Как доказать что углы равны как вертикальные

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

,

,

Следовательно . Аналогично доказывается, что .

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то . Углы 1 и 4 смежные. Следовательно . Тогда

.

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда

Ответ. .

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Ответ. .

Источник

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Содержание

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Отыскание смежных углов треугольника. Пример 5

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°.

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Давайте докажем это свойство.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

№3. Тип задания: выделение цветом.

Выделите верный ответ из списка:

60 0 ; 30 0 ; 75 0 ; 90 0

Источник

Как доказать, что углы треугольников равны

Как доказать, что углы треугольников равны? Рассмотрим возможные варианты.

Углы треугольников могут быть равны в следующих случаях:

1) Угол — общий (один и тот же угол принадлежит одновременно двум различным треугольникам).

3) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

4) Если дана биссектриса треугольника, то исходный угол разделен ею на два равных угла.

5) Если дана высота треугольника, то она образует два прямых (а значит, равных) угла.

6) Угол, смежный с прямым, есть прямой угол (а значит, они равны между собой).

7) Углы, смежные с равными, равны между собой.

8) Соответствующие углы равных треугольников равны между собой.

9) Если к равным углам прибавить равные углы, то получим равные углы.

10) Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы.

11) Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны между собой.

12) Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны между собой.

13) Углы равны по условию.

14) Углы равны по построению.

15) Углы равны по доказанному.

5 Comments

На вопрос вы так и не ответили. «Как доказать, что углы равны?» а не «В каких случаях углы равны?». Как-то так; информация не полная, а так все отлично.

Равенство углов следует из равенства треугольников. Значит, в большинстве задач, чтобы доказать, что углы равны, нужно доказать равенство треугольников.
Еще можно доказать, что два угла являются углами при основании равнобедренного треугольника, соответственными или внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых и т.д. — об этом сказано выше.

А если в «моём» случае не подходит?

Значит, искать «свой», подходящий вариант.

Спасибо, очень много вариантов! Я уж думала никогда не найду ответ, а тут белая куча ответов! Спасибо!

Источник

Угол. Свойства смежных и вертикальных углов.

Сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.

Даны два смежных угла: АОВ и ВОС. Требуется доказать, что:

Восставим из точки О к прямой АС перпендикуляр OD. Мы разделили угол АОВ на две части AOD и DOB так, что можно написать:

Прибавим к обеим частям этого равенства по одному и тому же углу BOС, отчего равенство не нарушится:

что и требовалось доказать.

Следствия.

Если из одной точки ( O) прямой (AB) восстановить к ней, по каждую ее сторону, перпендикуляры, то эти перпендикуляры образуют одну прямую (СD). Из всякой точки вне прямой можно опустить на эту прямую перпендикуляр и притом только один.

Потому, что сумма углов COB и BOD равна 2d.

Прямая С части которой OС и OD служат перпендикулярами к прямой AB, называется прямой перпендикулярной к AB.

Если прямая СD перпендикулярна к прямой AB, то и наоборот: AB перпендикулярна к СD, потому что части OA и OB служат также перпендикулярны к СD. Поэтому прямые AB и СD называются взаимноперпендикулярными.

То, что две прямые AB и СD взаимноперпендикулярны, выражают письменно так AB ^ СD.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного составляют продолжение сторон другого.

Два вертикальных угла равны.

Пусть даны два вертикальных угла: AOD и СOB т.е. OB есть продолжение OA, а OС продолжение OD.

По свойству смежных углов можем написать:

Значит: AOD + DOB = DOB + BOС.

Если вычесть из обеих частей этого равенства по углу DOB, получим:

Источник