Как доказать что график функции принадлежит прямой

Построение графиков функций

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямойобласть определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функцииКак доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Выделим в формуле функции целую часть:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

xy
0-1
12

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

xy
02
11

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

xy
00
12

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Задача 5. Построить график функции Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Задача 6. Построить графики функций:

б) Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

г) Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

д) Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а) Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Сдвигаем график вверх на 1:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

б)Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Сдвигаем график вправо на 1:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Сдвигаем график вправо на 1:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Сдвигаем график вверх на 2:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

г) Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Преобразование в одно действие типа Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

д) Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой
Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой
Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой
Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой
Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник

Область определения функции

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).

Пример

Найти область определения функции: Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Значит парабола a(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

Рассмотрим несколько примеров.

Область определения показательной функции

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = logax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область определения функции: Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Составим и решим систему:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямойи x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

В результате Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Отразим графически:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Ответ: область определения: Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой.

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.

Функция

Область определения функции

Источник

Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства.

теория по математике 📈 функции

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямойНа рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом. Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11

Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Источник

Задание 9 ЕГЭ по математике. Графики функций

В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №9 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

Как формулируется задание 9 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

Вот необходимая теория для решения задания №9 ЕГЭ.

Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 9 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

Рекомендации:

Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

Задание 9 в формате ЕГЭ-2021

Линейная функция

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Вычтем из первого уравнения второе:

Уравнение прямой имеет вид:

2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Запишем формулы функций.

Вычтем из первого уравнения второе.

Прямая задается формулой:

Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен

Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: эта прямая задается формулой

Для точки пересечения прямых:

Квадратичная функция. Необходимая теория

4. На рисунке изображен график функции Найдите b.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

На рисунке — квадратичная парабола полученная из графика функции сдвигом на 1 вправо, то есть

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

6. На рисунке изображён график функции Найдите

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Формула функции имеет вид:

7. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:

(это абсцисса точки A) или (это абсцисса точки B).

Степенные функции. Необходимая теория

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

График функции проходит через точку (2; 1); значит,

Для точек A и B имеем:

Отсюда (абсцисса точки A) или (абсцисса точки B).

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Функция задана формулой:

Ее график проходит через точку (4; 5); значит,

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Показательная функция. Необходимая теория

11. На рисунке изображён график функции Найдите

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции получим:

Поделим второе уравнение на первое:

Подставим во второе уравнение:

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

График функции проходит через точку Это значит, что

Логарифмическая функция. Необходимая теория

13. На рисунке изображён график функции Найдите

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

График функции проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

Вычтем из второго уравнения первое:

или — не подходит, так как (как основание логарифма).

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Тригонометрические функции. Необходимая теория

15. На рисунке изображён график функции Найдите

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

График функции сдвинут на 1,5 вверх; Значит, Амплитуда (наибольшее отклонение от среднего значения).

16. На рисунке изображён график функции

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

На рисунке — график функции Так как

График функции проходит через точку A Подставим и координаты точки А в формулу функции.

17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения

Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть фото Как доказать что график функции принадлежит прямой. Смотреть картинку Как доказать что график функции принадлежит прямой. Картинка про Как доказать что график функции принадлежит прямой. Фото Как доказать что график функции принадлежит прямой

Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то

Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 9 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *