Как доказать что треугольники равны признаки

Признаки равенства треугольников

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник

Как установить и доказать, что треугольники равны

Тема треугольников одна из основных важных и больших тем школьной программы в геометрии 7−9 классов. Усвоив её хорошо, возможно решать очень сложные задачи. При этом можно изначально рассматривать совершенно другую геометрическую фигуру, а затем разделить её для удобства на подходящие треугольные части.

Как доказать, что треугольники равны

Для работы над доказательством равенства ∆ ABC и ∆A1B1C1 нужно хорошо усвоить признаки равенства фигур и уметь ими пользоваться. Перед изучением признаков необходимо научиться определять равенство сторон и углов простейших многоугольников.

Чтобы доказать, что углы треугольников равны, помогут следующие варианты:

Это интересно: Как найти периметр треугольника.

3 признака равенства треугольников

Доказательство равенства ∆ ABC и ∆A1B1C1 очень удобно производить, опираясь на основные признаки тождественности этих простейших многоугольников. Существует три таких признака. Они являются очень важными при решении многих геометрических задач. Стоит рассмотреть каждый.

Перечисленные выше признаки являются теоремами и доказываются методом наложения одной фигуры на другую, соединения вершин соответственных углов и начала лучей. Доказательства равенства треугольников в 7 классе описаны в очень доступной форме, но сложны в изучении школьниками на практике, так как содержат большое количество элементов, обозначенных заглавными латинскими буквами. Это не совсем привычно для многих учеников на момент начала изучения предмета. Подростки путаются в названиях сторон, лучей, углов.

Доказательство подобия треугольников

Чуть позже появляется ещё одна важная тема «Подобие треугольников». Само определение «подобие» в геометрии означает схожесть формы при различии размеров. Для примера можно взять два квадрата, первый со стороной 4 см, а второй 10 см. Эти виды четырёхугольников будут похожи и, одновременно, иметь отличие, поскольку второй будет больше, причём каждая сторона увеличена в одинаковое количество раз.

В рассмотрении темы подобия также приводятся 3 признака:

Как же доказать, что треугольники подобны? Достаточно воспользоваться одним из выше перечисленных признаков и грамотно описать весь процесс доказательства задания. Тема подобия ∆ MNK и ∆ SDH проще воспринимается школьниками исходя из того, что к моменту её изучения ученики уже свободно пользуются обозначениями элементов в геометрических построениях, не путаются в огромном количестве названий и умеют читать чертежи.

Завершая прохождение обширной темы треугольных геометрических фигур, учащиеся уже в совершенстве должны знать, как доказать равенство ∆ MNK = ∆ SDH по двум сторонам, установить равны два треугольника или нет. Учитывая, что многоугольник, имеющий ровно три угла — это одна из важнейших геометрических фигур, к усвоению материала следует подойти серьёзно, уделяя особое внимание даже мелким фактам теории.

Источник

Как доказать, что треугольники равны

Как доказать, что треугольники равны? Для этого надо знать признаки равенства треугольников и уметь определять в треугольниках равные стороны и равные углы.

Очень удобный и эффективный инструмент, облегчающий доказательство равенства треугольников, — визуализация задачи. Выделение треугольников разными цветами помогает лучше понять условие и может подсказать ход решения. Если у треугольников есть общий угол либо общая сторона, цветовая визуализация позволяет сразу же увидеть это.

Рекомендую завести специальную тетрадь для записи теоретического материала.

На отдельных страницах запишите:

План доказательства равенства треугольников.

1) Определяем, какие именно треугольники равны (название треугольников).

2) Выделяем треугольники, равенство которых надо доказать, разными цветами.

3) Отмечаем на чертеже стороны и углы, равенство которых дано по условию.

4) Проверяем, есть ли у данных треугольников общая сторона либо общий угол.

5) Анализируем, что имеем с точки зрения признаков равенства треугольников. Например, если у треугольников уже есть две пары равных сторон, то нужно доказывать либо равенство углов между этими сторонами, либо равенство третьей пары сторон.

6) Если треугольники имеют прямой угол, используем признаки равенства прямоугольных треугольников.

7) Ищем недостающие пары равных углов или равных сторон ( при необходимости используем подсказки).

8) Если данных недостаточно, выясняем, можно ли доказать равенство других треугольников, чтобы из него получить равенство сторон или (и) равенство углов для наших треугольников.

9) Если необходимо, проводим дополнительные построения.

На следующем этапе на конкретных задачах рассмотрим, как доказывать, что треугольники равны.

5 Comments

Большое спасибо:) информация очень полезная)) теперь хоть умею доказывать равенство треугольников

Эля, я рада, что эта информация помогла Вам разобраться в данной теме. Желаю дальнейших успехов в изучении геометрии!

Спасибо огромное очень помогло наконец научился доказывать равенства треугольников!

Спасибо вам большое) наверно из всех сайтов про геометрию выбираю только ваш.Очень подробно и хорошо объясняетте. ещё спасибо за то что ваш сайт и вы помогли мне подняться с оценками по данному предмету. СПАСИБО!

Alex, желаю Вам дальнейших успехов в освоении геометрии!

Источник

Признаки равенства треугольников

В данной публикации мы рассмотрим признаки равенства треугольников, а также разберем пример решения задачи разными способами для закрепления изложенного материала.

Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны между собой, если выполняется одно из условий, представленных ниже.

1 признак

Две стороны и угол между ними первого треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними второго треугольника.

2 признак

Сторона и два прилежащих к ней угла первого треугольника соответсвенно равны стороне и двум прилежащим к ней углам второго треугольника.

3 признак

Три стороны первого треугольника соответственно равны трем сторонам второго треугольника.

Примечание: равенство прямоугольных треугольников, наряду с вышеперечисленными, доказывается и по другим признакам.

Пример задачи

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке E. Докажите, что △AED = △BEC.

Решение 1

Т.к. это параллелограмм, его противоположные стороны равны, т.е. AD=BC.

Диагональ AC, также, является секущей, которая пересекает две параллельные прямые, на которых лежат стороны AD и BC. Как известно, внутренние накрест лежащие углы попарно равны, следовательно, ∠СAD = ∠ACB. Аналогичным образом, равны углы ∠BDA и ∠DBC.

Значит, рассматриваемые нами треугольники △AED и △BEC равны по второму признаку равенства (по стороне и 2 прилежащим к ней углам).

Примечание: таким же способом можно доказать, что △AEB = △CED.

Решение 2

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, т.е. AE=EC и BE=ED. Также противоположные стороны параллелограмма равны, т.е. BC=AD.

Таким образом, △AED и △BEC равны согласно третьему признаку равенства (по трем сторонам).

Примечание: Аналогичным образом можно доказать равенство △AEB и △CED.

Решение 3

Разбирая решения 1 и 2 мы уже выяснили, что накрест лежащие углы равны, а диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся на две одинаковые части.

С учетом этого, доказать равенство треугольников △AED и △BEC (или △AEB и △CED) можно, сославшись на первый признак (по двум сторонам и углу между ними).

Источник

Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

1) по двум сторонам и углу между ними

Пусть у треугольников АВС и А₁В₁С₁ угол A равен углу А₁, АВ равно А₁В_1, АС равно А₁С₁. Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы угол A совместился с углом A₁. Так как АВ=А₁В₁, а АС=А₁С₁, то B совпадёт с В₁, а C совпадёт с С_1. Значит, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

2) по стороне и прилежащим к ней углам

ПустьАВС и А₁В₁С_{1 –} два треугольника, у которых АВ равно А₁В_1, угол А равен углу А₁, и угол В равен углу В₁. Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы AB совпало с A₁B_1. Так как ∠ВАС =∠В₁А₁С₁ и ∠АВС=∠А₁В₁С₁, то луч АС совпадёт с А₁С₁, а ВС совпадёт с В₁С₁. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С_1. Значит, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

3)по трём сторонам

Доказательство :

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A₁B₁C₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A₁, вершина В — с вершиной В₁, а вершины С и С₁, оказались по разные стороны от прямой А₁В₁. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С₁С про­ходит внутри угла А₁С₁В₁. Так как по условию теоремы стороны АС и A₁C₁, ВС и В₁С₁ равны, то треугольники A₁C₁C и В₁С₁С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A₁C₁B₁.

Итак, AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, ∠C=∠C₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по
первому признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

2. Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и A_n провести прямую и к ней параллельные через точки A₁ – A_n-1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2. ΔABB₂=ΔCDD₂ ABB₂ CDD₂ BAB₂ DCD₂ и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB₁ и DD₁ прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB₂ = CD₂ как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A₁B₁ = AB₂ = CD₂ = C₁D₁

Источник