё последующее время, даже если он больше ни разу не солжёт. А это делает вообще невозможным и ненужным существование слов «праведник», «правдивец», «говорящий правду» и т.п. Таким образом, аналогия по типу «красная лампа может гореть лишь красным светом», данной ситуации не подходит, и человек является лжецом, только произнося ложные слова (и расширяя это определение: искажая истину любым другим способом, в том числе заблуждаясь, ошибаясь).

Это рассуждение было необходимо для подкрепления смысла слова «лгать» – говорить неистину – который не включает в себя понимание НИКОГДА не говорить истину, то есть ВСЕГДА говорить неистину. А этот момент является ключевым для решения данного парадокса. Эпименид сказал, что все критяне лгут, а не то, что все критяне всегда лгут. Это и является ключом к решению.

И здесь возможны лишь два варианта:

1) если все критяне только лишь лгали в тот период, который подразумевает Эпименид, не говоря правды, то обобщение Эпименида ИСТИННО;

2) если хотя бы один критянин говорил правду в тот же отрезок времени, значит, обобщение Эпименида ЛОЖНО.

Для первого варианта можно привести такую аналогию. Можно какое-то время пить чай, а затем перейти на кофе; можно долго молчать, потом заговорить; группа студентов может отвечать на вопросы неверно, то есть, фактически, лгать, а, подучив, говорить правду, хотя бы некоторые студенты. И здесь то же самое: если все критяне лгут какое-то время, это не значит, что они не могут сказать истину, правду, хотя бы один из них. Упущение этого момента приводит к ошибке.

К этому рассуждению нужно добавить и такое понимание обобщения: Эпименид, говоря, лгут, мог иметь в виду, что критяне временами лгут, а иногда говорят правду, как все люди, наверное, или большинство. Но если он хотел сделать истинное обобщение, то подтверждение половины факта недостаточно, это всё равно ложь. Потому что для истинного обобщения нужно было бы сказать: «Все критяне лгут и говорят правду» или «Все критяне иногда лгут (иногда говорят правду)» и т.п.

Можно было бы порассуждать ещё иначе, например, опираясь на критерий очевидности лжи Эпименида:

1) все критяне даже в течение небольшого отрезка времени не могут лгать, если их достаточно много и они не заняты одним делом, из чего можно было бы увидеть, что они все лгут;

2) Эпименид не мог знать, что делают все критяне, если их достаточно много, хотя то, что человек хотя бы раз в своей жизни лжёт, можно доказать в принципе, к примеру, исходя из того, что любая ошибка есть ложь – искажение истины, правильного порядка.

Но эти основания и им подобные на самом деле не влияют на окончательный ответ этого парадокса:

Потому что его нельзя проверить сейчас технически, а также возможно, что и в период его возникновения нельзя было проверить, ведь для этого нужно было бы знать, лжёт ли каждый критянин, чтобы подтвердить истинность обобщения, либо знать, что хотя бы один критянин не лжёт, для опровержения сообщения.

Источник

Толкования Священного Писания

Содержание

Толкования на Тит. 1:12

Свт. Иоанн Златоуст

Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые»

Гомилии на Послание к Титу.

Свт. Афанасий Великий

Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые»

А еретик, хотя употребляет и из Писаний взятые речения, при всем этом, как человек подозрительный и растленный умом, услышит от Духа: Что ты проповедуешь уставы Мои и берешь завет Мой в уста твои (Пс 49:16)? Так дьяволу, хотя говорил он из Писаний, Спаситель заградил уста. А блаженный Павел, хотя говорит заимствованное у внешних: критяне всегда лживы; мы Его и род (Деян 17:28); худые сообщества развращают добрые нравы (1 Кор 15:33), однако же, как святой, содержит благочестную мысль и, имея ум Христов (1 Кор 2:16), есть учитель язычников в вере и истине (1 Тим 2:7).

Послание о соборах, бывших в Fримине Италийском и в Селевкии Исаврийской.

Свт. Феофан Затворник

Рече же некто от них свой им пророк: Критяне присно лживи, злии зверие, утробы праздныя

Усиливает высказанное основание к избранию в епископы лиц, твердых в истине и сильных обличать ложь,— тем, что критяне по природному своему нраву падки на ложь и, следовательно, сами подают руку суесловцам — прельщать их и вводить в заблуждение. Этим Апостол переводит внимание святого Тита и будущих епископов от суесловцев на самих критян, говоря как бы: мало заграждать уста суесловцев; надобно самих критян убеждать твердо держаться истины и не открывать уха всякому баснословцу, отвращающему от истины. И это будет, как замечено, заграждением хода распространителям лжи. Таков смысл стихов 12 — 14.

В подтверждение того, что критяне падки на ложь, басни и суесловие, Апостол мог указать на действительные опыты. Но лучшим счел привесть свидетельство поэта, — критянина же, чтоб не сказал кто: ты несколько дней пробыл на острове и уж узнал наш характер. Наперед отвечает таким Апостол: не я один так думаю, вот свой же, ваш поэт, давно-давно заметил это за вами. К тому же, взявши такое древнее свидетельство, Апостол дает разуметь, что указываемое им недоброе свойство критян есть не мимолетное и случайное, а устарелый порок, который, чем труднее искоренить, тем обязательнее, для поставленных исправлять среди них все худое, на эту сторону направить свое внимание, заботу и труд.

Пророком назвал Апостол поэта не потому, чтоб в самом деле почитал его Пророком, а потому, что так думали о поэтах язычники и верили их слову, будто откровенному свыше. И все верования языческие держались на поэтах. — Приведенные Апостолом слова сказал Эпименид (см.: святой Златоуст, блаженный Иероним), и то же потом повторил Каллимах (см.: блаженный Феодорит). У Каллимаха стоит только первое слово: лживи. Весь же стих, как он приводится Апостолом, находится у Эпименида (см.: блаженный Иероним). Названы так критяне за то, что, когда кто-то им натолковал, что у них умер Зевс, или Дий, и указал место; они легко поверили, устроили гробницу и всем твердили: вот у нас гробница Зевса. Этим они обнаружили свое легковерие и падкость на ложь и басни, которых не переставали уже потом держаться, пребывая таким образом присно лживыми, то есть не перестающими твердить ложь. Эту особенно черту их Апостол и выставляет, чтоб потом сказать: обличай их, чтоб не внимали басням.

Для цели Апостола нужно было только первое слово: лживи. Другие за тем слова приведены только потому, что входят в состав стиха, который был ведом Апостолу (см.: блаженный Иероним). Потому нет нужды строить догадки, что имел в мысли Апостол, приводя о критянах слова: злии зверие, утробы праздныя. Первыми означается дикость, необузданность, злонравие; а вторыми — то, что любят поесть, попить, дела же делать неохочи, празднолюбивы и ленивы. Может быть, впрочем, такие черты действительно были в характере критян, и Апостол намеренно удержал означенные слова стиха, не ограничившись первым словом, чтоб потом дать уроки и относительно них, как и можно заключить из того, чему учить заповедует Апостол во второй главе. Но в настоящем месте нужно было для Апостола только первое: лживи,— как требуется полагать течением речи.

Толкование на послание к Титу.

Прп. Ефрем Сирин

Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые»

Сказал же некто из них где-то, собственный их пророк: Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы праздныя.

Послание к Титу.

Прп. Икумений Триккский

Ст. 12-14 Рече же некто oт них свой им пророк: Критяне присно лживи, злии зверие, утробы праздныя. Свидетельство сиe истинно есть: еяже ради вины обличай их нещадно, да здрави будут в вере: не внимающе Иудейским баснем, ни заповедем человек отвращающихся от истины

Пастырские Послания апостола Павла.

Блж. Августин

Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые»

Против сочинений Петилиана.

Блж. Иероним Стридонский

Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые»

Комментарий на Послание к Титу.

Послания.

Блж. Феодорит Кирский

Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые»

Не иудейский пророк был Каллимах (а это начало его стихотворения), но языческий стихотворец. Но он назвал критян лжецами из-за гробницы Зевса. Божественный же апостол назвал свидетельство это истинным, не поэтическое баснословие подтверждая, но обличая критян в несостоятельности их мнений, как бы говоря: «Хорошо назвал он вас лжецами, вы и вправду остались таковыми». А так называемый Зевс, вероятно, умер в другом месте, и критяне напрасно построили ему гробницу.

Толкования на послания святого Павла.

Блж. Феофилакт Болгарский

Толкование на послание к Титу.

Афинагор Афинский

Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые»

Прошение за христиан.

Евфимий Зигабен

Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые

Рече же некто от них

Некто из Критян. – Критяне были именио такими, как выше сказано, – и непокорны, и суесловы, и обманщики. Да и «сущии от обрезания» то же Критяне по отечеству своему, а по богопочитанию Евреи. Сказал же он (некто) слово, которое будет приведено дальше.

Свой им пророк

Их соотечественник и единоплеменник, считающийся у них пророком. Этот Критянин – Эпименид, поэт, считавшийся и прорицателем. Посему-то Апостол и назвал его пророком. Что же он сказал? Послушай.

Критяне присно лживи, злии зверие, утробы праздныя

За что так дурно отозвался он о своих единоплеменниках? – За то, что Критяне, предки его, устроив могильный памятник Зевесу, сделали на нем такую надпись: здесь лежит Зевес. Возмутившись тем, что они всюду разносили весть о смерти Зевеса, Эпименид отмстил им за это вышеприведенным изречением о них. К этому он прибавил еще и следующее: тебе, владыка, они устроили даже и гробницу; но ты не умер: ибо ты вечно существуешь. Таким образом упомянутый поэт говорит, что Критяне всегда как во многом другом лгали, так и относительно того, что Зевес умер. Критяне злые порицатели, срамители своего отечества, любящие попить и поесть, но не охотники до дела, т. е. вообще они тунеядцы. И причину указал он, почему назвал их лживыми, как уже сказано: тебе, говорит, владыка Зевес, они устроили гробницу; ты же не умер, но вечно жив.

Толкование на послание к Титу.

Лопухин А.П.

Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые

Здесь апостол говорит о Критянах вообще.

Толковая Библия.

Источник

Парадокс Лжеца

Парадокс Лжеца

Автор

Евбулид (Возможный Первоначальный)

Время

Секция

Школа/Область исследования

Состояние

Статус

Содержание

Первоначальная формулировка [ ]

Формулировка Эпименида. [ ]

Вероятно, именно эта формулировка парадокса лжеца даётся в Новом Завете у апостола Павла в Тит. 1:12-13: «Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые». Свидетельство это справедливо….»

Формулировка Евбулида. [ ]

Сам парадокс лжеца был известен в Древней Греции IV века до н. э. Евбулид Милетский включил его в список своих семи софизмов в следующей формулировке: «Человек говорит, что он лжёт. То, что он говорит — истина или ложь?». Является возможной первоначальной формулировкой.

Подсемейства [ ]

Классический парадокс [ ]

Рассмотрим следующее утверждение: «А: Утверждение А ложно»

Если утверждение истинно, то утверждение ложно, противоречие. Если же оно ложно, то утверждение не ложно, а значит истинно, противоречие. Последний шаг опирается на закон исключённого третьего, гласящий, что любое логическое утверждение или истинно, или ложно. Естественное решение — отрицание закона исключённого третьего — не работает в других вариантах парадокса лжеца.

Закон исключённого третьего [ ]

Рассмотрим следующее утверждение: «А: Утверждение А не является истинным»

Если утверждение истинно, то утверждение не истинно, противоречие. Если же оно не истинно, то утверждение истинно, противоречие. Такой вариант не использует закон исключённого третьего, тем не менее, утверждение ссылается само на себя.

Другая формулировка предполагает, что третий вариант, отличный от истинности или ложности — это бессмысленность: «А: Утверждение А ложно или бессмысленно»

Логический цикл [ ]

Здесь приведена фреска работы Рафаэля: «Афинская школа». В центре картины Аристотель и Платон ведут спор: Платон указывает пальцем на небо, приводя свой мир идеальных идей, а Аристотель, эмпирист, на землю, приводя первенство опыта и познания реального. Но можно представить иной спор: Платон: Следующее высказывание Аристотеля будет ложно. Аристотель: Ты прав, учитель. Возникает парадокс лжеца вида Логического цикла.

Рассмотрим следующие утверждения:

А: Утверждение Б ложно.

Б: Утверждение А истинно.

Если истинно, то ложно и не истинно, противоречие. Если ложно, то не ложно и истинно, противоречие. Исправление ложности на неистинность и исправляет необходимость закона исключённого третьего аналогично предыдущему примеру. Такой вариант не использует отсылки утверждения к самому себе, но использует отсылку к полностью взаимосвязанной смысловой системе.

Возможны и циклы большей длины, например, такой:

А: Утверждение Б ложно.

Б: Утверждение В ложно.

В: Утверждение А ложно.

Парадокс Карри (Доказательство Санто-Клауса) [ ]

Сначала рассмотрим утверждение: «А: Если утверждение А (можно заменить на это утверждение) является истинным, 1 равен 0, если утверждение А является ложным, 1 не равен 0»

В таком случае, если А истинно, 1=0 истинно, что невозможно. Значит истинность утверждения А невозможна»

Дед Мороз разбирается с парадоксом Карри, дабы понять, почему он существует

Если А ложно, то 1 не = 0. Но, одновременно, 1=0, ибо утверждение А ложно, а значит, по правилу исключённого третьего, истина такова: «А: Если утверждение А является истинным, 1 не равно 0, если утверждение А является ложным, 1 равно 0». Из этого следует, что а) мы получили классический парадокс лжеца (Ибо тогда утверждение истинно, так как 1 не может быть равен 0. Но если оно истинно, то 1=0 и т.д.), б) независимо от истинности или ложности утверждения, 1=0.

Парадокс Пиноккио [ ]

«У Пиноккио имелось свойство: когда он лгал, его нос тут же заметно увеличивался. Что будет, если Пиноккио скажет: «Сейчас у меня удлинится нос»? Если нос не увеличится — значит, мальчик соврал, и нос будет обязан тут же вырасти. А если нос вырастет — значит, мальчик сказал правду, но тогда почему вырос нос?»

Парадокс Ябло [ ]

Возьмём бесконечное число утверждений:

В частности, следует обратить особое внимание на тот факт, что каждое утверждение ничего не говорит о своей собственной истинности или ложности, даже косвенным способом, так как оно утверждает что-то лишь об утверждениях с большими номерами, и для всех них это тоже верно.

Возьмём любое утверждение S_k. Ложно оно или истинно? Предположим, что истинно. Тогда S_k+1, S_k+2 и т.д. все ложны. Но ложность S_k+2, S_k+3, и т.д. — как раз то, что утверждает S_k+1. Поэтому получаем противоречие: с одной стороны S_k+1 ложно (прямое следствие истинности S_k), с другой стороны истинно (прямо следствие ложности S_k+2, S_k+3, S_k+n). Раз мы достигли противоречия, значит, наше предположение было неверным, и S_k на самом деле ложно. Это верно для любого k.

Известные частные случаи [ ]

Исторические случаи [ ]

Здесь находятся известные исторические случаи формулировок Парадокса Лжеца, относящиеся к той или иной описанной или неописанной выше подсемейств. В случае отношения частного случая к описываемому подсемейству, за исключением особенных случаев, описание логической цепочки парадокса смысла приводить нет и потому таковой приводится не будет.

Спор Сократа и Платона. [ ]

В средневековье была известен такой Логический Цикл, являющийся, возможно, отцом данного подсемейства и его классической иллюстрацией:

«Платон: Следующие утверждение Сократа будет ложным.

Сократ: То, что сказал Платон, истинно.»

Доказательство Жака Буридана. [ ]

Двойной Лжец (Картонка Джордана). [ ]

Эта версия парадокса Лжеца была представлена английским математиком Филиппом Эдвардом Бертраном Джорданом в 1913 году. Лжец Джордана относиться к подсемейству Логических Циклов, являясь почти что полной копией «Спора Сократа и Платона»:

«Следующее написано на обоих сторонах карточки:

На обратной стороне: «Утверждение на другой стороне этой карточки верно»

На лицевой стороне: «Утверждение на другой стороне этой карточки неверно»»

Прочие представители [ ]

Здесь приведены всевозможные исторически невесомые и/или придуманные Вами представители этого семейства. В случае, оригинального по Вашему мнению парадокса просим отнести таковой в отдельную статью. Итак,

Чтимое, писанное и услышанное [ ]

Данные парадоксы повторяют Классический Парадокс Лжеца, но ссылаются лишь на частный способ выражения мыслей, как, например, чтение и слух:

Данный ряд можно бесконечно долго продолжать, сделав средства выражения ещё более ограниченными и/или реже используемыми, продолжая добавлять:

Попытки решения, исследования и комментарии [ ]

Исторические [ ]

Последователь Аристотеля Теофраст написал о парадоксе три папируса, а ранний стоик Хрисипп — шесть, но до нас они не дошли.

«О странник! Я Филит Косский,

И это лжец привёл к моей смерти,

И бессонные ночи из-за него»

Фрэнк Рамсей парадокс лжеца (в виде «Я сейчас лгу») рассматривал как лингвистический, относил к классу семантических, а не теоретико-множественных:

«…противоречия группы В не являются чисто логическими и не могут быть сформулированы в одних логических терминах, ибо все они содержат некоторую отсылку к мысли, языку или символизму, которые являются не формальными, но эмпирическими терминами. Поэтому своим возникновением они могут быть обязаны не ошибочной логике или математике, но ошибочным идеям, касающимся мысли и языка.»

Ряд других авторов часто пытаются решить парадокс именно логико-математическими средствами. Альфред Тарский пытался с помощью своей логико-математической теории переформулировать парадокс с бытового языка на некий формальный язык, имеющий однозначную логическую структуру. Формально можно сказать, что А. Тарский нашёл решение: предикаты «истинно» либо «ложно» он считает терминами метаязыка и их нельзя применять к языку, на котором сформулировано изначальное высказывание. Однако это рассуждение основано на концепции метаязыка, а парадокс «внутри» обычного языка остаётся нерешённым.

К теме «перевода» парадокса на формальный логический язык имеет отношение и первая теорема Гёделя о неполноте:

«Факт, что теорема Гёделя и парадокс Лжеца близко соотносятся, не только хорошо известен, но является даже общим представлением логического сообщества. …сам Гёдель не стал исключением, сделав замечание в статье, анонсируя свой результат. «Аналогия между этим результатом и антиномией Ришара бросается в глаза; есть также близкое родство с антиномией „Лжеца“. здесь мы сталкиваемся с предложением, которое утверждает свою собственную недоказуемость»»

Г. Серени указывает, что эта связь является общепризнанной в среде специалистов, но имеет форму скорее аналогии, внешнего сходства, и существует мало исследований о точной природе этой связи. Ван Хейеноорт указывает, что если перейти от понятия истинности к доказательству, то парадокс исчезает:

«…предложение, утверждающее «Я не истинно»… получаем парадокс… Но если мы как-то сконструируем предложение «Я не доказуемо», парадокс не возникает. Обозначим через g предложение, и в отношении понятия «доказательства» просто предположим, что ничто из доказуемого не может быть ложным. Если бы g было доказуемым, оно было бы ложным, отсюда, оно не доказуемо. Следовательно, оно не доказуемо и истинно (поскольку это именно то, что оно утверждает). Отрицание g, которое устанавливает, что оно доказуемо, ложно, отсюда оно также не доказуемо. Мы скользим вдоль парадокса, никогда не впадая в него истинно. Предложение g недоказуемо и истинно; его отрицание недоказуемо и ложно. Единственное обстоятельство, которое приводит к этому удивительному результату, это введение различия между «истинно» и «доказуемо»»

Проблемы логики, связанные с парадоксом, менялись в зависимости от концепции рассмотрения: является ли он двусмысленностью или же бессмысленностью, или — примером смешения разговорного языка и логического метаязыка, которые в повседневности не разделяются. Если же их дифференцировать, то утверждение «Я лгу» сформулировать невозможно. Вполне возможно, что в будущем этот давний парадокс приведёт к обнаружению других проблем в соответствующей области.

Между тем имеются и попытки отказаться от восприятия парадокса, сделать вид, что его нет. Вдовиченко А.В. предлагает рассмотреть парадокс «как естественный вербальный материал», указывая, что высказывающий этот парадокс «мог вовсе не думать о себе, когда произносил свои слова», т.е. не причислять себя к «критянам», хотя им и являлся (речь именно к «критянской» формулировке): «мог говорить аффективно, имея в ввиду лишь своё отношение к ним, не причисляя к ним себя»

Неисторические [ ]

Решения характера позитивизма: [ ]

Пример иррациональной идеи

Ссылки [ ]

Про парадокс Лжеца Вы можете прочитать на Википедии, откуда частично взята данная статья.

Источник