Как показать что прямая лежит в плоскости

Прямая на плоскости – необходимые сведения

Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости – понятие

Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.

Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.

Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.

Взаимное расположение прямой и точки

На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.

Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.

Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.

Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.

Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:

Взаимное расположение прямых на плоскости

Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.

Две прямые на плоскости могут совпадать.

Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.

Две прямые на плоскости могут пересекаться.

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Две прямые на плоскости могут быть параллельны.

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.

Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:

Рассмотрим это на рисунках.

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Способы задания прямой на плоскости

Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.

Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.

Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки. Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.

Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.

Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.

Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:

Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.

Источник

Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости

Статья рассматривает понятия параллельность прямой и плоскости. Будут рассмотрены основные определения и приведены примеры. Рассмотрим признак параллельности прямой к плоскости с необходимыми и достаточными условиями параллельности, подробно решим примеры заданий.

Параллельные прямые и плоскость – основные сведения

Прямая и плоскость называются параллельными, если не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Параллельность прямой и плоскости – признак и условия параллельности

Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны. Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости. Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.

Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.

Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.

Значит, перпендикулярность векторов a → и n → очевидна. Отсюда следует, что прямая с плоскостью являются параллельными.

Ответ: прямая с плоскостью параллельны.

Отсюда следует, что прямая А В с координатной плоскостью О y z не являются параллельными.

Ответ: не параллельны.

Из определения следует, что прямая a с плоскостью α не должна иметь общих точек, то есть не пересекаться, только в этом случае они будут считаться параллельными. Значит, система координат О х у z не должна иметь точек, принадлежащих ей и удовлетворяющих всем уравнениям:

Система уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не имеет решения, когда ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Это проверяется теоремой Кронекера-Капелли для решения линейных уравнений. Можно применять метод Гаусса для определения ее несовместимости.

Для решения данного примера следует переходить от канонического уравнения прямой к виду уравнения двух пересекающихся плоскостей. Запишем это так:

Видим, что она не решаема, значит прибегнем к методу Гаусса.

Отсюда делаем вывод, что система уравнений является несовместной, так как прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Ответ: прямая и плоскость параллельны.

Источник

Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Содержание:

Плоскость в пространстве

Общее уравнение плоскости

Определение: Уравнение вида Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Определение: Порядок поверхности определяется по высшему показателю степени переменных х, у и z или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Определение: Уравнение вида Ax+By+Cz+D=O называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим частные случаи приведенного уравнения:

1. D = 0; Ах + By + Сz = 0. Из этого уравнения видно, что точка О(0; 0; 0) удов- летворяет этому уравнению, следовательно, это уравнение описывает плоскость, проходящую через начало координат (Рис. 36). Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Рис. 36. Плоскость, проходящая через начало координат.

2. С = 0; Ах + Ву + D = 0. Этому уравнению удовлетворяет любое значение переменной z, поэтому данное уравнение описывает плоскость, которая параллельна оси аппликат (Oz) (Рис. 37). Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Рис. 37. Плоскость, проходящая параллельно оси аппликат.

Замечание: При отсутствии в уравнении плоскости одной из переменных величин говорит о том, что плоскость параллельна соответствующей координатной оси.

Рис. 38. Плоскость, проходящая через начало координат параллельно оси аппликат.

4. Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости— плоскость проходит через точку Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостипараллельно плоскости Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости(Pис. 39). Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Рис. 39. Плоскость, проходящая параллельно координатной плоскости Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Рис. 40. Координатная плоскость Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости.

Другие уравнения плоскости

1. Уравнение плоскости в отрезках. Пусть в уравнении Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостикоэффициент Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскоститогда выполним следующие преобразования

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Введем следующие обозначения Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскоститогда уравнение примет вид Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостикоторое называется уравнением плоскости в отрезках. Найдем точки пересечения плоскости с координатными осями:Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Откладывая на координатных осях точки М, N и Р, соединяя их прямыми лучим изображение данной плоскости (для определенности принято, что параметры а, b, с положительные) (Рис. 41): Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Рис. 41. Отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

Из рисунка видно, что числа а, b, с показывают отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, считая от начала координат.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданному вектору. Пусть задана точка Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостичерез которую проходит плоскость перпендикулярно к заданному вектору Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиОЗ. Вектор Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиназывается нормальным вектором плоскости, если он перпендикулярен любой паре неколлинеарных векторов, лежащих на плоскости.

Возьмем на плоскости произвольную точку Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостии образуем вектор Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостисоединяющий точку Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостис точкой М (Рис. 42). Тогда Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиКак показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Рис. 42. Плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору.

В силу того, вектор Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостилежит в плоскости, то он перпендикулярен нормальному вектору Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиИспользуя условие перпендикулярности векторов Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостив проекциях перемножаемых векторов, получим уравнение плоскости, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через т. Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостипараллельно плоскости Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Решение:

Так как искомая плоскость параллельна плоскости (Q), то нормальный вектор этой плоскости Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости(см. коэффициенты при переменных величинах х, у и z в уравнении плоскости Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости) перпендикулярен к искомой плоскости и может быть взят в качестве нормального вектора этой плоскости. Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к данному вектору, получаем: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Пример:

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Решение:

Построим на искомой плоскости вектор Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостии вычислим нормальный вектор Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостикак векторное произведение векторов Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиКак показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиперпендикулярно к заданному вектору Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиимеет вид:Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Отметим, что при выборе точки, через которую проходит искомая плоскость из точек Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостибрать как точку, через которую проходит искомая плоскость.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть плоскость проходит через 3 известные точки Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиВозьмем произвольную точку плоскости М(х; у; z) и образуем векторы Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиКак показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Рис. 43. Плоскость, проходящая через три заданные точки.

Вектора Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостикомпланарные, используя условие компланарности векторов Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиполучим уравнение плоскости, проходящей через 3 известные точки: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Замечание: Полученный определитель третьего порядка раскрывается по элементам первой строки.

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Решение:

Основные задачи о плоскости в пространстве

1. Угол между пересекающимися плоскостями. Пусть даны две пересекающиеся плоскости Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостикоторые имеют нормальные векторы

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Пусть линия пересечения плоскостей определяется прямой (l). Из одной точки этой прямой проведем два перпендикулярных к прямой вектора Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиМеньший угол между этими векторами определяет угол между плоскостями (Рис.44):

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Рис.44. Угол между плоскостями.

В силу того, что Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостито угол между нормальными векторами равен углу между векторами Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиИз векторной алгебры известно, что угол между векторами определяется формулой: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Следствие: Если плоскости перпендикулярны (Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости), то условием перпендикулярности плоскостей является равенство: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости.

Следствие: Если плоскости параллельны, то нормальные вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности плоскостей: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

2. Расстояние от данной точки до заданной плоскости. Расстояние от данной точки Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостидо заданной плоскости Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиопределяется по формуле: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Пример:

На каком расстоянии от плоскости Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостинаходится точка Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Решение:

Воспользуемся приведенной формулой: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Прямая в пространстве

Общее уравнение прямой

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Определение: Геометрическое место точек пространства, удовлетворяющих системе уравнений (1), называется прямой в пространстве, а система уравнений (1) называется общим уравнением прямой.

Замечание: Для того чтобы система уравнений (1) определяла прямую в пространстве необходимо и достаточно, чтобы нормальные вектора плоскостей, определяющих прямую, Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостибыли неколлинеарными, т.е. выполняется одно из неравенств: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Пусть прямая проходит через точку Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостипараллельно вектору Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостикоторый называется направляющим вектором прямой (см. Лекцию Ле 7), тогда ее уравнение называется каноническим и имеет вид:

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Замечание: Если в уравнении (2) одна из проекций направляющего вектора равна 0, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Пример:

Как расположена прямая Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиотносительно координатных осей.

Решение:

Согласно замечанию эта прямая будет перпендикулярна осям абсцисс и ординат (параллельна оси аппликат) и будет проходить через точку Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиПриравняв каждую дробь уравнения (2) параметру t, получим параметрическое уравнение прямой:

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Пример:

Записать уравнение прямой Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостив параметрическом виде.

Решение:

Приравняем каждую дробь к параметру t: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиЕсли прямая проходит через две известные точки Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостито ее уравнение имеет вид: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостии называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример:

Решение:

Составим каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиПерейдём к параметрическому уравнению Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиили Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиСоставим каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиПерейдём к параметрическому уравнению прямой Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Основные задачи о прямой в пространстве

1. Переход от общего уравнения прямой к каноническому. Пусть прямая задана общим уравнением Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиДля того, чтобы перейти от этого уравнения прямой к каноническому, поступают следующим образом:

Пример:

Записать уравнение прямой Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостив каноническом и параметрическом виде.

Решение:

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Запишем каноническое Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостии параметрическое уравнения прямой:

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Угол между пересекающимися прямыми

Угол между двумя пересекающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Если прямые Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиимеют направляющие вектора

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

соответственно, то угол между прямыми определяется по формуле: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Следствие: Если прямые перпендикулярны (Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости), то условием перпендикулярности прямых является равенство: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Следствие: Если прямые параллельны, то направляющие вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности прямых: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Координаты точки пересечения прямой и плоскости

Пусть прямая (L) задана общим уравнением Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиа плоскость (Q) уравнением Ax+By+Cz+D=0. Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно обоим этим объектам, то ее координаты находят из системы уравнений: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиЕсли прямая (L) задана каноническим уравнением Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиа плоскость (Q)

Рассмотрим возможные случаи:

Пример:

Найти координаты точки пересечения прямой (L), заданной уравнением Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостии плоскости (Q): 2x-y+3z-4=0.

Решение:

Перепишем уравнение прямой (L) в параметрическом виде Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиПодставим найденные величины в уравнение плоскости (Q)? получим

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Найденное значение параметра Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиподставим в параметрическое уравнение прямой Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиТаким образом, прямая пересекает заданную плоскость в точке Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Угол между прямой и плоскостью

Пусть дана плоскость (Q) с нормальным вектором Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостии пересекающая ее прямая (L) с направляющим вектором Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости(Рис.45). Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Рис. 45. Угол между прямой и плоскостью.

Угол Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиявляется углом между прямой (L) и плоскостью (Q). Угол между нормальным вектором плоскости и прямой обозначим через Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиИз рисунка видно, что Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиСледовательно,

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Следствие: Если прямая перпендикулярна плоскости (Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости), то условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Следствие: Если прямая параллельна плоскости (Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости), то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны (Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости), следовательно, условие параллельности прямой и плоскости: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости.

Плоскость и прямая в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостизадает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты А, В, С одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

Уравнения координатных плоскостей: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Прямая в пространстве может быть задана:

Тогда прямая определяется уравнениями: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиназывается направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиРешая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных х и у, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой.Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости— нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостив уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиравносильна системе Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскоститакая прямая перпендикулярна к оси Ох. Система Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиравносильна системе Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостипрямая параллельна оси Oz.

Пример:

Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение:

По условию задачи вектор Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиявляется нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиПодставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиИтак, Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Пример:

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и образующей с плоскостью Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Решение:

Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнениемКак показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиодновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно 0, Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиПо формуле косинуса угла В между двумя плоскостями Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Решая квадратное уравнение Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостинаходим его корни Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиоткуда получаем две плоскости Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Пример:

Составьте канонические уравнения прямой: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиКак показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Решение:

Канонические уравнения прямой имеют вид:

Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиКанонические уравнения прямой имеют вид: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Пример:

В пучке, определяемом плоскостями Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостинайти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М (1,0,1).

Решение:

Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостигде Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостине обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Тогда уравнение плоскости, содержащей М, найдем, подставив Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостив уравнение пучка: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Т.к. и Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости(иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиВторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид: Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскостиили Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть фото Как показать что прямая лежит в плоскости. Смотреть картинку Как показать что прямая лежит в плоскости. Картинка про Как показать что прямая лежит в плоскости. Фото Как показать что прямая лежит в плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *