Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

ГСомСтрия

А Π’Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ инвСстируСтС?
Π‘Π»Ρ‹ΡˆΠ°Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎ Π°ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² ΠΏΠΎΠ΄Π°Ρ€ΠΎΠΊ?

ЗарСгистрируйся ΠΏΠΎ этой ссылкС
ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈ Π°ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π΄ΠΎ 100.000 Ρ€ΡƒΠ±

План ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°:

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π£ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ всС стороны, ΠΈ всС ΡƒΠ³Π»Ρ‹. Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС ΠΎΠ½ имСнуСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ.

Нам ΡƒΠΆΠ΅ извСстны Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠΈ. НапримСр, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ являСтся равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π£ Π½Π΅Π³ΠΎ всС стороны ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Π° всС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎ 60Β°. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ – ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΎΠΉ являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ стороны, Π° ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ 90Β°.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ всС стороны, Π° ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ являСтся Ρ€ΠΎΠΌΠ±. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° ΠΈ обратная ситуация – всС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρƒ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Π½ΠΎ стороны ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ своСй Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ являСтся ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ (Π² частности, Ρ€ΠΎΠΌΠ± ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ) НЕ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Для любого Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа n, начиная ΠΎΡ‚ n = 3, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ n-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. На рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… n-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²:

БущСствуСт Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, которая позволяСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² любом Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΌ n-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ 180Β°(n– 2). ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ° Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ Ξ±. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ n-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ n ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΈ всС ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ равСнство:

Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Π΅Ρ€Π½Π° для равностороннСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³-ΠΊΠ° ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΈ позволяСт ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π² этих Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ…. Для Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° n = 3, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 60Β°:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. Какова Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅, ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅, Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΡΡ‚ΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅?

РСшСниС. Надо просто ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ число сторон ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° считаСм для ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. Бколько сторон Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² Π½Π΅ΠΌ Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 179Β°?

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊ, ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 145Β°?

РСшСниС. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ сущСствуСт. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ количСство Π΅Π³ΠΎ сторон:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅, Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ количСство сторон. ЕстСствСнно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚.

Описанная ΠΈ вписанная окруТности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ΅.

Для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ n-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ А1, А2, А3…Аn. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ биссСктрисы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ∠А1 ΠΈ ∠А2. Они пСрСсСкутся Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ О. Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠΌ О с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ОА3, ОА4 ΠΈ Ρ‚. Π΄.

∠А1 ΠΈ ∠А2 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°:

Из этого Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π° Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° равСнства:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ОА3 – это Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ биссСктриса ∠А3. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ² всС ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠ΅ рассуТдСния, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ равСнство, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ (1):

Π­Ρ‚ΠΎ равСнство ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ‚ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² О, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ всС Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°:

ЕстСствСнно, сущСствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° такая описанная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, вСдь Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² частности, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· А1, А2 ΠΈ А3, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡. Ρ‚. Π΄.

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΌΠΈ построСниС с описанной ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ βˆ†ΠžΠ1А2, βˆ†ΠžΠ2А3, βˆ†ΠžΠ3А4, …, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, вСдь Ρƒ Π½ΠΈΡ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ ΠΏΠΎ 3 стороны. ΠžΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΠΌ ΠΈΠ· О высоты ОН1, ОН2, ОН3… Π½Π° стороны ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ высоты ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³-ΠΊΠ°Ρ…, Ρ‚ΠΎ ΠΈ сами ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ находится Π² О, Π° радиус – это ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ОН1. Он Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Н2, Н3, … Нn. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ ОН1, ОН2, ОН3 окаТутся радиусами. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ пСрпСндикулярны сторонам ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ эти самыС стороны Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊ окруТности (ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ). Π‘Ρ‚Π°Π»ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, эта ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ являСтся вписанной:

Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ такая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ СдинствСнной вписанной. Если Π±Ρ‹ сущСствовала вторая вписанная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Π±Ρ‹Π» Π±Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½ ΠΎΡ‚ сторон ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π»Π΅ΠΆΠ°Π» Π±Ρ‹ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния биссСктрис ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ∠А1, ∠А2, ∠А3, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ О. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ расстояниС ΠΎΡ‚ О Π΄ΠΎ А1А2 – это ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ОН1, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ радиус Π±Ρ‹Π» Π±Ρ‹ Ρƒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окруТности. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вторая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ совпала Π±Ρ‹ с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ находился Π±Ρ‹ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΈ радиусы Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, которая Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ вписанной, ΠΈ описанной окруТности, имСнуСтся Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°.

Π•Ρ‰Ρ‘ Ρ€Π°Π· вСрнСмся ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ высоты ОН1, ОН2, ОН3,… ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³-ΠΊΠ°Ρ…βˆ†ΠžΠ1А2, βˆ†ΠžΠ2А3, βˆ†ΠžΠ3А4,… Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, эти высоты ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Н1, Н2, Н3,… – это сСрСдины сторон ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°.

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Π΄Π²Π΅ биссСктрисы, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ΅, Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ?

РСшСниС. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ° находится Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния всСх Π΅Π³ΠΎ биссСктрис. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ биссСктрисы Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΆΠ΅ прямыС ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ биссСктрисы Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. АналогичноС ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ для сСрСдинных пСрпСндикуляров, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ сторонам ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ любая другая плоская Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ (ΠΎΠ½Π° обозначаСтся Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ S) ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ (обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ Π ). Π”Π»ΠΈΠ½Π° стороны ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ° Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ обозначаСтся Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ an, Π³Π΄Π΅ n– число сторон Ρƒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°. НапримСр a4– это сторона ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°, a6– сторона ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. НаконСц, ΠΌΡ‹ выяснили, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Радиус описанной окруТности обозначаСтся большой Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ R, Π° вписанной – малСнькой Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ r.

ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, всС эти Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ взаимосвязаны Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Π Π°Π½Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ

для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ вписана ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠŸΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΎΠ½Π° ΠΈ для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°.

Для Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° построим n-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ соСдиним Π΄Π²Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ RΠΈ r. НаконСц, прямо ΠΈΠ· опрСдСлСния ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° слСдуСт Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

Π‘ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ, зная Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ n-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈ всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ (Ссли извСстно ΠΈ число n).

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сторона ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° радиусу описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Π½Π΅Π³ΠΎ окруТности.

РСшСниС. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

Π­Ρ‚ΠΎ равСнство ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· ΠΈ Π½Π°Π΄ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π² этом Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ.

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. Около окруТности описан ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Π’ свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ ΠΈ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° описана ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ радиусом 4. НайдитС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ стороны ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΈ радиус вписанной окруТности.

РСшСниС. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ составляСт Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ.

НайдСм ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. Около ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° описана ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вписан ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Какова Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны этого ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°, Ссли ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° составляСт 18 см?

РСшСниС. Зная ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³-ΠΊΠ°, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ сторону:

Π”Π°Π»Π΅Π΅ вычисляСтся радиус описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° окруТности:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. НСобходимо ΠΈΠ·Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Ρ‚ с ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ (Ρ‚Π°ΠΊ называСтся расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ гранями Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π±ΠΎΠ»Ρ‚Π°) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ 17 ΠΌΠΌ. Из ΠΏΡ€ΡƒΡ‚ΠΊΠ° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π±ΠΎΠ»Ρ‚, Ссли Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€ΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ² измСряСтся Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом?

РСшСниС. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π Π°Π½Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° этого радиуса совпадаСт с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π΅Π³ΠΎ стороны:

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сторону ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Для этого соСдиним Π΄Π²Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ ΠΈΡ… А ΠΈ Π‘) Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС:

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ АБ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ расстояниСм ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ гранями, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ 120Β°:

Π’ частности βˆ ΠΠ’Π‘ = 120Β°. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ АВ = Π’Π‘, Ρ‚ΠΎ βˆ†ΠΠ’Π‘ – Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ, ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π΅Π³ΠΎ основании ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹:

Аналогично ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ∠ACD – прямой. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, АБ пСрпСндикулярСн сторонам AF ΠΈ CD, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ являСтся расстояниСм ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ, ΠΈ ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 17 ΠΌΠΌ:

βˆ†ΠΠ’Π‘ – Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ. ΠžΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΠΌ Π² Π½Π΅ΠΌ высоту НВ, которая ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠΉ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° АН окаТСтся Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅ АБ:

AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 ΠΌΠΌ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ сторону АВ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΠ· βˆ†ΠΠ’Π, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎ блиТайшСго большСго Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ лишь ΠΏΡ€ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΈ использовании транспортира ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±ΠΎΡ€Π°, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, построСниС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ Π½Π΅ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. НапримСр, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со стороной, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ 5 см. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΠΎ извСстной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ вычисляСм Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°:

Однако Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ большой интСрСс Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, связанныС с построСниСм с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ всСго Π΄Π²ΡƒΡ… инструмСнтов – циркуля ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· использования транспортира. Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС построСниС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ становится Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ. Если Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅ ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… простых Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ…, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈ равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ построСнии ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ приходится ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° рассмотрим построСниС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ сторонС. Π Π°Π½Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ сторона ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΆΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ радиус описанной окруТности:

На основС этого Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ построСния ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° строится описанная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π² качСствС Π΅Π΅ радиуса бСрСтся заданная сторона Π°6. Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π½Π° окруТности отмСчаСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А, которая Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Из Π½Π΅Π΅ проводится Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ радиусом Π°6. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½Π° пСрСсСчСт ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Π’ ΠΈ F), Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ двумя Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. НаконСц, ΠΈ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ B ΠΈ F ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π΄Π²Π΅ окруТности, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ пСрСсСкутся с исходной ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π‘ ΠΈ F. НаконСц, ΠΈΠ· Π‘ (ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΈΠ· F)провСсти послСднюю ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ D. ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ лишь ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности (А, Π’, Π‘, D, Π•ΠΈ F):

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ построСниС довольно просто. Однако для ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° построСниС нСсколько Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТноС, Π° для ΡΠ΅ΠΌΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ построСниС. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ Π±Ρ‹Π» Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² 1836 Π³. ΠŸΡŒΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ Π’Π°Π½Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΌ.

Если ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ n-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, вписанный Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ нСслоТно Π½Π° Π΅Π³ΠΎ основС ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС сторон (Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ 2n-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ) ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ вписан Π² Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Рассмотрим это построСниС Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΈ Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Π˜Π·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Π°Π½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, вписанный Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Надо ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, вписанный Π² Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ А ΠΈ Π’. Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΡƒΠ³Ρƒ ⋃АВ Π½Π° Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ. Для этого ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈΠ· А ΠΈ Π’ окруТности радиусом АВ. Они пСрСсСкутся Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π‘ ΠΈ D. БоСдиняСм ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ пСрСсСчСтся с исходной ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π•.

Π• – это сСрСдина Π΄ΡƒΠ³ΠΈ ⋃АВ. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’ ΠΈ Π• ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ трСмя ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Для получСния ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ окруТности радиусом АЕ. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ эти окруТности пСрСсСкутся с исходной ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ самого ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°:

Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 12-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΈΠ· Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° – 16-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΈΠ· 16-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° – 32-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ число сторон ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°.

Π”Ρ€Π΅Π²Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅ΠΊΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π»ΠΈ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠΈ с 3, 4, 5, 6 ΠΈ 15 сторонами, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠΌΠ΅Π»ΠΈ Π½Π° ΠΈΡ… основС ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠΈ с Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большим числом сторон. Π›ΠΈΡˆΡŒ Π² 1796 Π³. ΠšΠ°Ρ€Π» Гаусс смог ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ 17-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ способ построСния 257-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ 65537-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ описаниС построСния 65537-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 200 страниц.

Π’ этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ°Ρ… ΠΈ ΠΈΡ… свойствах. ОсобСнно Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚. Π­Ρ‚ΠΎ позволяСт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³-ΠΊΠΈ для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ исслСдования свойств окруТности.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ

Π’Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° Автор24

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Рисунок 1. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ

Как ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° находится ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅$(n-2)\cdot <180>^0$

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, градусная ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° равняСтся

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎΠ± описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° окруТности

Около любого ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Рисунок 2. Описанная Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Аналогично Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ равСнства. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅, Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ

Π•Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Рассмотрим Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π“ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π½Π° Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° вписанной Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ окруТности

Π’ любой ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Рисунок 3. Вписанная Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Аналогично доказываСтся равСнство Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΈ высоты этих Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

Из этих Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ слСдствия:

БлСдствиС 1: Вписанная Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ касаСтся Π΅Π³ΠΎ Π² сСрСдинах Π΅Π³ΠΎ сторон.

БлСдствиС 2: Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, совпадаСт с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ окруТности, вписанной Π² этот ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ называСтся Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π”Π°Π΄ΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ нСсколько Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», относящихся ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡŽ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (Π±Π΅Π· ΠΈΡ… Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π°).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° понятиС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

РСшСниС.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, сумма всСх Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π°

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈ дСньги Π·Π° свои студСнчСскиС Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

ΠšΡƒΡ€ΡΠΎΠ²Ρ‹Π΅, Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

Автор этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ Π”Π°Ρ‚Π° послСднСго обновлСния ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ: 15 04 2021

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, слово «ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ» Π² условии Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ сразу Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС стороны ΠΈ всС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² (Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½) ΠΈ количСство сторон опрСдСляСм ΠΏΠΎ названию ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ это количСство символом n.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ
ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.

ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, Π·Π°Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ количСство сторон n (ΠΎΡ‚ 3-Ρ‘Ρ… Π΄ΠΎ 12-Ρ‚ΠΈ).

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π΅Ρ‘. Однако, это получаСтся Π½Π΅ для всСх ΠΈ Π½Π΅ всСгда. Говоря матСматичСским языком, Π½Π΅ всСгда сущСствуСт ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, которая удовлСтворяСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉΠ§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ вписан Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉΠ§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ описан ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности.

Рассмотрим Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ нСльзя Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠžΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€ΠΎΠΌΠ±.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π’ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±ΠΎΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

БущСствованиС вписанной ΠΈ описанной окруТности для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² связано с Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ сторон. Π•ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ вписанным ΠΈ/ΠΈΠ»ΠΈ описанным. БСйчас ΠΌΡ‹ Π½Π° Π½ΠΈΡ… ΠΎΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ. БСйчас Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉΠ’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ вписан Π² Π·Π΅Π»Π΅Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, описан Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ синСй.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉΠŸΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ вписан Π² Π·Π΅Π»Π΅Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, описан Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ синСй.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€, Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ симмСтрии, Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ тяТСсти, Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρ‹ вписанной ΠΈ описанной окруТностСй. Если ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ n-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±ΡŒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π½Π° n Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, часто Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π΄ΠΎΡ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ внСшнюю (ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ) ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΡŽΡŽ (Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ) ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°ΠΆΠ΅, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² условии, ΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ извСстно, поэтому Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉΠ‘ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны это радиусы ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΡŽΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉΠžΡ€Π°Π½ΠΆΠ΅Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ окруТности пСрпСндикулярна Π΅Ρ‘ радиусу.

На ΠžΠ“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² 9-ΠΎΠΌ классС ΠΈ Π½Π° Π•Π“Π­ Π² 11-ΠΎΠΌ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ, часто ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π² сСбя ΠΈ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ скрыты. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° сдСлайтС ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΡƒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ послС этого Π½Π°ΠΆΠΈΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΈ «ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚» ΠΈ «ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅». CΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ обязан Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Бпособ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: S = pr

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сторон ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π΄ΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 85

Π’ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ вписан ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABCDEF. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, Ссли радиус окруТности, вписанной Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ADE, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ r.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ADE двумя способами:
Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² \[S = \frac<\cdot> <2>= \frac><2>\cdot\frac<2>\cdot\frac<1> <2>= \frac><8>; \] ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ радиус вписанной окруТности \[S = \frac<2>\cdot r = \frac<2>\cdot \big(\frac><2>+\frac<2>+ x\big) = \frac + 3) > <4>\]

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2Ο€r 2 (2 + √3 _ )

Найти ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, вписанного Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²Π΅Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, вписанного Π² Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 4sin15Β° β‰ˆ 1,04

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Если Π’Ρ‹ Π½Π΅ догадались ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свойство ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ AOC, AOH ΠΈ Ρ‚.ΠΏ., Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ косинусов ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ с Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ большим ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠΌ вычислСний.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 7

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ всС стороны ΠΈ всС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (2/3)d ΠΈΠ»ΠΈ 60Β°.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ прямому ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ 90Β°.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ n сторон, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, полагая n = 3, 4, 5, 6, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ (2/3)d, d, (6/5)d, (4/3)d ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Π£Π³ΠΎΠ» ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (6/5)d = 108Β°, ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (4/3)d = 120Β° ΠΈ Ρ‚. Π΄.

ΠžΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. ВсС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ число ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

ВсС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ сторон.

ПодобиС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠžΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ Ρƒ Π½ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ стороны ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

Из подобия ΠΈΡ… Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² относятся ΠΊΠ°ΠΊ стороны.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 117. Около ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π”Π°Π½ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABCDEF (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 192). Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой:

AB = BC = CD = DE = EF = AF ΠΈ
A = B = C = D = E = F

ВрСбуСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, равноотстоящая ΠΎΡ‚ всСх Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A, B, C ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Для этого ΠΈΠ· сСрСдины Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ AB ΠΈ BC восставляСм пСрпСндикуляры Π΄ΠΎ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡ… пСрСсСчСния Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ O. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° O Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, проходящСго Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A, B, C. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D, E, F. Для этого соСдиним Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ O с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ AO, BO, CO, DO, EO, FO.

1. ВсС эти ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

Из Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² AOB ΠΈ BOC Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ξ”ABO = Ξ”BCO, Ρ‚ΠΎ

Ρ‚. Π΅. ΡƒΠ³ΠΎΠ» B дСлится ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» C Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ дСлится ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» D Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ дСлится ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ BOC ΠΈ COD Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ OC сторона общая, BC = CD ΠΊΠ°ΠΊ стороны ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ∠δ = ∠Ρ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ∠γ = ∠η.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ∠γ = Β½B = Β½C = Β½D, Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ξ· = Β½D, Ρ‚. Π΅. ΡƒΠ³ΠΎΠ» D дСлится Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° дСлятся ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ O с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

2. ВсС ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ OA, OB, OC, OD, OE, OF Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Из равСнства Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² BOC ΠΈ COD слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Из равСнства Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² COD ΠΈ DOE слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° O находится Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌ расстоянии ΠΎΡ‚ всСх Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‚. Π΅. ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, описанная радиусом OA, ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· всС Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° O Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (Π§Π’Π”).

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 118. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ описанного ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, вписанного Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ O Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 192) опустим пСрпСндикуляры Oa, Ob, Oc, Od, Oe, Of Π½Π° стороны ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ABO, BCO Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ

Π”Π²Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° aBO ΠΈ BbO Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ BO сторона общая

ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Oa = Ob.

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ob = Oc ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Oa = Ob = Oc = Od = Oe = Of.

Если ΠΌΡ‹ радиусом Oa опишСм ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° коснСтся сторон ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… a, b, c, … Ρ‚. Π΅. ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ вписана Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ a, b, c, … дСлят стороны ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° O, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ описанного, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, вписанного Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ (Π§Π’Π”).

АпофСма. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€, ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Π½Π° сторону ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, называСтся Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 119. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² относятся ΠΊΠ°ΠΊ радиусы описанных ΠΈ вписанных ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ².

Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 193). Из Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² O ΠΈ O’ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ радиусы ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ² описанных ΠΈ вписанных.

ВрСбуСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

(AB + BC + CD + DE + EA) / (ab + bc + cd + de + ea) = OA/O’a = OG/O’g

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Π”Π²Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° GOB ΠΈ gOb ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΈ ∠GBO = ∠gbO’, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ GB = Β½AB, gb = Β½ab, Ρ‚ΠΎ

AB/ab = OB/O’b = GO/gO’ (a)

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ мСсто ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ равСнства ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

AB/ab = BC/bc = CD/cd = DE/de = EA/ea

ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎ свойству ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

(AB + BC + CD + DE + EA) / (ab + bc + cd + de + ea) = AB/ab

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ этих ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· P ΠΈ p, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

Бравнивая ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ (a) ΠΈ (b), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

P/p = AB/ab = OB/O’b = GO/gO’ (Π§Π’Π”).

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 120. Если ΡƒΠ³Π»Ρ‹ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΈ стороны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚. Π΅. Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ описанный Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

Π”Π°Π½ΠΎ. Π’ описанном ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ABCDE ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 194):

ВрСбуСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ AB = BC = CD = DE = EA.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠΌ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ прикосновСния с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° O.

1. Π”Π²Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° aBO ΠΈ BbO Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ Ρƒ Π½ΠΈΡ… BO сторона общая, aO = bO ΠΊΠ°ΠΊ радиусы, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ∠aOB = ∠Bob ΠΈ ∠aBO = ∠bBO, Ρ‚. Π΅. ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ, дСлят ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

2. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ AOB ΠΈ BOC Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ BO сторона общая, ∠ABO = ∠CBO ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ, ∠BAO = ∠BCO ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, AB = BC.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ равСнство ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сторон описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ (Π§Π’Π”).

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 121. По Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ вписанному ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ числа сторон.

Π”Π°Π½ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ вписанный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 195) ABCDEF, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, стороны ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

AB = BC = CD = DE = EF = FA ΠΈ
β—‘AB = β—‘BC = β—‘CD = β—‘DE = β—‘EF = β—‘FA

Для построСния ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ вписанному ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° способа.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ способ. НуТно Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π² Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ… провСсти ΠΊ этим ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°ΠΌ пСрпСндикуляры, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡŒ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ описанный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ радиусы AO, BO, CO, ΠΈ Ρ‚. Π΄. ΠΈ Π² Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ… A, B, C, D, E, F ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ пСрпСндикуляры ΠΊ этим радиусам Π΄ΠΎ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡ… пСрСсСчСния Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… a, b, c, d, e, f. ΠžΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ abcdef.

ВрСбуСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ abcdef Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ описанным ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ abcdef Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ описанным ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ab, bc, … Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊ окруТности, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ пСрпСндикулярно ΠΊ радиусам ΠΈΠ· ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ².

2. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ AaB, BbC … Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ

∠aAB = ∠aBA
∠bBC = ∠bCB ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ стороны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹

aA = aB, bB = bC, cC = Dc ΠΈ Ρ‚. Π΄.

3. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ AaB ΠΈ BbC Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ AB = BC ΠΊΠ°ΠΊ стороны ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΡƒΠ³.

Из равСнства Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² AaB ΠΈ BbC Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ aB = Bb, Ρ‚. Π΅.

КаТдая сторона Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° дСлится Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ прикосновСния ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

aA = aB, ΠΈΠ»ΠΈ Β½af = Β½ab = Β½bc ΠΈ Ρ‚. Π΄.

af = ab = bc = cd ΠΈ Ρ‚. Π΄.,

Ρ‚. Π΅. всС стороны ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

5. НаконСц, ∠a = ∠b, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ всС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° abcdef Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ этот ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (Π§Π’Π”).

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ способ. НуТно ΠΈΠ· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Π½Π° сторонС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ пСрпСндикуляры, ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π΄ΠΎ пСрСсСчСния с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… пСрСсСчСния провСсти ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС Π΄ΠΎ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡ… пСрСсСчСния. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Π”Π°Π½ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ вписанный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABCDEF (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 196).

Из Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° O опустим пСрпСндикуляр Π½Π° стороны вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… m, n, p, q, r, s ΠΈΡ… встрСчи с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎ ΠΈΡ… Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСсСчСния Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… a, b, c, d, e, f.

ВрСбуСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ abcdef Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ описанный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. 1. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° abcdef ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΊ окруТности, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, abcdef Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ описанный.

2. Π•Π³ΠΎ стороны ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ сторонам ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, поэтому Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹

3. Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ m, n, p, q … прямыми линиями.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ m, n, p, q … ΡΡƒΡ‚ΡŒ сСрСдины Π΄ΡƒΠ³ AB, BC ΠΈ Ρ‚. Π΄., ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для Π΄ΡƒΠ³ ΠΈ Ρ…ΠΎΡ€Π΄ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ мСсто равСнства:

sm = mn = np = pq = qr = rs.

4. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ sam, mbn, ncp … Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ

∠asm = ∠ams, ∠bmn = ∠bnm ΠΈ Ρ‚. Π΄.

as = am, bm = bn, cn = cp ΠΈ Ρ‚. Π΄.

5. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ sam ΠΈ mbn Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ

ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, am = bm, Ρ‚. Π΅. стороны описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° дСлятся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… прикосновСния ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

6. НаконСц ΠΈΠ· равСнства as = am слСдуСт равСнство

Β½af = Β½ab ΠΈΠ»ΠΈ af = ab, Ρ‚. Π΅.

стороны описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ abcdef Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ описанный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ (Π§Π’Π”).

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 122. По Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ описанному ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ числа сторон.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ мСсто Π΄Π²Π° способа.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ способ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ описанному Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ прикосновСния описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой.

Π”Π°Π½ описанный ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ abcdef, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

ab = bc = cd = de = ef = fa ΠΈ
∠a = ∠b = ∠c = ∠d = ∠e = ∠f.

Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 195) дСлятся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… прикосновСния ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ прикосновСния A, B, C, D, E, F ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой.

ВрСбуСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ABCDEF Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ вписанный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρ‚. Π΅.

AB = BC = CD = DE = EF = FA ΠΈ
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. 1. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ AaB ΠΈ BbC Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ, содСрТащСмуся ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

aA = bC
aB = bB
∠a = ∠b

ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, AB = BC.

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

BC = CD = DE = EF = FA,

ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ стороны ΠΈ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ AB, BC, CD … Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ стороны вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ равСнство Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ стороны Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ABCDEF ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ вписанный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ (Π§Π’Π”).

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ способ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ описанному ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, соСдиним Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния этих ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ соСдиним ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой.

Π”Π°Π½ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ описанный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABCDEFA (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 197), ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

AB = BC = CD = DE = EF = FA
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F

ΠΈ стороны Π΅Π³ΠΎ дСлятся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… прикосновСния ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ, Ρ‚. Π΅.

As = Bs = Cm = Cn = Dn = ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠΌ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния этих Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· a, b, c, d, e, f.

ВрСбуСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ abcdef ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. 1. Π£Π³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ AOB, BOC, COD ΠΈ Ρ‚. Π΄. Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ ab, bc, de, ef, fa Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ стороны Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹

ab = bc = cd = de = ef = fa

2. Π£Π³Π»Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΡƒΠ³Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 123. По Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ сторонС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ сторону описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ числа сторон.

ΠžΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ стороны вписанного ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ n сторон Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· an ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· An, Π° радиус ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· r (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 195)

AB = BC = CD = DE = … = an
ab = bc = cd = de = … An

Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ a с O, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

Из Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° aBO ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ сторону ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ сторонС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Π£Π΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ числа сторон ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ число сторон ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° пСрпСндикуляры Π½Π° Π΅Π³ΠΎ стороны, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΈΡ… с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

1. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 198).

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ пСрпСндикуляры дСлят ΠΊΠ°ΠΊ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ AB, BC, … ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

Aa = aB = Bb = bC = Cc = …

Π£Π³Π»Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄ΡƒΠ³Π°ΠΌΠΈ.

2. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ числа сторон увСличиваСтся.

Aa + aB > AB
Bb + bC > BC ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Бкладывая эти нСравСнства, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ² ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ n сторон, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· pn, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 124. МоТно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ стороны вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ числом сторон ΠΏΠΎ радиусу ΠΈ сторонС Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Из Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° AaO (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 198) Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны Aa, ΠΊΠ°ΠΊ стороны, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² острого ΡƒΠ³Π»Π°, выраТаСтся равСнством:

Из Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° APO ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ² Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· r радиус ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, an Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ стороны ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ n сторон, ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· a2n сторону ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ числом сторон, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (a)

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π£Π΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ числа сторон ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ число сторон ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ ab, bc, cd, … ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ ΠΈ провСсти Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ дСлСния ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ mn, pg, rs, … Π΄ΠΎ пСрСсСчСния ΠΈΡ… со сторонами Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 199).

Π’ этом случаС образуСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, ΠΈΠ±ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ. Π’ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ описанном ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ стороны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 120).

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ описанного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ числом сторон ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ.

An > Ξ± n
Bp > Ξ² p, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,
AB > Ξ± n + np + p Ξ²

Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ равСнства ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ мСсто ΠΈ для сторон BC, CD, … ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΈΡ…, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

AB + BC + CD + … > mn + np + pq + …
ΠΈΠ»ΠΈ Pn > P2n

Π³Π΄Π΅ Pn ΠΈ P2n ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… описанных ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… n ΠΈ 2n сторон.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 125. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° радиусу (a6 = r).

Π”Π°Π½ΠΎ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ AB сторона ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 200), вписанного Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³, радиус ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· r.

ВрСбуСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ AB = a6 = r.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Π”ΡƒΠ³Π° AB Ρ€Π°Π²Π½Π° 60Β°. Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠ² A ΠΈ B с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ O, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABO, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» AOB ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 60Β° = (2/3)d.

Π£Π³Π»Ρ‹ A ΠΈ B Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΠ· равСнства A + B + O = 2d, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

2A + (2/3)d = 2d, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° A = B = (2/3)d

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABO равносторонний ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ AB = AO = r.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 126. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° радиусу, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° √3 (a3 = r√3).

Π”Π°Π½ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ вписанный Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 201).

ВрСбуСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ AB = r√3.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Из Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° O опустим пСрпСндикуляр OD ΠΊ сторонС AB ΠΈ соСдиним D с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ A ΠΈ B. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ AD ΠΈ DB ΠΊΠ°ΠΊ стороны ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ радиусу. Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ADBO Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€ΠΎΠΌΠ±, ΠΈΠ±ΠΎ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ всС стороны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ радиусу. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π° пСрпСндикулярны ΠΈ дСлятся ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

AE = EB = DE = EO ΠΈ AB βŠ₯ DO.

Из Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° AEO Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ равСнство

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ AE = AB/2, EO = DO/2 = r/2, Ρ‚ΠΎ это равСнство Π΄Π°Π΅Ρ‚

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 127. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° вписанного ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° радиусу, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° √2.

Π”Π°Π½ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ вписанный Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ABCD (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 202).

ВрСбуСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ AB = r√2.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠΌ B с D. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ BD Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€, ΠΈΠ±ΠΎ прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ» B опираСтся Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°.

Из ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABD Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ равСнство

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ AB = AD, BD = 2r, Ρ‚ΠΎ

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 128. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° большСй части радиуса, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΌ ΠΈ срСднСм ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.

Π”Π°Π½ΠΎ. ПолоТим AB Π΅ΡΡ‚ΡŒ сторона ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. 203), ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄ΡƒΠ³Π° AB = 1/10 окруТности ΠΈ

ВрСбуСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ AB Π΅ΡΡ‚ΡŒ большая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ радиуса ΡΡ€Π΅Π΄Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ радиусом ΠΈ мСньшСй Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ.

Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Как Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΈ B с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ» BAO ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

Π’ равСнствС ∠BAO + ∠ABO + ∠AOB = 2d

∠BAO = ∠ABO, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ∠BAO = ∠ABO = (4/5)d.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ∠α = ∠β ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· равСнства

∠α + ∠β = (4/5)d слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ∠α = ∠β = (2/5)d

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ, ΠΈΠ±ΠΎ

ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΠ· равСнства

∠α + ∠B + ∠ACB = 2d имССм:
(2/5)d + (4/5)d + ∠ACB = 2d и ∠ACB = (4/5)d.

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ACO Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ, ΠΈΠ±ΠΎ

ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, AC = CO ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ AB = AC = CO.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ AC Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто пропорция (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 98)

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ AB = OC ΠΈ AO = OB, Ρ‚ΠΎ

ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ OC Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ большСй части радиуса OB, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΌ ΠΈ срСднСм ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ OC = AB, Ρ‚ΠΎ ΠΈ сторона Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ свойством.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ² Π΅Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· a10, Π° радиус Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· r, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΡŽ

ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ сторону ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вписанного Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚:

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *