Как доказать что точка лежит на окружности

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Источник

Как доказать, что четыре точки лежат на одной окружности?

Приятного изучения! Если хочешь подготовиться к профилю на 80+ с его автором, жми сюда и посмотри, что мы для тебя приготовили!

В экзамене можно встретить формулировки заданий, в которых вас попросят доказать, что какие-то точки должны лежать на одной окружности.

Бояться такого задания не стоит. Несмотря на то, что звучит подобное задание как минимум странно, доказательство подобного не вызовет у вас особых трудностей, если вы просто будете понимать, как это можно сделать.

Всего можно выделить несколько основных способов сделать это.

1) Доказать, что, соединив 4 точки, вы получите четырехугольник, около которого можно описать окружность.

Для этого достаточно доказать, что противоположные углы в данном четырехугольнике в сумме дают 180 градусов. Подробнее о том, почему это работает именно так, можно прочитать в этой статье.

1*) Доказать, что полученный четырехугольник является равнобедренной трапецией.

Дело в том, что в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Тогда мы также можем вспомнить, что односторонние углы (фиолетовый и синий) в сумме дают 180 градусов. Отсюда будет следовать, что противоположные углы в сумме тоже дают 180 градусов, а значит около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Также верно и то, что если около трапеции можно описать окружность, то она обязательно будет равнобедренной (попробуйте доказать это самостоятельно).

2) Равные углы должны опираться на одну сторону.

Без рисунков тут не обойтись. Дальше рассмотрим каждый этап по отдельности.

Здесь необходимо воссоздать картину, когда два вписанных угла, опирающихся на одну хорду (дугу), равны. Это происходит в окружности. Поэтому и появляется окружность 😂

Использование данного факта можно встретить в задачах на пересечение двух высот треугольника. Подробнее об этом рассказывали здесь.

3) Ну и куда без ситуации, в которой мы точно знаем, что наши 4 точки находятся на одинаковом расстоянии от какого-то одно центра.

В этом случае мы просто говорим, что данные равные отрезки можно принять за радиусы одной и той же окружности и сказать, что там формируется окружность по определению. Про основы окружности написано туть.

Но во второй части этот вариант встречается не так часто, как описанные выше способы.

Ну вот и все. Теперь вы будете понимать, ЧТО ИМЕННО от вас хотят, когда просят доказать, что 4 точки лежат на одной окружности, а значит вы с большей вероятностью справитесь с подобным заданием!

Источник

Как доказать что точка лежит на окружности

Точка I — центр окружности S₁, вписанной в треугольник ABC, точка O — центр окружности S₂, описанной около треугольника BIC.

а) Докажите, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.

б) Найдите косинус угла BAC, если радиус описанной окружности треугольника ABC относится к радиусу окружности S₂ как 3:5.

б) Пусть r и R — радиусы описанной окружности треугольника ABC и окружности S₂ соответственно. По теореме синусов:

откуда Следовательно,

Ответ: