Как доказать что углы равны геометрия

Как доказать, что углы треугольников равны

Как доказать, что углы треугольников равны? Рассмотрим возможные варианты.

Углы треугольников могут быть равны в следующих случаях:

1) Угол — общий (один и тот же угол принадлежит одновременно двум различным треугольникам).

3) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

4) Если дана биссектриса треугольника, то исходный угол разделен ею на два равных угла.

5) Если дана высота треугольника, то она образует два прямых (а значит, равных) угла.

6) Угол, смежный с прямым, есть прямой угол (а значит, они равны между собой).

7) Углы, смежные с равными, равны между собой.

8) Соответствующие углы равных треугольников равны между собой.

9) Если к равным углам прибавить равные углы, то получим равные углы.

10) Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы.

11) Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны между собой.

12) Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны между собой.

13) Углы равны по условию.

14) Углы равны по построению.

15) Углы равны по доказанному.

5 Comments

На вопрос вы так и не ответили. «Как доказать, что углы равны?» а не «В каких случаях углы равны?». Как-то так; информация не полная, а так все отлично.

Равенство углов следует из равенства треугольников. Значит, в большинстве задач, чтобы доказать, что углы равны, нужно доказать равенство треугольников.
Еще можно доказать, что два угла являются углами при основании равнобедренного треугольника, соответственными или внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых и т.д. — об этом сказано выше.

А если в «моём» случае не подходит?

Значит, искать «свой», подходящий вариант.

Спасибо, очень много вариантов! Я уж думала никогда не найду ответ, а тут белая куча ответов! Спасибо!

Источник

Признаки равенства треугольников

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.

Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.

Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.

Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.

CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.

Вершина B совпадает с вершиной B1.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник

Как установить и доказать, что треугольники равны

Тема треугольников одна из основных важных и больших тем школьной программы в геометрии 7−9 классов. Усвоив её хорошо, возможно решать очень сложные задачи. При этом можно изначально рассматривать совершенно другую геометрическую фигуру, а затем разделить её для удобства на подходящие треугольные части.

Как доказать, что треугольники равны

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрияДля работы над доказательством равенства ∆ ABC и ∆A1B1C1 нужно хорошо усвоить признаки равенства фигур и уметь ими пользоваться. Перед изучением признаков необходимо научиться определять равенство сторон и углов простейших многоугольников.

Чтобы доказать, что углы треугольников равны, помогут следующие варианты:

Это интересно: Как найти периметр треугольника.

3 признака равенства треугольников

Доказательство равенства ∆ ABC и ∆A1B1C1 очень удобно производить, опираясь на основные признаки тождественности этих простейших многоугольников. Существует три таких признака. Они являются очень важными при решении многих геометрических задач. Стоит рассмотреть каждый.

Перечисленные выше признаки являются теоремами и доказываются методом наложения одной фигуры на другую, соединения вершин соответственных углов и начала лучей. Доказательства равенства треугольников в 7 классе описаны в очень доступной форме, но сложны в изучении школьниками на практике, так как содержат большое количество элементов, обозначенных заглавными латинскими буквами. Это не совсем привычно для многих учеников на момент начала изучения предмета. Подростки путаются в названиях сторон, лучей, углов.

Доказательство подобия треугольников

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрияЧуть позже появляется ещё одна важная тема «Подобие треугольников». Само определение «подобие» в геометрии означает схожесть формы при различии размеров. Для примера можно взять два квадрата, первый со стороной 4 см, а второй 10 см. Эти виды четырёхугольников будут похожи и, одновременно, иметь отличие, поскольку второй будет больше, причём каждая сторона увеличена в одинаковое количество раз.

В рассмотрении темы подобия также приводятся 3 признака:

Как же доказать, что треугольники подобны? Достаточно воспользоваться одним из выше перечисленных признаков и грамотно описать весь процесс доказательства задания. Тема подобия ∆ MNK и ∆ SDH проще воспринимается школьниками исходя из того, что к моменту её изучения ученики уже свободно пользуются обозначениями элементов в геометрических построениях, не путаются в огромном количестве названий и умеют читать чертежи.

Завершая прохождение обширной темы треугольных геометрических фигур, учащиеся уже в совершенстве должны знать, как доказать равенство ∆ MNK = ∆ SDH по двум сторонам, установить равны два треугольника или нет. Учитывая, что многоугольник, имеющий ровно три угла — это одна из важнейших геометрических фигур, к усвоению материала следует подойти серьёзно, уделяя особое внимание даже мелким фактам теории.

Источник

Как доказать что углы равны геометрия

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла). Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области.

Содержание:

На рисунке 2.47 изображена прямая Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия, на ней отмечена точка В, которая разделяет прямую Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрияна три части:

1) первая состоит из точек, лежащих левее точки В;

2) вторая состоит из самой точки В;

3) третья состоит из точек, лежащих правее точки В.

Объединение первого или третьего множеств с точкой В называется лучом или полупрямой. Таким образом, точка В определила на прямой Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометриядва луча.

Точка В называется началом каждого из этих лучей или начальной точкой полупрямой.

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Луч обозначается латинскими буквами: одной строчной (например, Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрияна рис. 2.48) или двумя заглавными, одна из которых обозначает начало луча, а вторая — какую-либо точку на луче (например, луч ВС на рис. 2.49).

Полупрямые прямой Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия, на которые она разбивается точкой В, называются дополнительными.

В повседневной жизни мы часто употребляем понятие направления: направление движения пешехода или автомобиля, направление удара мяча в

футбольном матче, направление полета самолета или ракеты и т. д.

При задании направления используют понятие луча. В геометрии считают, что направление задается лучом, а определить понятие «направление» можно как множество лучей, сонаправлен-ных (одинаково направленных) с данным (рис. 2.50).

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

1. Если два луча лежат на одной прямой, то будем считать их одинаково направленными, если один из них содержится в другом, и противоположно направленными, если один из них не содержится в другом.

2. Если два луча параллельны, но не лежат на одной прямой, то проведем через их начала плоскость, которая разделит пространство на два полупространства. Если лучи лежат в одном из этих полупространств, то они сонаправлены (рис. 2.51). Если же лучи лежат в разных полупространствах, то они противоположно направлены (рис. 2.52).

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Понятие угла

На рисунке 2.53 два луча OA и ОВ имеют общее начало. Эти два луча с общим началом всегда лежат в одной плоскости.

При таком расположении лучи разбивают плоскость, которую они образуют, на две части (рис. 2.54). Эти части плоскости вместе с образовавшими их лучами в геометрии называются углами.

Определение. Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости.

На рисунке 2.54 лучи OA и ОВ имеют общее начало — точку О и разбивают плоскость на две части. Исходя из определения угла, получили два различных угла.

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Точка, из которой выходят ограничивающие угол лучи, называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла (рис. 2.55). Лучи OA и ОС на этом рисунке определяют два угла.

Весь угол изобразить на рисунке нельзя, как нельзя на рисунке изобразить весь луч. Каждый угол в действительности продолжается бесконечно. На рисунке 2.56 выделены только части изображенных углов.

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Слово «угол» иногда заменяют знаком Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия. Часто при изображении угла чертят только выходящие из вершины начальные участки его сторон, а ту часть, которую хотят указать, обозначают дужкой (рис. 2.57)

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Угол обозначается или одной заглавной буквой, поставленной у вершины угла, например: Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия(рис. 2.57), или тремя буквами, из которых одна ставится при вершине угла, а две другие — у каких-нибудь точек сторон, например: Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия(рис. 2.57). Буква, стоящая при вершине угла, всегда записывается между двумя другими буквами. Иногда угол обозначают цифрой, поставленной внутри угла (рис. 2.58).

Для изучения свойств углов используется понятие луча, проходящего между сторонами угла.

Определение. Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.

На рисунке 2.59 луч ОВ проходит между сторонами угла АОС, так как он исходит из вершины угла АОС и пересекает отрезок MP. Концы отрезка MP лежат на сторонах угла АОС.

Возьмем луч АС (рис. 2.60) и будем поворачивать его вокруг точки А против часовой стрелки, например, до положения АВ, тогда его последовательные положения «заметут» угол со сторонами АС и АВ.

Продолжая вращать луч в том же направлении, мы будем получать все новые и новые углы. В определенный момент оба луча составят прямую линию (рис. 2.61). Такой угол называется развернутым углом.

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Развернутый угол есть часть плоскости, ограниченная прямой, т. е. полуплоскость (рис. 2.62). Сторонами развернутого угла являются две дополнительные полупрямые.

Определение. Развернутым углом называют угол, стороны которого являются дополнительными полупрямыми одной прямой.

Если продолжить вращение луча дальше, чем показано на рисунке 2.62, то будут получаться новые углы (рис. 2.63), пока луч не вернется в свое первоначальное положение (рис. 2.64).

Самый большой возможный угол, полученный в ходе вращения луча, называется полным углом. Полный угол, в сущности, есть вся плоскость (рис. 2.65), а не ее часть, ограниченная двумя лучами.

Измерение углов

Каждый угол характеризуется его величиной, которая называется градусной мерой угла. Измерение углов осуществляется аналогично измерению отрезков — оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометриячасти развернутого угла. Градус обозначают знаком Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия.

Градусную меру часто называют просто величиной угла. Величина угла, равного Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометриячасти градуса, называется минутой и обозначается знаком Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия, Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометриячасть минуты называется секундой и обозначается знаком Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия. Например, угол в 60 градусов 32 минуты 17 секунд записывается так: 60°32’17».

Так как градус составляет Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометриячасть развернутого угла, развернутый угол равен 180°.

Определение. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называют градусной мерой угла.

В зависимости от градусной меры углы бывают трех видов: острые, прямые и тупые.

Определение. Угол, равный 90°, называют прямым углом. Прямой угол обозначается буквой d. Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90°, называют тупым углом.

Градусные меры угла обозначаются или так же, как сами углы, или буквами греческого алфавита. Например, запись Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометриячитается: величина (или градусная мера) угла АОВ равна 45 градусам. На рисунке 2.66 величина острого угла записана: Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия, читаем: величина угла Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрияменьше 90 градусов. Аналогично записываются и читаются величины прямого и тупого углов (рис. 2.67, 2.68).

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Основные свойства измерения углов

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Например, на рисунке 2.69 луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, градусная мера угла АОВ равна сумме градусных мер углов АОС и СОВ, то есть Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Для измерения градусных мер углов (величин углов) на уроках геометрии применяется транспортир (рис. 2.70). На рисунке 2.71 показано, как с помощью транспортира можно измерять угол в 30°, 90°, 120°. На рисунке 2.72 показано, как с помощью транспортира можно отложить от полупрямой OA в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой 60°.

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Пример:

Между сторонами угла COD, равного 120°, проходит луч OA. Найдите углы СОА и AOD, если их градусные меры относятся как 4:2.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

2. Луч OA проходит между сторонами угла COD.

3. Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Найдите градусные меры углов СОА и AOD.

4. Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия(2, свойства измерения углов).

5. Так как градусные меры углов СОА и AOD относятся как 4:2, то можно считать, что Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометриясостоит из 6 частей (1, 2, 3, 4).

6. Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Равенство углов. Биссектриса угла

Как и при определении равенства отрезков, рассматриваются два определения равенства углов.

Определение. Углы равны, если равны их градусные меры.

На рисунке 2.73 изображены два угла ABC и DEM, величины которых равны, а значит, по определению, эти углы равны. Равенство углов обозначается так: Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Определение. Углы называются равными, если их можно совместить наложением друг на друга.

Развернутые углы при наложении всегда могут быть совмещены. Отсюда следует, что все развернутые углы равны между собой. Полные углы равны между собой.

Пусть есть два угла: Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия(рис. 2.74). Если угол 1 наложить на угол 2 так, чтобы их вершины совпали, одна из сторон угла 1 совместится со стороной угла 2, но при этом угол 1 составит только часть угла 2 (рис. 2.75). В этом случае говорят, что величина угла 1 меньше величины угла 2. Можно сформулировать по-другому: угол 1 меньше угла 2.

Используя понятие равенства углов, можно дать определение одному из важных понятий геометрии — биссектрисе угла.

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Определение. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

На рисунке 2.76 луч ОМ — биссектриса угла АОВ, при этом Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Смежные углы

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке 2.77 Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрияявляются смежными, так как лучи OA и ОС — дополнительные полупрямые, а луч ОВ — общая сторона этих углов.

Теорема 4.

Сумма смежных углов равна 180°.

Из теоремы 4 вытекают следующие следствия — свойства смежных углов.

Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Следствие 3. Угол, смежный с острым, является тупым, а смежный с тупым — острым.

Вертикальные углы

На рисунке 2.78 изображены две пересекающиеся в точке О прямые АВ и CD. При пересечении этих прямых образовалось четыре угла: Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

На рисунке 2.78 углы 1 и 3, 2 и 4 вертикальные.

Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Теорема 5.

Вертикальные углы равны.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Смежные углы дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми.

Пример:

На рисунке 2.79 угол COD равен 30°. Чему равны углы АОК и DOK?

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Прямые СК и AD пересекаются в точке О.

2. Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия(рис. 2.79)

3. Найдите углы АОК и DOK.

4. Углы COD и АОК вертикальные (1, определение вертикальных углов).

5. Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия(2, свойство вертикальных углов).

6. Угол DOK смежный с углом COD (1, определение смежных углов).

7. Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия(6, свойство смежных углов).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрияКак доказать что углы равны геометрия. Смотреть фото Как доказать что углы равны геометрия. Смотреть картинку Как доказать что углы равны геометрия. Картинка про Как доказать что углы равны геометрия. Фото Как доказать что углы равны геометрия

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *