Лагранж что это такое
Полет в точку Лагранжа: как устроены самые странные места в Солнечной системе, где практически не работает гравитация
В Солнечной системе существуют места, где практически отсутствует гравитация — точки Лагранжа. Точнее, она там есть — но одновременно от нескольких крупных космических тел, направленная в разные стороны. Поэтому любой небольшой объект, попадающий в эти области, может остаться там на миллиарды лет. «Хайтек» разобрался в истории открытия точек Лагранжа и мистификациях, связанных с ними.
Читайте «Хайтек» в
Что такое точка Лагранжа?
В 1772 году математик Жозу Луи Лагранж вычислил в своем исследовании «Проблема трех тел», что гравитационное поле Земли должно нейтрализовать гравитационное притяжение самого большого объекта в Солнечной системе — Солнца — в пяти областях пространства. По сути, эти пять точек являются единственными местами в нашей системе, где практически не работает гравитация благодаря одинаковой силе притяжения от нескольких космических тел.
Всего существуют пять точек Лагранжа — L1, L2, L3, L4 и L5. Для ученых наиболее интересными для изучения являются точки L4 и L5 — единственные стабильные области из всех точек Лагранжа. Если спутник попадет в точки L1 или L2, через несколько месяцев орбиты изменятся и область отсутствия гравитации также сместится, поэтому космическому телу придется совершать различные маневры, чтобы оставаться в этой области.
Точки L4 и L5, которые считаются самыми стабильными, расположены на плоскости земной орбиты на расстоянии 150 млн км от нашей планеты (для сравнения, расстояние от Земли до Луны составляет 383,4 тыс. км, среднее расстояние до Венеры — от 38 до 250 млн км в зависимости от местоположения планет). При этом L4 вращается вокруг Солнца на 60° впереди Земли, а L5 — на 60° позади.
Вокруг других планет в Солнечной системе ученые также наблюдают похожие области. В 1906 году астроном и пионер астрофотографии Максимилиан Вольф обнаружил астероид, который находится постоянно в одном и том же месте за главным поясом астероидов между орбитами Марса и Юпитера.
Этот астероид оказался точкой L4 Юпитера. Ученые назвали его Ахиллесом — именно с него пошла традиция называть все подобные астероиды именами участников Троянской войны. Сейчас благодаря этому открытию астрофизики обнаружили более тысячи астероидов, находящихся в двух стабильных точках Лагранжа Юпитера.
Другое дело, что поиски подобных астероидов вокруг других планет пока оказались не столь успешными: возле Сатурна их пока не обнаружили, а около Нептуна — всего один. Вероятно, пока астрофизики просто не рассчитали правильное местоположение этих областей у таких планет.
Хм. Все равно не очень понятно, как это работает
Точка Лагранжа — это такое место в космосе, где объединенные гравитационные силы двух очень массивных тел — Земли и Солнца или Земли и Луны — равны центробежной силе, ощущаемой намного меньшим третьим телом. Взаимодействие этих сил создает точку равновесия, где может быть навечно «припаркован» условный космический корабль для проведения наблюдений.
Предположим, у нас есть два очень больших объекта в космосе — Земля и Солнце. У них есть гравитационное притяжение. И есть спутник — если мы запускаем его слишком близко к Солнцу, то постепенно гравитация притянет его к звезде, и он либо врежется в нее, либо выйдет на солнечную орбиту. Если к Земле, то спутник либо окажется на околоземной орбите, либо войдет в атмосферу нашей планеты и сгорит в ней.
Точки Лагранжа — места в космосе, где гравитация двух объектов (в нашем случае Солнца и Земли) эффективно компенсирует друг друга. Это позволит спутнику оставаться именно в том месте, куда он был запущен.
L4 и L5 являются стабильными. Даже если ваш спутник не идеально добрался до этих точек, гравитация в любом случае как бы подтолкнет его в такое положение, чтобы он оставался там навсегда. На этот раз наш мраморный кусочек уже находится на дне чаши, быстро движущейся вправо, поэтому, даже если он не идеально отцентрирован, то переместится в правильное положение.
Хорошо. Как можно использовать точки Лагранжа?
Исследователи в области космонавтики еще в 1970-х годах обратили внимание на точки Лагранжа. Например, в точке L1 системы «Земля — Солнце» можно было бы поместить космическую солнечную обсерваторию. Она никогда не будет попадать в тень Земли, соответственно, наблюдения можно вести без перерыва.
Точка L2 системы «Земля — Солнце» может быть практически идеальной для установки в ней космического телескопа. В ней Земля почти всегда заслоняет солнечный свет и не отражает его в это место, что позволило бы ученым постоянно изучать другие звезды.
В точке L1 системы «Земля — Луна» можно поместить ретрансляционную станцию в период освоения спутника Земли. Станция будет постоянно находиться в зоне прямой видимости для большей части полушария Луны, обращенного к Земле. Поэтому для связи с ней будущим колонистам Луны понадобятся передатчики в десятки раз менее мощные, чем для связи с Землей.
Существует множество проектов, в рамках которых астрофизики планируют тем или иным образом использовать точки Лагранжа в своих исследованиях.
ISEE-3 — первый космический аппарат, выведенный в точку L1 системы «Земля — Солнце». Был запущен еще в 1978 году, в рамках миссии должен был доказать, что существование этих точек либрации (другое название точек Лагранжа — «Хайтек») вообще реально, а также исследовать верхние границы магнитосферы Земли, проходящие как раз на расстоянии около 1,5 млн км от нашей планеты. После этого — через десять лет — зонд был направлен к кометам Галлея и Джакобини — Циннера. Сейчас ISEE-3 несколько десятилетий просто находится в космосе в выключенном состоянии.
В точке L1 системы «Земля — Солнце» сейчас находятся несколько миссий, в том числе зонд для изучения солнечного ветра GGS Wind, станция для изучения гелиосферы SOHO и DSCOVR для анализа выбросов корональной массы.
В точке L2 системы «Земля — Солнце» долго находился спутник WMAP для изучения реликтового излучения, которое возникло во время Большого взрыва (сейчас, после завершения миссии, отправлен на орбиту захоронения), космическая обсерватория Herschel, космическая обсерватория Планк, космический телескоп Gaia. В будущем сюда запустят один из самых важных проектов по изучению космоса — телескоп имени Джеймса Уэбби в 2024 году, который придет на смену культовому «Хабблу».
При этом все эти объекты, конечно же, находятся не в одной точке — а на гало-орбитах вокруг областей Лагранжа. Их достаточно много — несмотря на то, что зонды должны иметь стабилизирующее оборудование, позволяющее долго удерживаться на них.
Почему тогда на этих точках не собираются строить колонии?
Собираются. Есть несколько проектов по созданию колоний в точках Лагранжа, и есть даже общественные объединения, которые популяризируют эту идею — L5 Society, Republic of Lagrangia и National Space Society. Самым известным сторонником создания колонии-поселения человечества в точках Лагранжа считается астрофизик Джерард О’Нил, который представил концепцию «Острова III» — космической станции, находящейся в одной стабильной точке.
Однако у этих теорий есть несколько серьезных технических сложностей: негативное влияние солнечного ветра и других космических лучей на организм человека. Кроме того, все точки Лагранжа подвергаются пока слабо изученному воздействию плазмы в экваториальной плоскости магнитосферы Земли. В связи с этим все поселения, которые будут расположены в этих точках, должны быть защищены от космической радиации.
Кроме того, в связи с отсутствием гравитации постоянные космические поселения в точках Лагранжа должны быть оборудованы технологиями для создания ее искусственного аналога. При этом на сегодняшний день подобных технологий не существует.
Ну и самое главное. Пока все теории по созданию колоний на других планетах — гипотетические, для их появления человечеству необходимо сделать еще огромное количество открытий. Историю гонки создания баз на Луне и Марсе вы можете почитать здесь, здесь и здесь.
Ладно. Но я видел, что точки Лагранжа также могут быть использованы и для наблюдения инопланетянами за Землей!
Могут. В научной фантастике очень развита теория, что инопланетяне строят свои космические станции в точках, где нет гравитации, и наблюдают из них за Землей.
С одной стороны, некоторые точки Лагранжа, особенно в системе «Земля — Солнце», довольно сложно изучать, поскольку они находятся слишком близко к Солнцу (а иногда и за ним). Поэтому — теоретически — там могут находиться любые станции.
С другой стороны, эта теория остается только в научной фантастике, поскольку, как мы с вами давно знаем, существование инопланетян пока никем не доказано.
Жозеф Луи Лагранж
французский математик и механик итальянского происхождения
Жозеф Луи Лагранж
Жозеф Луи Лагранж (фр. Joseph Louis Lagrange) родился 25 января 1736 года в Турине. Отец хотел, чтобы сын стал адвокатом, и определил его в Туринский университет. Однако там все свое время Жозеф отдавал физике и математике. Рано проявившиеся блестящие математические способности позволили ему в 19 лет стать профессором геометрии в Артиллерийской школе Турина.
В 1755 году Лагранж послал Эйлеру свою эпохальную математическую работу об изопериметрических свойствах, положенных им впоследствии в основу вариационного исчисления, а в 1756 году он по представлению Эйлера стал иностранным членом Берлинской академии наук.
В 1764 году Парижская академия наук объявила конкурс по проблеме движения Луны. Лагранж представил работу, посвященную либрации Луны, которая и была удостоена первой премии. В 1766 году он получил вторую премию Парижской академии за исследование, посвященное теории движения спутников Юпитера, а до 1778 года был удостоен еще трех премий этой академии.
В 1766 году по приглашению Фридриха II Лагранж переехал в Берлин, где стал президентом Берлинской академии наук вместо Эйлера. Берлинский период (1766–1787) был самым плодотворным в жизни Лагранжа. Здесь он выполнил важные работы по алгебре и теории чисел, а также по проблеме решения дифференциальных уравнений в частных производных.
В Берлине была подготовлена его знаменитая «Аналитическая механика», опубликованная в Париже в 1788 году. Эта работа стала вершиной научной деятельности Лагранжа. В ней описано огромное число новых подходов, введены обобщенные координаты, разработан принцип наименьшего действия.
В 1787 году Лагранж переехал в Париж и занял один из постов в Парижской академии наук. Во время Французской революции он принял участие в работе комиссии, занимавшейся разработкой метрической системы мер и весов и введением нового календаря.
Лагранж внес существенный вклад во многие области чистой математики, включая вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, теорию чисел (теорема Лагранжа), алгебру, теорию вероятностей и т.д.
Его идеи и методы нашли воплощение в работах многих выдающихся математиков 19 века.
Умер Жозеф Луи Лагранж в Париже 10 апреля 1813 года.
Биография Жозефа Луи Лагранжа
Восемнадцатый век – время стремительного развития точных наук. Особенно много открытий тех лет приходится на математику. Учёные и исследователи с помощью сопоставлений и научных экспериментов открывали новые постулаты, которые в дальнейшем позволили обосновать сотни серьёзных научных теорий в различных областях человеческого познания – физике и астрономии, химии и географии. Одним из величайших математиков того времени справедливо считается француз с итальянскими корнями Жозеф Луи Лагранж (1736 — 1813).
Струны Лагранжа
Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика
Способности к математике проявились у студента университета в Турине довольно рано. Он прочёл несколько работ по оптике и математическому анализу и увлечённо занялся исследованиями. В возрасте девятнадцати лет (1755) он написал первую работу по изопериметрическим свойствам, высоко оцененную его добрым наставником — великим Эйлером. На её основе впоследствии будет разработана теория вариационных исчислений. Следующие десять лет, работая преподавателем артиллерийского колледжа в Турине, Лагранж всецело посвятил себя высшей математике.
Одним из фактов биографии Лагранжа является основание туринского научного общества, преобразованного позже в академию наук. Лагранж и его ученики, многие из которых годились ему в отцы, издавали научный журнал «Actes de la société privée de Turin». Перу Лагранжа принадлежит большинство публикаций. Среди них труды по теории движения жидкостей, анализ возвратных рядов, метод наименьших и наибольших величин, теория азартных игр, математический анализ сотрясения струн…
Наследство — потомкам
Астрономию Лагранж начал серьёзно изучать в 1762 году, принимая участие в конкурсе Французской академии наук. Он подготовил блестящую работу о лунной либрации и получил первую премию. Вплоть до конца семидесятых годов ХVIII века учёный неизменно удостаивался наград различных научных обществ за астрономические и математические исследования. С 1766 по 1787 год Лагранж возглавлял отделение физики и математики Германской академии наук в Берлине, позднее работал во Франции. Теория чисел и алгебраические выражения, принцип возможных перемещений в аналитической механике, математическая конечная группа постановок, интерполяционная формула, метод множителей, теорема Лагранжа, формула конечных приращений – вот неполный перечень уникальных открытий франко-итальянца, ставших основой математического анализа…
Точки либрации (точки Лагранжа)
Можно смело утверждать, что математические труды Лагранжа стали теоретической основой астрономии и астрофизики. Все вычисления, которые обязательно сопровождают наблюдения астрономов за объектами во Вселенной, основаны на методах математического анализа.
Открытые учёным точки либрации позволили объяснить поведение тела с бесконечно малой массой в системе с двумя массивными телами под воздействием одной только гравитации. Решив в 1772 году математическую задачу, француз первым объяснил либрацию (раскачивание) Луны под действием резонанса. В 1764 году за фундаментальный научный труд по теории либрации Лагранж стал лауреатом премии Парижской академии наук. Отдельный научный труд был посвящён вековому движению спутника Земли.
В работе, посвященной стабильности Солнечной системы, Лагранж доказал возможность существования столь же стабильных планет на удалении более 1000 а.е. от Солнца. Математический анализ и методики Лагранжа легли в основу исследований планетных возмущений. Престижная награда Лагранжа тех лет – премия за расчет характера перемещения спутников Юпитера.
Самым знаменательным в научной карьере Лагранжа стал 1788 год. Из печати вышла монография «Mécanique analytique» – основу объяснения и применения законов механики к движению тел в различных средах.
Удивительно, но предельно занятый математикой, механикой, астрономией и другими точными науками Лагранж преуспевал и в географии. Он серьёзно занимался теорией картографии, пытаясь и тут применять методы математического анализа. Стал одним из учредителей института изучения долгот. Лагранж доказал правильность вычислений с помощью методов дифференцирования и интегрирования. Многие его современники спорили с великим французом, но он твёрдо отстаивал убеждения, основанные на точных математических расчётах. И оказался совершенно прав.
Звёзды Лагранжа
Памятник Лагранжу в Турине
Император Франции Наполеон Бонапарт сделал Лагранжа кавалером ордена Почетного Легиона, графом и сенатором. Перед смертью Жозеф Луи сказал знаменитые слова: «Я сделал своё дело…». Собрание сочинений Лагранжа насчитывает 22 тома. Различные мемуары, письма и научные записки хранятся в архивах научных центров Турина, Берлина и Парижа.
Утончённые французы уже не одну сотню совершенно по-особому отмечают всё, что вносит вклад в развитие цивилизации. Фотографии семидесяти двух великих французских учёных, чьи труды стали основой различных фундаментальных наук, помещены в почетный Пантеон на первом этаже башни Эйфеля. Среди них – гений математики Жозеф Луи Лагранж.
Похожие статьи
Понравилась запись? Расскажи о ней друзьям!
math4school.ru
Жозеф Луи Лагранж
1736–1813
Всей своей жизнью он доказал свою преданность общим интересам человечества, – благородной простотой манер, возвышенным характером и, наконец, точностью и глубиной своих научных трудов.
Жан Батист Жозеф Фурье
Жозеф Луи Лагранж (25 января 1736 – 10 апреля 1813) – французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером – виднейший математик XVIII века. Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.
Лагранж родился в Турине, где его отец служил военным казначеем Сардинского королевства. Будучи самым младшим сыном многочисленной семьи, он вынужден был сделать все, чтобы как можно скорее начать самостоятельную жизнь. Сначала Лагранж заинтересовался филологией. Его отец хотел, чтобы сын стал адвокатом, и поэтому определил его в Туринский университет. Но в руки Лагранжа случайно попал трактат по математической оптике, и он почувствовал своё настоящее призвание. Все свои силы он посвятил изучению математики и в семнадцатилетнем возрасте был назначен преподавателем математики в Королевской артиллерийской школе в Турине. Несмотря на то, что Лагранж был моложе многих своих учеников, он пользовался славой прекрасного преподавателя.
В 1757 году Лагранж вместе со своими бывшими учениками основал Туринскую академию, которая первоначально носила характер частного научного общества. В этой Академии Лагранж был председателем физико-математической секции.
В 1759 году вышел в свет первый том трудов Академии „Actes de la Société privée». В этом томе были напечатаны многие труды двадцатитрехлетнего ученого, в основном по вариационному исчислению в его связи с механикой. На основе работ Эйлера, Лагранж дал основные понятия вариационного исчисления и предложил метод решения вариационных проблем. После ознакомления с этими трудами Эйлер в письме к Лагранжу написал так:
…Ваше решение изопериметрических проблем безукоризненно, и я рад, что тема, которой я давно занимаюсь, доведена Вами до близкого конца…
В этих работах Лагранж решил ряд задач, которые сам Эйлер не смог одолеть. Эйлер включил похвалы Лагранжу в свою работу и (вместе с Д’Аламбером) рекомендовал молодого учёного в иностранные члены Берлинской Академии наук. В том же 1759 году Лагранж был избран членом Берлинской академии наук.
В Турине Лагранж впервые применяет анализ к теории вероятностей, развивает теорию колебаний и акустику.
В 1762 году Лагранж дал первое описание общего решения вариационной задачи. Оно не было ясно обосновано и встретило резкую критику. Эйлер в 1766 году дал строгое обоснование вариационным методам и в дальнейшем всячески поддерживал Лагранжа.
В 1764 году Французская Академия наук объявила конкурс на лучшую работу по проблеме движения Луны. Лагранж представил работу, посвященную либрации Луны, которая была удостоена первой премии. В 1766 году Лагранж получил вторую премию Парижской Академии за исследование, посвященное теории движения спутников Юпитера, а до 1778 года был удостоен ещё трёх премий.
Вследствие постоянного переутомления Лагранж в двадцатипятилетнем возрасте тяжело заболел. К сожалению, единственное средство, известное тогдашней медицине, т. е. кровопускание, приносило ему вред. А процедура эта повторялась двадцать девять раз. Нет ничего удивительного, что он постепенно терял силы.
В 1766 году по приглашению прусского короля Фридриха II Лагранж переехал в Берлин (тоже по рекомендации Д’Аламбера и Эйлера). Здесь он вначале руководил физико-математическим отделением Академии наук, а позже стал президентом Академии. В её «Мемуарах» опубликовал множество выдающихся работ.
В 1767 году учёный женился на своей кузине по матери, Виттории Конти, но в 1783 году его жена умерла.
В 1767 году Лагранж публикует мемуар «О решении числовых уравнений» и затем ряд дополнений к нему. Позднее Абель и Галуа черпали вдохновение в этой блестящей работе. Впервые в математике появляется конечная группа подстановок. Лагранж высказал предположение, что не все уравнения выше 4-й степени разрешимы в радикалах. Строгое доказательство этого факта и конкретные примеры таких уравнений дал Абель в 1824 – 1826 годах, а общие условия разрешимости в 1830 – 1832 годах нашёл Галуа.
В 1772 году Лагранж был избран членом академии наук в Париже, куда переехал в 1787 году и стал преподавать в высших учебных заведениях.
Ещё в Берлине была подготовлена «Аналитическая механика» («Mécanique analytique»), опубликованная в Париже в 1788 году и ставшая вершиной научной деятельности Лагранжа. Гамильтон назвал этот шедевр «научной поэмой». В основу всей статики положен так называемый принцип возможных перемещений, в основу динамики –сочетание этого принципа с принципом Д’Аламбера. Введены обобщённые координаты, разработан принцип наименьшего действия. Впервые со времён Архимеда монография по механике не содержит ни одного чертежа, чем Лагранж особенно гордился.
Великая французская революция 1789 года отнеслась к Лагранжу снисходительно. Ему пожаловали пенсию и оплачиваемое место в комиссии, занимавшейся разработкой метрической системы мер и весов и нового календаря. К большому своему облегчению, Лагранжу удаётся заблокировать революционный проект всеобщего перехода на 12-ричную систему.
В 1792 году Лагранж вновь женился, на Рене-Франсуазе-Аделаиде Лемонье, дочери друга-астронома. Брак оказался удачным.
В 1795 году открыта Нормальная школа, и Лагранж преподаёт там математику. В 1797 году, после создания Политехнической школы, вёл там преподавательскую деятельность, читал курс математического анализа.
В эти годы Лагранж публикует свою знаменитую интерполяционную формулу для приближения функции многочленом. Издаёт книгу «Теория аналитических функций», без актуальных бесконечно малых. Эта работа позже вдохновляла Коши при разработке строгого обоснования анализа. Там же Лагранж дал формулу остаточного члена ряда Тейлора, указал метод множителей Лагранжа для решения задач на условный экстремум.
В 1801 году публикуются «Лекции об исчислении функций».
Наполеон любил обсуждать с деликатным и ироничным Лагранжем философские вопросы. Он пожаловал Лагранжу титул графа, должность сенатора и орден Почётного легиона.
Лагранж внёс существенный вклад во многие области математики, включая вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, решение задач на нахождение максимумов и минимумов, теорию чисел (теорема Лагранжа), алгебру и теорию вероятностей. Формула конечных приращений и несколько других теорем названы его именем. В двух своих важных трудах – «Теория аналитических функций» (1797) и «О решении численных уравнений» (1798) – подытожил всё, что было известно по этим вопросам в его время, а содержавшиеся в них новые идеи и методы были развиты в работах математиков XIX века.
Умер Лагранж 10 апреля 1813 года после длительной болезни, в результате полного истощения сил. Одними из последних его слов были:
Я сделал своё дело. Я никогда, никого не ненавидел, и не делал никому зла.
Выдающийся французский ученый Лаплас в речи над могилой Лагранжа дал такую характеристику деятельности покойного:
…среди тех, кто самым эффективным образом раздвинул пределы наших знаний, Ньютон и Лагранж в самой высокой степени владели счастливым искусством открывания новых данных, представляющих собой существо знаний…
Имя Лагранжа внесено в список 72 величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.
В честь Лагранжа названы:
Имя Лагранжа носят следующие математические объекты:
По материалам Википедии и книги «Шеренга великих математиков» Варшава, изд. Наша Ксенгарня, 1970.