Выведите формулу для ускорения грузов на машине атвуда
Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда: формулы и пояснения
Использование простых механизмов в физике позволяет изучать различные природные процессы и законы. Одним из этих механизмов является машина Атвуда. Рассмотрим в статье, что она собой представляет, для чего используется, и какие формулы описывают принцип ее работы.
Что такое машина Атвуда?
Названная машина представляет собой простой механизм, состоящий из двух грузов, которые соединены переброшенной через неподвижный блок нитью (веревкой). В данном определении следует пояснить несколько нюансов. Во-первых, массы грузов в общем случае являются разными, что обеспечивает наличие у них ускорения под действием силы тяжести. Во-вторых, нить, связывающая грузы, считается невесомой и нерастяжимой. Эти предположения значительно облегчают последующие расчеты уравнений движения. Наконец, в-третьих, неподвижный блок, через который переброшена нить, также считается невесомым. Кроме того, во время его вращения пренебрегают силой трения. Ниже на схематическом рисунке показана эта машина.
Вам будет интересно: Пространственная экономика: описание специальностей и структура
Вам будет интересно: Что такое подполье? Подпольная организация «Молодая гвардия». Антифашистское движение
Машина Атвуда была изобретена английским физиком Джорджем Атвудом в конце XVIII века. Служит она для изучения законов поступательного движения, точного определения ускорения свободного падения и экспериментальной проверки второго закона Ньютона.
Уравнения динамики
Каждый школьник знает, что ускорение у тел появляется только в том случае, если на них оказывают действие внешние силы. Данный факт был установлен Исааком Ньютоном в XVII веке. Ученый изложил его в следующем математическом виде:
Где m – инерционная масса тела, a – ускорение.
Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда предполагает знание соответствующих уравнений динамики для нее. Предположим, что массы двух грузов равны m1 и m2, причем m1>m2. В таком случае первый груз будет перемещаться вниз под действием силы тяжести, а второй груз будет двигаться вверх под действием силы натяжения нити.
Рассмотрим, какие силы действуют на первый груз. Их две: сила тяжести F1 и сила натяжения нити T. Силы направлены в разных направлениях. Учитывая знак ускорения a, с которым перемещается груз, получаем следующее уравнение движения для него:
Что касается второго груза, то на него действуют силы той же природы, что и на первый. Поскольку второй груз движется с ускорением a, направленным вверх, то уравнение динамики для него принимает вид:
Таким образом, мы записали два уравнения, в которых содержатся две неизвестных величины (a и T). Это означает, что система имеет однозначное решение, которое будет получено далее в статье.
Расчет уравнений динамики для равноускоренного движения
Как мы видели из записанных выше уравнений, результирующая сила, действующая на каждый груз, остается неизменной в процессе всего движения. Масса каждого груза также не меняется. Это означает, что ускорение a будет постоянным. Такое движение называют равноускоренным.
Изучение равноускоренного движения на машине Атвуда заключается в определении этого ускорения. Запишем еще раз систему динамических уравнений:
Чтобы выразить значение ускорения a, сложим оба равенства, получаем:
Подставляя явное значение сил тяжести для каждого груза, получаем конечную формулу для определения ускорения:
Отношение разницы масс к их сумме называют числом Атвуда. Обозначим его na, тогда получим:
Проверка решения уравнений динамики
Выше мы определили формулу для ускорения машины Атвуда. Она является справедливой только в том случае, если справедлив сам закон Ньютона. Проверить этот факт можно на практике, если провести лабораторную работу по измерению некоторых величин.
Лабораторная работа с машиной Атвуда является достаточно простой. Суть ее заключается в следующем: как только грузы, находящиеся на одном уровне от поверхности, отпустили, необходимо засечь время движения грузов секундомером, а затем, измерить расстояние, на которое переместился любой из грузов. Предположим, что соответствующие время и расстояние равны t и h. Тогда можно записать кинематическое уравнение равноускоренного движения:
Откуда ускорение определяется однозначно:
Отметим, что для увеличения точности определения величины a, следует проводить несколько экспериментов по измерению hi и ti, где i – номер измерения. После вычисления значений ai, следует рассчитать среднюю величину acp из выражения:
Где m – количество измерений.
Приравнивая это равенство и полученное ранее, приходим к следующему выражению:
Если данное выражение оказывается справедливым, то таковым также будет и второй закон Ньютона.
Расчет силы тяжести
Выше мы предположили, что значение ускорения свободного падения g нам известно. Однако при помощи машины Атвуда определение силы тяжести также оказывается возможным. Для этого вместо ускорения a из уравнений динамики следует выразить величину g, имеем:
Чтобы найти g, следует знать, чему равно ускорение поступательного перемещения. В пункте выше мы уже показали, как его находить экспериментальным путем из уравнения кинематики. Подставляя формулу для a в равенство для g, имеем:
Вычислив значение g, несложно определить силу тяжести. Например, для первого груза ее величина будет равна:
Определение силы натяжения нити
Сила T натяжения нити является одним из неизвестных параметров системы динамических уравнений. Выпишем еще раз эти уравнения:
Если в каждом равенстве выразить a, и приравнять оба выражения, тогда получим:
T = (m2*F1 + m1*F2)/(m1 + m2).
Подставляя явные значения сил тяжести грузов, приходим к конечной формуле для силы натяжения нити T:
Машина Атвуда имеет не только теоретическую пользу. Так, подъемник (лифт) использует при своей работе контргруз с целью подъема на высоту полезного груза. Такая конструкция значительно облегчает работу двигателя.
Методические указания к лабораторной работе «Машина Атвуда»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Экспериментальная проверка основных уравнений и законов поступательного движения тела в поле сил земного тяготения, определение ускорения свободного падения лабораторной установке – машине Атвуда.
Время движения грузов измеряется с помощью ручного или стационарного секундомера.
Для выполнения работы машина Атвуда должна быть установлена строго вертикально, что легко проверить по параллельности шкалы и нити.
Второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось для каждого из тел системы (рис.2) в предположении невесомости блока, отсутствия силы трения и нерастяжимости нити дает:
(1)
(2)
Так как начальная скорость в опытах на машине Атвуда обычно равна нулю и движение условно начинается из начала координат, то
(3) 
Третье соотношение часто называют законом перемещений: «Перемещение при равноускоренном движении прямо пропорционально квадрату времени движения».
Соотношение (3) может быть проверено экспериментально на машине Атвуда. Кроме того, машина Атвуда дает возможность экспериментально проверить второй закон Ньютона для поступательного движения: «Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально равнодействующей действующих на него сил и обратно пропорционально массе этого тела».
Подставляя a i в (2) получаем следующую формулу:
(4)
(5)
— сумма проекций на ось Z всех сил, действующих на вращающиеся тело; α- угловое ускорение блока; J – его момент инерции
(6)
Выразим из уравнения (1) разность сил натяжения ( T 1 – T 2 ) и подставив ее в уравнение (6) получим:
(7)
Выразим ускорение грузов a :
(8)
Учитывая, что значение момента инерции блока
(9),
k- коэффициент распределения массы блока относительно оси вращения (k
11) 
Задание 1. Проверка второго закона Ньютона.
Поскольку ускорение движения является функцией двух переменных – силы и массы, то изучение второго закона Ньютона выполняется путем раздельного исследования двух зависимостей: 1) зависимости ускорения от действующей силы при постоянной массе системы и 2) зависимости ускорения от массы системы при постоянной действующей силе.
Исследование зависимости ускорения от силы при постоянной массе
Измерения и обработка результатов
3. Измеряют время равноускоренного движения системы на пути, например, 1 метр. Все данные заносят в таблицу 1.3 отчета.
4. Пользуясь законом путей (1.6), вычисляют ускорение а.
5. Поводят еще 5-6 опытов, последовательно увеличивая массу перегрузков.
6. Строят график зависимости ускорения движения от действующей силы. Точку ( F =0, a =0) на графике не откладывают. Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом и прямая проходит через начало координат, то можно сделать вывод о том, что ускорение действительно прямо пропорционально силе.
7. По угловому коэффициенту полученной прямой определяют массу системы и сравнивают ее реальной массой.
Исследование зависимости ускорения от массы при постоянной силе
Измерения и обработка результатов
1. Все опыты проводят с одним и тем же перегрузком, т.е. при постоянной действующей силе. Ускорение системы измеряется также как и в предыдущем задании.
2. Для изменения массы системы одновременно на правый и левый груз кладут дополнительные одинаковые грузы. Все данные записывают в таблицу отчета.
3. График обратно пропорциональной зависимости ускорения от массы представляет собой гиперболу, которую невозможно идентифицировать. Для проверки предположения об обратно пропорциональной зависимости между ускорением и массой 
необходимо построить график зависимости ускорения от обратного значения массы системы: a = f (М -1 ). Подтверждением предположения является прямолинейность этого графика.
4. По угловому коэффициенту полученной прямой определяют значение приложенной силы и сравнивают ее с реально действующей в системе
Задание 2. Определение ускорения движения грузов
В полученном уравнении прямой 
коэффициент k равен половине ускорения системы: k=a/2. Это позволяет вычислить ускорение грузов ( a =2 k ) в данном опыте и определить погрешность его измерения. Произведите необходимые вычисления и занесите результаты в отчет.
Задание 3. Определение ускорения свободного падения
(Выполняется по результатам измерений и вычислений, проведенных в первом и втором заданиях). Зная массы грузов и перегрузка, а также ускорение движения системы, из формулы (3) найдите ускорение свободного падения. Результаты занесите в отчет. В выводе сравните полученный результат с табличной величиной.
Для нахождения погрешности измерения величины ускорения свободного падения Δ g используем формулу:
12) 
где 
; 
; 
; 
;
– частные производные функции
Проанализируйте результаты своих наблюдений и сформулируйте вывод.
Контрольные вопросы
Какое движение называется поступательным?
Дайте определение инерциальной системы отсчета. Приведите примеры ИСО.
Сформулируйте первый закон Ньютона. Приведите примеры его проявления.
Дайте определение инертной массы тела. Гравитационной? От чего и как зависит масса тела?
Сформулируйте второй закон Ньютона. Приведите варианты его математической формы.
Покажите все силы, действующие на один из грузов в машине Атвуда, и составьте для него уравнение динамики.
Запишите систему уравнений динамики для машины Атвуда с учетом момента инерции блока. Силы трения в блоке?
ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА
Цель работы – изучение динамики поступательного движения связанной системы тел с учетом сил трения.
Приборы и принадлежности: машина Атвуда, смонтированная на лабораторном модуле ЛКМ–3, набор грузов и перегрузов, нить с крючками длиной 60 см (зеленая), измерительная система ИСМ–1 (секундомер).
Введение
Рассмотрим движение механической системы, состоящей из вращающегося легкого блока, через который перекинута нить с привязанными грузами массами m1и т2(т1 2
2. Рассчитайте ускорение грузов по формуле (9).
3. Рассчитайте ускорение свободного падения g по формуле (5).
4. Повторите измерения и расчеты по пп.2–4 не менее 5 раз и рассчитайте среднее ускорение грузов а и среднее ускорение свободного падения g.
5.Замените перегрузок 10 г на другой, массой 20 г. Повторите измерения по пунктам 2-5.
6. Проведите те же опыты по п. 2 – 6 с перегрузками в 10 г и 20 г, изменив массу наборных грузов вдвое (m1≈ т2≈ 200 г).
7. Найдите среднее значение ускорения свободного падения g по всем измерениям.
8. Оцените абсолютную и относительную погрешность нахождения ускорения свободного падения g по методу Стьюдента. Результат запишите в стандартном виде:
Задание II.Определение ускорения свободного падения
с учетом трения в подшипниках оси блока
Разность масс грузов в нашем эксперименте составляет всего 2 – 10 % от их суммарной массы (при большей разности масс движение грузов становится слишком быстрым, что приводит к выходу из строя установки). При этом на результаты эксперимента заметно влияет трение в подшипниках оси блока. Введя в уравнение движения грузов некоторую «эффективную» силу сопротивления F, получим уравнение движения грузов с учетом силы трения в подшипниках оси блока
откуда
(11)
Отношение 
в случае сухого трения в первом приближении постоянно. Рассчитайте коэффициенты 
для каждого значения массы и заполните таблицу.
Построив график зависимости ускорения а от величины k и убедившись в том, что эта зависимость линейная, найдите g как угловой коэффициент графика. Ускорение свободного падения можно найти так же как
, (12)
где Δa – разность между ускорениями системы при разных массах, а разность Δk = k2 – k1 вычисляется для соответствующих значений масс.
Сравните результаты, полученные в первом и втором заданиях.
Отношение можно найти как экстраполированное значение произведения k∙g,при котором а = 0.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение кинематическим характеристикам материальной точки, движущейся прямолинейно: траектории, перемещению, пути, скорости, ускорению.
2. Дайте определение кинематическим характеристикам материальной точки, движущейся по окружности: углу поворота, угловой скорости, угловому ускорению. Какова связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками?
3. Что изучает динамика поступательного движения? Как вводится понятие силы, действующей на частицу, и массы частицы в динамике? Записать уравнение движения материальной частицы.
4. Как изменяется закон сухого трения в зависимости от внешнего воздействия на тело, находящегося на поверхности другого тела? От каких факторов зависит коэффициент трения? Другие виды трения. Анализ движения тела по наклонной плоскости при разных углах наклона.
5. Выведите основную рабочую формулу (5).
Задания для отчета по лабораторной работе
1. Ускорение свободного падения у поверхности Луны в 6 раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли.
Во сколько раз выше может прыгнуть человек на Луне, чем на Земле?
4. Радиус Солнца Rс примерно в 110 раз больше радиуса Земли Rз, а средняя плотность Солнца относится к средней плотности Земли как 1:4. Найти ускорение свободного падения у поверхности Солнца.
5. Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность
6. Через неподвижный блок перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами m1= 2 кг и m2 = 3 кг (см. рис.1). Найти ускорение грузов. Массой блока пренебречь, нить считать невесомой и нерастяжимой.
7. Через блок перекинута нить, на концах которой висят два груза с одинаковыми массами М. Одновременно, на каждый из грузов кладут по перегрузку: справа – массой 3m, слева – m (рис 3.). Определить ускорение системы.
8. Через неподвижный блок перекинута нить, к которой подвешены три одинаковых груза массой m = 5 кг каждый (рис.4). Найти ускорение системы и силу натяжения нити между грузами 1 и 2.
Рис. 3 (к задаче 7) Рис. 4 (к задаче 8)
9. На углу гладкого стола укреплен неподвижный блок (рис. 5), через него перекинута нить, к концам которой привязаны грузы. Масса груза, лежащего на столе m1 = 5 кг, масса второго груза m2 = 2 кг. С каким ускорением движутся грузы?
10. Два груза массами m1 и m2 соединены легкой нерастяжимой нитью (см. рис. 5). Коэффициент трения между грузом и столом μ. Определить условие, при котором грузы будут двигаться.
11. На наклонной плоскости с углом α лежит брусок массой m1. Груз массой m2 присоединен к бруску при помощи нити, перекинутой через блок (рис. 6). Определить ускорение тел и силу натяжения нити.
Рис. 5 (к задаче 10) Рис. 6 ( к задаче 11)
12. Три груза m, m и 4m, где m = 5 кг, соединены невесомыми нерастяжимыми нитями (рис. 7). Коэффициент трения между грузами и горизонтальной поверхностью µ = 0,3. Определить силы натяжения нитей.
13. Два груза массами m1 = 100 г и m2 = 50 г соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (рис. 8). Грузы прижимаются друг к другу с постоянными силами F = 1 Н. Коэффициент трения между ними µ = 0,1. Найти ускорение, с которым движутся грузы.
Рис. 7 (к задаче 12) Рис. 8 (к задаче 13)
14. Колесо радиусом R = 10 см вращается с угловым ускорением 3,14 рад/с. Найти для точек обода к концу первой секунды угловую скорость.
16. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
20. На наклонной плоскости с углом при основании α находится доска массой M и на ней брусок массой m (M > m) (рис. 9). Коэффициент трения между доской и плоскостью μ, между доской и бруском –2µ. Определить ускорение этих тел. При каком отношении масс тела будут находиться в равновесии?
Лабораторная работа № 4
МАЯТНИК ОБЕРБЕКА
Цель работы – изучение основного закона динамики вращательного движения, определение момента инерции системы грузов.
Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, два круглых груза, груз наборный, нить длиной 55 см с крючком (синяя), измерительная система ИСМ-1 (секундомер), пластиковый фиксатор.
Краткая теория
Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
(1)
связывает кинематическую характеристику движения – угловое ускорение 
с динамическими характеристиками – моментом силы 
и моментом инерции I (рис. 1).
Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости во времени и направлено, как и момент силы, вдоль оси вращения.
Рис. 1. Момент M силы F
. (2)
Угловое ускорение связано с касательной составляющей линейного ускорения аτточки вращающегося тела соотношением
, (3)
где r –- кратчайшее расстояние от этой точки до оси вращения.
Моментом силы в общем случае называют векторную величину
, (4)
где 
– сила, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения; 
– вектор, соединяющий точку на оси c точкой приложения силы.
В уравнении (1) – сумма составляющих моментов сил вдоль направления оси вращения.
Выражая Δmi через плотность тела: Δmi =ρ ΔVi ,где ΔVi – элементарный объем тела, и переходя к пределу при ΔVi → 0, получим
(6)
Формула (6) позволяет теоретически найти момент инерции любого тела. Например, момент инерции тонкого однородного стержня длиной l и массой т относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его центр,
Теорема Штейнера устанавливает связь между моментом инерции Iс твердого тела относительно оси, проходящей через центр инерции, и моментом инерции относительно другой оси, параллельной первой
где а – расстояние между осями, т – масса тела.
В настоящей работе экспериментально находится момент инерции маятника Обербека (рис.2). Он состоит из блока радиусом R, который может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. К блоку прикреплены симметрично относительнооси стержни, на каждом из которых могут свободно перемещаться грузы массами m1, что дает возможность изменять момент инерции маятника. Грузы m1 устанавливаются на одинаковом расстоянии от оси, так что центр инерции всей вращающейся части маятника находится на оси вращения.
Рис. 2. Маятник Обербека
К концу нити прикреплен груз массой m. Из закона динамики вращательного движения следует
. (8)
Момент силы М, создающийся силой натяжения нити, исходя из (4)
, (9)
где α – угол между вектором 
и отрезком R на рис. 2, равный 90°; sin α= 1.
Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения груза m в проекции на направление ускорения а,
. (10)
В этой формуле сила натяжения нити T, действующая на груз, по модулю равна силе натяжения нити, действующей на блок в формуле (9) (поэтому они обозначены одинаково). Это справедливо, если массой нити можно пренебречь по сравнению с массой груза т.
. (11)
Тангенциальное (касательное) ускорение точек участков нити, намотанной на блок, и точек на ободе блока равны, если нет проскальзывания нити по блоку, и равны ускорению груза m, если нить нерастяжима.
(13)
Подставляя (11)и(12)в (8), получим
Из этой формулы следует, что ускорение (а) не зависит от времени, так как все остальные величины в этом уравнении постоянны, значит, движение маятника будет равноускоренным и при нулевой начальной скорости.
(14)
где h – путь, пройденный грузом т за время t.
В данной работе измеряется время одного полного оборота блока, и за это время груз массой m пройдет путь
Подставив (14) и (15) в (13), получим формулу для вычисления момента инерции маятника
Момент инерции маятника Обербека будет изменяться при изменении расстояния r от оси вращения маятника до центров грузов массами m1, перемещаемых вдоль стержней.
Согласно теореме Штейнера (7)
, (17)
где Ic – момент инерции всей вращающейся части маятника при условии, что центры грузов m1находились бы на оси вращения.
Из (17) следует, что зависимость 
от 
– линейная. В рассмотренной теории движения маятника Обербека не учитывались силы трения в подшипниках оси блока и сопротивление воздуха. Пренебрежение действием этих сил является главной причиной систематической погрешности измерения момента инерции.
Описание установки
Маятник Обербека монтируется на блоке 11, закрепленном на стойке 10 модуля ЛКМ–3 (рис. 3). К блоку радиусом 25 мм прикрепляют нить, к концу которой подвешивают наборный груз массой т= 100 ÷ 200 г. На ось блока через среднее отверстие надевают стержень 12 и закрепляют его пластиковым фиксатором 13. Вращая стержень, накручивают на блок нить и поднимают груз так, чтобы он не касался стержня. При опускании груза нить приведет во вращательное движение стержень. После полного раскручивания нити стержень, продолжая вращательное движение, накрутит нить на блок и поднимет груз. При этом вращательное движение прекратится – система перейдет в начальное состояние.
Время опускания и подъема груза (период колебаний маятника Обербека) зависит от многих параметров установки: длины нити, массы груза т, момента инерции стержня и блока, радиуса блока (от сил трения, толщины и массы нити, которыми мы в данной работе пренебрегаем).
Порядок выполнения работы
Задание I.Определение момента инерции стержня и блока
Рис. 3. Маятник Обербека на модуле ЛКМ-3
1. Закрепите конец нити на блоке так, чтобы нить не мешала креплению стержня и могла накручиваться на большой блок
(R = 25 мм). Укрепите стержень на оси блока, пропустив ось блока через середину стержня, и зафиксируйте его пластиковым фиксатором.
2. Накрутите нить на блок и прикрепите наборный груз тк свободному концу нити.
3. Поверните блок 11 со стержнем 12 так, чтобы прорезь блока совпала с нулевым делением шкалы и добейтесь срабатывания индикатора датчика угла поворота 3. Нажмите кнопку 7 «готов» и осторожно, без толчка, отпустите маятник, который под действием груза придет в движение. После одного полного оборота сработает датчик угла поворота блока и на индикаторе появится значение времени поворота в секундах или миллисекундах в зависимости от положения переключателя 2. Время и массу груза занесите в табл. 1.
| № п/п | т | T | I | I – | (I – ) 2 |
| … | |||||
| … | |||||
| среднее | ― | ― | ― | ― | |
| сумма | ― | ― | ― | ― |
4. Рассчитайте по формуле (16) суммарный момент инерции I стержня блока.
5. Рассчитайте абсолютную и относительную погрешности измерения момента инерции I системы по методу Стьюдента для прямых измерений. Результат запишите в стандартном виде:
Задание II.Измерение момента инерции маятника Обербека в зависимости от положения грузов на стержне
1. Закрепите на стержне 12 симметрично относительно оси вращения два круглых груза 14 (см. рис. 3). Занесите в табл. 2 расстояние от оси вращения до центра грузов r, и массу наборного груза т.
| № п/п | т | T | r | r 2 | I |
Перемещая грузы 14 по стержню 12, повторите измерения момента инерции I для всех положений грузов (расстояние между отверстиями на стержне d = 20 мм).
Постройте график зависимости момента инерции I от квадрата расстояния от оси вращения до центра грузов r 2 .
Контрольные вопросы
2. Вывод основного уравнения динамики вращательного движения.
3. Вывод основной рабочей формулы (16).
4. Выражения для момента инерции материальной частицы, стержня, диска относительно оси, проходящей через центр масс. Как определяется момент инерции относительно произвольной оси? Теорема Штейнера.
5. Провести аналитический расчет момента инерции маятника Обербека. Как рассчитать период колебаний маятника Обербека?
Задания для отчета по лабораторной работе
1. Два маленьких шарика массой m = 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной l = 20 см. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.
2. Два шара массами m и 2m (m = 10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l = 40 см так, как это указано на рис. 4. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.
3. Два шара массами 2m и m (m = 20 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l = 1 м так, как это показано на рис. 5 Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.
Рис. 4 (к задаче 2) Рис. 5 (к задаче 3)
5. Определить момент инерции трехатомной молекулы SO2 (рис. 6) относительно оси x, проходящей через центр масс молекулы
(d = 0, 145 нм, α = 124 о ).
6. Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной l = 30 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. Определить момент инерции 
тонкого однородного стержня длиной l = 60 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на
a = 20 см от одного из его концов.
7. На концах тонкого однородного стержня длиной l и массой 3 m прикреплены маленькие шарики массами m и 2 m. Определить момент инерции такой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, лежащую на середине стержня (рис. 7).
8. Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольника со сторонами a = 12 см и b = 16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью 0,1 кг/м.
9. Определить момент инерции проволочного равностороннего треугольника со стороной a = 10 см относительно: оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину и середину противоположной стороны.
10. Определить момент инерции кольца массой m = 50 г и радиусом R = 10 см относительно оси, касательной кольцу.
11. Диаметр диска d = 20 см, масса m = 800 г. Определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.
12. Найти момент инерции плоской однородной прямоугольной пластины массой m = 800 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина a другой стороны равна 40 см.
14. В однородном диске массой m = 1 кг и радиусом R = 30 см вырезано круглое отверстие диаметром d =20 см, центр которого находится на расстоянии l = 15 см от оси диска (рис. 8). Найти момент инерции полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр.
Рис. 8 (к задаче 14) Рис. 9 ( к задаче 15)
16. Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,5 кг. Определить силы T1и T2 натяжения нити по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.
17. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузы массой m1 = 100 г и m2 = 110 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если масса блока m = 400 г. Трение при вращении блока ничтожно мало.
18. Два тела массами m1 = 0,25 г и m2 = 0,15 г связаны тонкой нитью, переброшенной через блок (рис. 10). Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой m1.
С каким ускорением движутся тела, и каковы силы T1 и T2 натяжения нити по обе стороны блока? Коэффициент трения µ тела о поверхность стола равен 0,2. Масса m блока равна 0,1 г, и ее можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь.
19. Однородный сплошной цилиндр массой m = 1 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях (рис.11). Цилиндр отпускают без толчка. а) За сколько времени t цилиндр опустится на расстояние y =50 см? б) Какое натяжение F испытывает при опускании цилиндра каждая из нитей?
Рис. 10 ( к задаче 18) Рис. 11 ( к задаче 19)
Лабораторная работа № 5
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Цель работы – изучение физического маятника, определение ускорения свободного падения.
Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, измерительная система ИСМ-1 (секундомер), пластиковый фиксатор.
Краткая теория
Физический маятник – твердое тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси O(рис. 1).
Рис. 1. Физический маятник
Запишем основное уравнение динамики вращательного движения.
где I – момент инерции маятника;
где т– масса маятника, g –- ускорение свободного падения, а –- расстояние от оси вращения до центра тяжести.
Уравнение движения (1) с учетом (2) примет вид
. (3)
Уравнение (3) является линейным дифференциальным уравнением относительно функции φ(t).
Если амплитуда колебаний физического маятника не мала, дифференциальное уравнение (3) не будет линейным. Для больших углов отклонений маятника период Т начинает зависеть от амплитуды колебаний φm . Эту зависимость можно представить суммой бесконечного ряда, первые слагаемые которого равны
. (4)
При малых колебаниях угол φ мал, поэтому sinφ ≈ φ и уравнение (3) становится дифференциальным уравнением гармонических колебаний
. (5)
Решение этого уравнения:
Запишем формулу периода малых колебаний, как
(7)
Получим зависимость периода малых колебаний от расстояния а. Момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен
, (8)
(9)
Согласно этой формуле период колебаний Т одинаков при двухразличных значениях а (рис. 2): Т1 = Т2 при
, откуда
. (10)
Подставим (10) в формулу (9). Получим
(11)
Величина 
(12)
называется приведенной длиной физического маятника.
Сравнивая формулы (11) и (7) получим
(13)
Формула для периода малых колебаний маятника будет иметь следующий вид
. (14)
В данной работе с помощью физического маятника находится ускорение свободного падения g,которое исходя из уравнения (14),
. (15)
Приведенная длина 
находится из формулы (12), в которой а1и а2определяются из графика зависимости Т от а, построенного на основе результатов эксперимента.
Для уменьшения погрешности измерения в эксперименте измеряют период колебаний маятника относительно осей, находящихся по обе стороны от центра тяжести. На рис. 2 представлена теоретическая зависимость периода колебаний от параметра a, которая зеркально симметрична относительно оси Т.
 |
Рис. 2. Зависимость периода колебаний маятника от параметрa a
На рисунке приведенная длина маятника Lnp