Логарифм что это такое

Логарифмы и их свойства

Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это очень просто и наглядно.

Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим пример:

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 (\(log_<2>(32)\)) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию положительно числа \(a\) называется степень \(c\), в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(b\)

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

Или логарифм шести по основанию 4:

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм \(log_<4>(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6ке:

Значит \(log_<4>(6)\) принадлежите промежутку от 1 до 2:

Как посчитать логарифм

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть \(0\). А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм \(9\) по основанию \(3\): \(log_<3>(9)\)

Пример 2. Вычислить логарифм \(\frac<1><125>\) по основанию \(5\): \(log_<5>(\frac<1><125>)\)

Пример 3. Вычислить логарифм \(4\) по основанию \(64\): \(log_<64>(4)\)

Пример 4. Вычислить логарифм \(1\) по основанию \(8\): \(log_<8>(1)\)

Пример 5. Вычислить логарифм \(15\) по основанию \(5\): \(log_<5>(15)\)

Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\). Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.

\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.

Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

Натуральный логарифм

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой \(3\). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

Пример 9. Воспользоваться формулой \(4\). Логарифм от частного – это разность логарифмов.

Пример 10. Формула \(5,6\). Свойства степени.

Логично, что будет выполняться и такое соотношение:

Пример 11. Формулы \(7,8\). Переход к другому основанию.

Источник

Что такое логарифм. Как посчитать логарифм. Свойства логарифмов. Примеры решения логарифмов

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.

Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.

В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.

Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоегде a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеи преобразовываем вЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеА в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеЕще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеЧтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

И вычислить его можно таким образом:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

loga a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1:

loga 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Необходимо найти значение выраженияЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеСначала преобразуем логарифм

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеВернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеТеперь применим основное логарифмическое тождество и получим:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеЛогарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеМы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Переход к новому основанию

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеКогда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеПодставим полученные результаты в исходное выражение:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выраженияЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое2. Найти значение выраженияЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое3. Найти значение выраженияЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое4. Найти значение выраженияЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое5. Найти значение выраженияЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое6. Найти значение выраженияЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеСначала найдем значениеЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеДля этого приравняем его к Х:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеТогда изначальное выражение принимает вид:

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое7. Найти значение выраженияЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеПреобразуем наше выражение:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеТеперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое8. Найти значение выраженияЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое9. Найти значение выраженияЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеПодставляем полученные значения в исходное выражение:

10. Найти значение выраженияЛогарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такоеОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Источник

Что такое Логарифм

Определение логарифма

Логарифм — это математическая функция, основанная на свойствах возведения в степень.

Значение логарифма соответствует показателю степени данной базы, равному положительному числу “b” в базе “a”, что также должна быть положительной и отличаться от 1.

Чтобы лучше понять концепцию логарифма, необходимо посмотреть на формулу логарифмического уравнения:

“a” = основание, которое должно быть больше нуля (a > 0) и отличаться от единицы (a ≠ 1).

“b” = логарифмируемое число, где b должно быть больше нуля (b > 0).

В этом уравнении мы хотим найти, в какую степень (х) нужно возвести a, чтобы получилось b, т. е. aˣ = b.

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое, потому что Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Формулы и свойства логарифмов

Некоторые из основных правил логарифма:

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Формулы перехода к новому основанию:

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Решение логарифмов — примеры

Пример 1

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Пример 2

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

ОДЗ логарифма

Как определить Область Допустимых Значений логарифма:

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Для определения ОДЗ логарифма мы обращаем внимание только на то, что стоит в скобках, и указываем, что вся эта часть больше ноля.

График логарифмической функции

Примерно таким образом может выглядеть график логарифмической функции (одна из линий на рисунке):

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Свойства логарифмической функции Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое:

Логарифм Непера или натуральный логарифм

Состоит из логарифма, основанного на иррациональном числе, которое называется «число Эйлера», пишется как «e» и приблизительно равно 2,718281. Является обратной функцией к экспоненциальной функции.

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Название логарифма («логарифм Непера») произошло от имени его изобретателя — математика Джона Непера.

Десятичный логарифм

Это наиболее распространённая модель математических вычислений, особенно в так называемых логарифмических шкалах (или логарифмическом масштабе). Например: шкала pH, шкала Рихтера интенсивности землетрясений, шкала частоты звука — нотная шкала, и другие. И характеризуется тем, что основание (её логарифма) равно 10.

Десятичный логарифм может быть представлен без указания его основания.

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

История логарифма

Первоначально концепция логарифма была создана шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) в 17-м веке, с целью упрощения сложных тригонометрических расчётов.

Английский математик Генри Бриггс (1561–1630) также внёс свой вклад в исследования логарифма и считается одним из ответственных за улучшение десятичного логарифма и за создание его современной версии.

Этимологически слово «логарифм» образовано объединением двух греческих терминов: λόγος — «основание» и ἀριθμός — «число».

Источник

Что такое логарифм

Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.

Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:

2 12 22 32 42 52 6
248163264

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

Например, 2 3 = 8 ⇒ log2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.

2 12 22 32 42 52 6
248163264
log2 2 = 1log2 4 = 2log2 8 = 3log2 16 = 4log2 32 = 5log2 64 = 6

Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
log2 5 = 2,32192809.
log3 8 = 1,89278926.
log5 100 = 2,86135311.

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log2 5, log3 8, log5 100.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

Как считать логарифмы

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Логарифм что это такое. Смотреть фото Логарифм что это такое. Смотреть картинку Логарифм что это такое. Картинка про Логарифм что это такое. Фото Логарифм что это такое

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log e x

Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *