Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников
ГИА. Модуль Геометрия. Четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 27734
Комментарии к этой задаче:
Комментарий добавил(а): светлана Дата: 2013-10-25
конечно,красиво,но длинно, трудно и ученикам почти не доступно!
Как доказать что точки лежат на одной окружности в треугольнике
Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.
Решение
Так как OD – высота прямоугольного треугольника MAO, то MO² = MA·MD (см. рис.). ∠AOC = 90° + ∠OBC > 90°. Отсюда ∠MOC = ∠AOC – 90° = ∠OBC, и треугольники MOB и MCO подобны (угол OMC – общий). Следовательно, MO : MC = MB : MO, откуда MO² = MB·MC. Из равенства MA·MD = MB·MC следует, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.
Замечания
Равенство MA·MD = MB·MC можно получить также из того, что OM – общая касательная к описанным окружностям треугольников ADO и OBC.
Как доказать, что четыре точки лежат на одной окружности?
Приятного изучения! Если хочешь подготовиться к профилю на 80+ с его автором, жми сюда и посмотри, что мы для тебя приготовили!
В экзамене можно встретить формулировки заданий, в которых вас попросят доказать, что какие-то точки должны лежать на одной окружности.
Бояться такого задания не стоит. Несмотря на то, что звучит подобное задание как минимум странно, доказательство подобного не вызовет у вас особых трудностей, если вы просто будете понимать, как это можно сделать.
Всего можно выделить несколько основных способов сделать это.
1) Доказать, что, соединив 4 точки, вы получите четырехугольник, около которого можно описать окружность.
Для этого достаточно доказать, что противоположные углы в данном четырехугольнике в сумме дают 180 градусов. Подробнее о том, почему это работает именно так, можно прочитать в этой статье.
1*) Доказать, что полученный четырехугольник является равнобедренной трапецией.
Дело в том, что в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Тогда мы также можем вспомнить, что односторонние углы (фиолетовый и синий) в сумме дают 180 градусов. Отсюда будет следовать, что противоположные углы в сумме тоже дают 180 градусов, а значит около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Также верно и то, что если около трапеции можно описать окружность, то она обязательно будет равнобедренной (попробуйте доказать это самостоятельно).
2) Равные углы должны опираться на одну сторону.
Без рисунков тут не обойтись. Дальше рассмотрим каждый этап по отдельности.
Здесь необходимо воссоздать картину, когда два вписанных угла, опирающихся на одну хорду (дугу), равны. Это происходит в окружности. Поэтому и появляется окружность 😂
Использование данного факта можно встретить в задачах на пересечение двух высот треугольника. Подробнее об этом рассказывали здесь.
3) Ну и куда без ситуации, в которой мы точно знаем, что наши 4 точки находятся на одинаковом расстоянии от какого-то одно центра.
В этом случае мы просто говорим, что данные равные отрезки можно принять за радиусы одной и той же окружности и сказать, что там формируется окружность по определению. Про основы окружности написано туть.
Но во второй части этот вариант встречается не так часто, как описанные выше способы.
Ну вот и все. Теперь вы будете понимать, ЧТО ИМЕННО от вас хотят, когда просят доказать, что 4 точки лежат на одной окружности, а значит вы с большей вероятностью справитесь с подобным заданием!
Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 3
1.Окружность
Окружностью называется фигура, состоящая из множества точек на плоскости, равноудаленных от данной точки.
Эта данная точка называется центром окружности. Расстояние от центра окружности до ее точек называется радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Если хорда проходит через центр окружности, то она называется диаметром. (Рис.1)
Рис.1 Окружность, радиус, диаметр, хорда.
2.Окружность, описанная около треугольника
Теорема: центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров, опущенных на середины сторон данного треугольника.
Рис.2 Теорема. Окружность, описанная около треугольника.
3.Окружность, вписанная в треугольник
Теорема. центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.
Тогда треугольник Δ АОЕ равен треугольнику Δ АОТ, Δ СОЕ = Δ СОК, Δ ВОК = Δ ВОТ. Так как стороны ОА, ОВ, ОС у них общие. А ОК, ОЕ, ОТ как радиусы. Следовательно: ∠ ЕАО = ∠ ТАО, ∠ ЕСО = ∠ КСО, ∠ КВО = ∠ ТВО.
Это значит, что точка О лежит на пересечении биссектрис АО, ВО, СО.
Рис.3 Теорема. Окружность, вписанная в треугольник.
4.Геометрическое место точек
Геометрическое место точек это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, подчиняющихся определенному закону или обладающих определенным свойством.
Теорема. Геометрическим местом точек называется прямая, все точки которой равноудалены от двух данных точек, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.
Доказательство. Пусть дан отрезок АС. Прямая А проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.(Рис. 4).
Тогда треугольники Δ АМВ и Δ СМВ равны. Так как сторона ВМ у них обшая, а стороны АМ и МС равны по условию. Следовательно точка В равноудалена от точек А и С. Возьмем другую точку, например D, не лежащую на прямой а. Тогда сторона MD не принадлежит прямой а. А следовательно, углы AMD и DMC не равны т.к. не равны треугольники. Данное утверждение основано на том, что через точку, лежащую на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. И следовательно, расстояния от точки D до точек А и С не равны. Поэтому, для того чтобы расстояния от некой точки Х до двух данных точек были равны, необходимо чтобы она лежала на прямой а, которая перпендикулярна отрезку, соединяющего эти точки, и которая проходит через его середину.
Рис.4 Теорема. Геометрическое место точек.
Пример 1
Дана окружность с центром О. И проведена касательная а из точки С к этой окружности. Доказать, что точка К лежит на основании равнобедренного треугольника ОВС, если OB = 2R. (рис.5)
По условию прямая а есть касательная к окружности, следовательно радиус, проведенный к точке касания ОК, и который лежит на прямой с, составляет прямой угол с касательной. Так как ОВ = 2R и KB = R, то прямая а будет представлять собой геометрическое место точек, так как она перпендикулярна отрезку ОВ и проходит через его середину. А следовательно, треугольники ВКС и ОКС равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда можно сделать вывод, что точка К будет лежать на основании равнобедренного треугольника ВОС.
Рис.5 Задача. Дана окружность с центром О.
Пример 2
Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. (Рис.6)
Доказательство:
Таким образом, в равнобедренном треугольнике АОВ углы при вершинах А и В равны 90°. А это невозможно. Следовательно, мы пришли к противоречию и прямая а не может касаться окружности в двух точках.
Рис.6 Задача. Касательная к окружности.
Пример 3
Точки А,В,С лежат на одной прямой, а точка О лежит вне этой прямой. Докажите, что треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС. (Рис.7)
Доказательство:
Допустим, что треугольники АОВ и ВОС равнобедренные с основаниями АВ и ВС. Тогда Стороны АО, ВО и СО равны. Отсюда следует, что углы ОАВ, АВО, ОВС и ОСВ равны. И ∠АВО = ∠ОВС = 90°, так как эти углы являются смежными, а их сумма равна 180°.
Таким образом, в равнобедренных треугольниках АОВ и ВОС углы при вершинах А и С равны 90°. А это невозможно, потому, что тогда стороны АО, ВО и СО были бы параллельны, так как они перпендикулярны одной прямой АС. Следовательно, мы пришли к противоречию, и треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС.
Рис.7 Задача. Даны три точки на прямой.
Пример 4
Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 (Рис.8)
Доказательство:
Так как окружности пересекаются в точках А и В, то эти две точки принадлежат обеим окружностям. Следовательно, отрезок ОА = ОВ, как радиусы окружности с центром в точке О. А отрезок О1А = О1В, как радиусы окружности с центром в точке О1.
Таким образом, треугольники ОАО1 и ОВО1 равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). А следовательно отрезки АС и ВС равны. И прямая ОО1 является геометрическим местом точек для двух данных точек А и В. Т.е. любая точка прямой ОО1 равноудалена от двух данных точек А и В. Следовательно, треугольники ОАС и ОВС равны, также как и треугольники АСО1 и ВСО1 по трем сторонам. А отсюда следует равенство углов при вершине С. Т.е. ∠ОСА = ∠ОСВ = ∠АСО1 = ∠ВСО1 = 90°.
Следовательно, можно сделать вывод, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1.
Рис.8 Задача. Окружности с центрами О и О1.
Пример 5
Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояние от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС (Рис.9)
Доказательство:
По условию задачи, расстояния от точек В и С до прямой а равны. Т.е. РС = BQ. Так как расстояние от точки до прямой представляет собой перпендикуляр, то два треугольника РОС и ВОQ, образованные двумя пересекающимися прямыми ВС и а, и перпендикулярами, опущенными на одну из них, равны по второму признаку равенства треугольников ( по стороне и двум прилегающим к ней углам: РС = BQ, углы при вершинах В и С равны как внутренние накрест лежащие, а углы при вершинах Р и Q прямые).
Из равенства треугольников РОС и ВОQ следует, что ВО = ОС.
Один мудрец сказал “ Высшее проявление духа – это разум, Высшее проявление разума – это геометрия, Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою”.
Рассмотрим один из основных геометрических методов решения задач – метод вспомогательной окружности. Предлагаю набор задач, который поможет понять и разобраться в этом методе.
При решении некоторых задач может оказаться полезной следующая теорема.
Т.1 Если для четырех точек плоскости А, В, М, К выполняется одно из следующих условий:
Т1 и Т2 и свойства вписанных углов позволяют решать некоторые интересные геометрические задачи с помощью метода, который называют методом вспомогательной окружности.
Суть метода проиллюстрируем на решении следующих задач.
В треугольнике АВС проведена высота СК. Найти длину отрезка, соединяющего точку К с серединой АС, если АС = 10см.
Следовательно, АО = ОВ = КО = r = 5 см. (рис. 3)
Рис. 3
В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О.
Рис. 4
В окружности проведены параллельные хорды АВ, FC, ED известно, что AD ∩ CE = M,
BE ∩FD = N доказать, что МN ║ АВ.
б) Рисунок 9 иллюстрирует случай, когда в треугольнике АВС один угол (угол В) тупой. Рассуждение является точно таким же. Только точки В1 и Н как бы меняются местами. В этом случае точка пересечения высот оказывается расположенной вне треугольника.
Для прямоугольного треугольника точкой пересечения высот является вершина прямого угла.
Таким образом, рассмотренные задачи помогают понять суть метода вспомогательной окружности, использование которого помогает решать геометрические задачи.
