Как доказать что функция обратима

Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики

Понятие обратной функции

Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

Нахождение взаимно обратных функций

Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.

Решение

Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

Решение

В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.

На графике обе функции будут выглядеть так:

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Основные свойства взаимно обратных функций

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р и в и д е н и я = a r c sin sin π 3 = π 3

Графики взаимно обратных функций

На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Графики для функций с a > 1 и a 1 будут выглядеть так:

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

График главной ветви косинуса и арккосинуса выглядит так:

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

График главной ветви арктангенса и тангенса:

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.

Источник

Обратимые и обратные функции

Обратимой называется функция в которой произвольному значению функции соответствует единственное значение аргумента.

Примеры обратимых функций:

Исходная обратимая функция и функция, полученная из нее путем замены x на y и y на x, называются обратными.

Примеры обратных функций:

Однако, если рассматривать данную функцию только на множестве положительных чисел, она будет обратимой:

Графики функций будут симметричны относительно прямой y=x:

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Функция y=arcsin(x)

Поскольку функция y=sin(x) является периодической, она не является обратимой.

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Для построения функции, обратимой y=sin(x), необходимо взять один из полупериодов функции, обычно это отрезок [-π/2;π/2], на котором функция обратима.

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

График функции y=arcsin(x):

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Например, чтобы найти arcsin(1), можно воспользоваться равенством 1=sin(y). Угол на отрезке [-π/2;π/2], синус которого равняется 1, будет равен 90° или π/2.

Функция y=arccos(x)

Поскольку функция y=cos(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=cos(x), необходимо взять один из полупериодов функции, обычно это отрезок [0;π], на котором функция обратима.

График функции y=arccos(x):

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Например, чтобы найти arccos(1), можно воспользоваться равенством 1=cos(y). Угол на отрезке [0;π], косинус которого равняется 1, будет равен 0.

Функция y=arctg(x)

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Поскольку функция y=tg(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=tg(x), необходимо рассматривать тангенсоиду на отрезке [-π/2;π/2], на котором функция обратима.

График функции y=arctg(x):

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Функция y=arcctg(x)

Поскольку функция y=ctg(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=ctg(x), необходимо рассматривать котангенсоиду на отрезке [0;π], на котором функция обратима.

График функции y=arcctg(x):

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Код кнопки: Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима
Политика конфиденциальности Об авторе

Источник

АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция по теме «Обратная функция»

ПОНЯТИЕ ОБРАТИМОЙ ФУНКЦИИ.

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ОБРАТИМОСТИ.

На рисунках приведены две функции, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет (рис.1). Таким образом, функция Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимаобладает свойством, не характерным для функции Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима: какое бы число Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимаиз множества значения функции f(x) ни взять, оно является значением функции только в одной точке Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима. Говорят, что такая функция обратима.

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

У функции Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимазначение Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимаможно получить сразу в трех точках Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима. Поэтому такая функция не обратима.

Определение 1. Функцию Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратиманазывают обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Теорема. Если функция Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимамонотонна на множестве X, то она обратима.

Попробуйте самостоятельно определить, какая из предложенных функций обратима?:

а) Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

б) Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

а) – функция и возрастает и убывает, значит, она немонотонна, поэтому необратима

б) – функция убывает, значит, она монотонна, поэтому обратима

в) – линейная функция, k=2, то есть функция возрастает, значит, она монотонна, поэтому обратима

г) – квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз, то есть функция и возрастает и убывает, значит, она немонотонна, поэтому необратима

Замечание. Монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Например, мы можем взять немонотонную функцию и рассмотреть ее только на одном промежутке, где она только возрастает или только убывает, тогда условие обратимости будет выполняться. Например, функция Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимапри Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимабудет возрастающей функцией, поэтому при таких значениях х она обратима.

ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ.

АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ.

Алгоритм составления обратной функции для функции y=f(x), Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима.

Пример 1. Показать, что для функции y=2x-5 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=2x-5 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимаотносительно х;

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Переобозначим переменные, получим искомую обратную функцию

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимаОна определена и возрастает на R.

Пример 2. Показать, что для функции Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимапри Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимасуществует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима– квадратичная функция. При Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимафункция непрерывна, монотонно возрастает в своей области определения, следовательно, она обратима. Найдем ее:

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Так как по условию Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима, то Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима– обратная функция для Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Источник

Обратная функция

Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо :

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

2) Из полученного равенства выразить y через x:

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой берём две точки.

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимаОднозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой).

Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.

Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.

Классический пример — функция y=x². На промежутке [0;∞) функция возрастает. Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.

Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x². Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

1 комментарий

Для физических задач говорить об обратной функции, думаю, можно лишь для безразмерных у и х. При различии их размерностей, значит, и осей их графиков, надо для обратной функции поворачивать и оси.
Тогда лучше говорить о выражении аргумента х в явном виде, не упоминая об обратной функции. Значит, надо функцию у=ах/С+в, где х и С имеют, например, одинаковую размерность (например, кг), представить в виде уравнения ах/С+в-у=0. Из него можно выразить в явном виде у или х. Тогда либо у, либо х надо будет считать функцией с собственной координатной осью с собственной размерностью. При этом ось функции обычно является вертикальной.
Вопрос: можно ли считать выраженные в явном виде функции у и х обратными?

Источник

Взаимно обратные функции

Функция, обратная данной

По определению (см. §34 справочника для 7 класса)

Функция – это соответствие, при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Пусть некоторое соответствие задано таблицей:

Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной

Шаг 2. Из полученной формулы выразить y(x). Искомое выражение для обратной функции найдено.

Шаг 3. Учесть ограничения для области определения и области значений исходной и/или обратной функций.

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

Шаг 3. На исходную функцию накладываются ограничения

Шаг 3. На обратную функцию накладываются ограничения

Исходная функция — парабола получает ограничения из-за обратной функции; только в этом случаи функции будут взаимно обратными.

Свойства взаимно обратных функций

1. Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений функции f является областью определения функции g.

2. Функции f и g либо одновременно возрастающие, либо одновременно убывающие.

4. Графики f и g симметричны относительно биссектрисы 1-й четверти y = x.

5. Справедливы тождества f(g(x) ) = x и g(f(x) ) = x.

Графики пар взаимно обратных функций, найденных выше:

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимаКак доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима
Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратимаКак доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

Примеры

Пример 1. Задайте формулой функцию, обратную данной.

Меняем аргумент и значение: x = 5y-4

Меняем аргумент и значение: x = 4y+1

$6 \ge x \ge 2,5 \Rightarrow 2,5 \le x \le 6$

Пример 2. Найдите функцию, обратную данной.

Постройте график исходной и обратной функции в одной системе координат.

$x = y^2 \Rightarrow y = \pm \sqrt$

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

$x = y-3 \Rightarrow y = x+3$

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

$x = \frac<1> \Rightarrow y = \frac<1> -1$

Как доказать что функция обратима. Смотреть фото Как доказать что функция обратима. Смотреть картинку Как доказать что функция обратима. Картинка про Как доказать что функция обратима. Фото Как доказать что функция обратима

$x = 1+ \sqrt \Rightarrow y = (x-1)^2+3$

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *