Как доказать что точки лежат на одной окружности

Докажите, что точки D1, E1, F1, T лежат на одной окружности

Докажите, что точки лежат на одной окружности
Подскажите, пожалуйста, как решить задачу по геометрии: Две окружности пересекаются в точках А и.

Докажите, что точки лежат на одной прямой
В параллелограмме ABCD N прин. АС и M прин. AD, причем AN : NC = 1 : 5 и AM : MD =1:4. Докажите.

Докажите, что точки лежат на одной прямой
На сторонах ВС и СD квадрата ABCD выбрали точки M и N так, что угол MAN=45. На отрезке MN, как на.

Докажите,что точки лежат на окружности
Продолжением биссектрисы углы В в треугольнике АВС пересекает описанную окружность в т.М.I-центр.

Докажите, что точки лежат на окружности описанной около треугольника
2)Докажите, что точки симметричные орта-центру относительно прямых,содержащих их стороны.

a) Рассмотрим четырехугольник F1D1E1T. Мы хотим доказать, что сумма противоположных углов равна 180 градусов. Этим мы докажем, что вокруг четырехугольника можно описать окружность. В нем угол E1 равен 60 градусов, а угол А1 равен сумме углов TF1D и DF1D1, которые оба равны 60 градусов.

Задавайте вопросы, если в каких-то местах не смогли сообразить, почему.

Лежат ли точки на одной окружности
Заданы координаты двух точек. Определите, лежат ли они на одной окружности с центром в начале.

Докажите, что прямые лежат в одной плоскости
докажите, что все различные прямые, пересекающие одну из скрещивающихся(мимобежащих) прямых и.

Проверить, лежат ли данные точки на одной окружности
Задан размер массива действительных чисел и значения его элементов. Считая, что пары элементов.

Лежат ли точки с заданными координатами на одной окружности
Заданы координаты двух точек. Определите, лежат ли они на одной окружности с центром в начале.

Определить лежат ли точки на одной окружности с центром в точке О
Заданы координаты двух точек. Определить лежат ли они на одной окружности с центром в точке О(х0.

Источник

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

ГИА. Модуль Геометрия. Четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013)

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 27733

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): светлана
Дата: 2013-10-25

конечно,красиво,но длинно, трудно и ученикам почти не доступно!

Комментарий добавил(а): Тамара Александровна Рыскина
Дата: 2013-10-09

Комментарий добавил(а): Елена
Дата: 2013-11-23

Опять развлекаются взрослые люди, а задача для кого?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2013-11-23

Елена, задача для думающих людей. Среди учеников таких много. Кто думать не хочет, за такие задачи и не берётся. Зачем?

Комментарий добавил(а): Татьяна Васильевна
Дата: 2013-11-21

Все понятно. Отлично!

Комментарий добавил(а): Майя
Дата: 2014-01-12

Комментарий добавил(а): Лексей
Дата: 2014-01-12

Эта задача из ГИА 9 класса. Это очень сложная задача для 9 класса. Кризис образования!

Комментарий добавил(а): Денис
Дата: 2014-01-28

Комментарий добавил(а): Александр
Дата: 2014-02-24

Для школьников будет не понятно,а так все нормально

Комментарий добавил(а): Алла
Дата: 2014-04-30

Ольга, Вы умница! Нигде и никогда не пропускаю ни одного Вашего слова.

Комментарий добавил(а): надежда
Дата: 2014-10-22

Комментарий добавил(а): Валентина
Дата: 2014-09-18

Источник

Как доказать, что четыре точки лежат на одной окружности?

Приятного изучения! Если хочешь подготовиться к профилю на 80+ с его автором, жми сюда и посмотри, что мы для тебя приготовили!

В экзамене можно встретить формулировки заданий, в которых вас попросят доказать, что какие-то точки должны лежать на одной окружности.

Бояться такого задания не стоит. Несмотря на то, что звучит подобное задание как минимум странно, доказательство подобного не вызовет у вас особых трудностей, если вы просто будете понимать, как это можно сделать.

Всего можно выделить несколько основных способов сделать это.

1) Доказать, что, соединив 4 точки, вы получите четырехугольник, около которого можно описать окружность.

Для этого достаточно доказать, что противоположные углы в данном четырехугольнике в сумме дают 180 градусов. Подробнее о том, почему это работает именно так, можно прочитать в этой статье.

1*) Доказать, что полученный четырехугольник является равнобедренной трапецией.

Дело в том, что в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Тогда мы также можем вспомнить, что односторонние углы (фиолетовый и синий) в сумме дают 180 градусов. Отсюда будет следовать, что противоположные углы в сумме тоже дают 180 градусов, а значит около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Также верно и то, что если около трапеции можно описать окружность, то она обязательно будет равнобедренной (попробуйте доказать это самостоятельно).

2) Равные углы должны опираться на одну сторону.

Без рисунков тут не обойтись. Дальше рассмотрим каждый этап по отдельности.

Здесь необходимо воссоздать картину, когда два вписанных угла, опирающихся на одну хорду (дугу), равны. Это происходит в окружности. Поэтому и появляется окружность 😂

Использование данного факта можно встретить в задачах на пересечение двух высот треугольника. Подробнее об этом рассказывали здесь.

3) Ну и куда без ситуации, в которой мы точно знаем, что наши 4 точки находятся на одинаковом расстоянии от какого-то одно центра.

В этом случае мы просто говорим, что данные равные отрезки можно принять за радиусы одной и той же окружности и сказать, что там формируется окружность по определению. Про основы окружности написано туть.

Но во второй части этот вариант встречается не так часто, как описанные выше способы.

Ну вот и все. Теперь вы будете понимать, ЧТО ИМЕННО от вас хотят, когда просят доказать, что 4 точки лежат на одной окружности, а значит вы с большей вероятностью справитесь с подобным заданием!

Источник

Касание двух окружностей

Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.

Общая точка двух окружностей называется точкой касания окружностей.

Касание окружностей может быть внешним и внутренним.

Внешнее касание окружностей — это касание, при котором центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной.

Внутреннее касание окружностей — касание, при котором центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной.

Касающиеся окружности имеют только одну общую точку — точку касания.

Центры касающихся окружностей и их общая точка касания лежат на одной прямой.

При любом виде касания по свойству касательной касательная перпендикулярна радиусам, проведённым в точку касания:

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку A можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой k.

Следовательно, все три точки: центры окружностей O1, O2 и A лежат на одной прямой.

При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

При внутреннем касании расстояние между центрами окружностей равно разности радиусов:

Источник

Отрезок АС виден из точек В и М под одинаковым углом…

Схема 3. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, угол В равен углу М, причем точки В и М лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда точки А, В, С, М лежат на одной окружности.

В самом деле: по теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника АМС и равен А это значит, что точки А, В, М и С лежат на одной окружности.

Можно доказать и более общее утверждение: геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей с общей хордой АВ, без точек А и В.

Задача ЕГЭ (Профильный уровень, №16)

Пусть АВ – хорда окружности с центром О, СВ – касательная к этой окружности, точки А и В лежат по разные стороны от прямой ОС. Радиус окружности ОВ равен 4, углы ОСВ и ОАВ равны.

а) Докажите, что точка О лежит на окружности Ω, описанной вокруг треугольника АВС.

б) Найдите радиус окружности Ω.

а) По условию, углы ОСВ и ОАВ равны. Отрезок ОВ виден из точек А и С под одинаковыми углами. Это значит, что четырехугольник OACB можно вписать в окружность. Тогда точка О лежит на окружности Ω, описанной вокруг треугольника АВС.

Заметим, что на чертеже есть подобные прямоугольные треугольники: по двум углам.

Запишем соотношение сходственных сторон для этих треугольников:
Получим: Отсюда Это диаметр окружности Ω. Радиус в 2 раза меньше:

Источник