Как вы понимаете утверждение что книга природы написана языком математики

Исследовательский проект “Язык математики”

Автор: Логунов Ярослав Евгеньевич

Место работы/учебы: МОУ СОШ №2, г.Звенигород, Московская область, 7 класс

Научный руководитель: Ющенко Марина Сергеевна, учитель математики

Аннотация

Оказывается, Галилей придерживался мнения о том, что природа сотворена по математическому плану. Он писал: “Философия природы написана в величайшей книге,… но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики”.

И вот, что бы найти ответ на вопрос о математическом языке, я изучил много литературы, материалов из интернета.

В, частности, нашел в Интернете «Историю математики» Стройка Д. Я., где узнал этапы развития математики и математического языка.

Я постарался ответить на вопросы:

Я думаю, это будет интересно не только мне, т. к. все мы пользуемся языком математики.

Поэтому целью моей работы стало изучение такого явления как «математический язык», его распространение и применение.

Естественно, что объектом исследования будет математический язык.

Результаты

Содержание работы

Если прикрепленный файл не отображается, перегрузите, пожалуйста, страницу

Дата публикации работы: 06.11.2020

Конкурс, в котором участвует работа

Смотреть похожие работы

Развитие нашего общества не возможно без современных IT-технологий. Для разработки любого технологического процесса сейчас используют компьютерные программы. Поэтому развитие экономики напрямую связано с качественной и быстрой работой компьютера. Суть …

Одной из основных проблем, изученных в данной работе, является развитие и усовершенствование физических качеств человека. Актуальность данного исследования состоит в том, что развитие своих физических качеств всегда будут актуальны для любого возраста. …

Трудно представить нашу жизнь без автомобиля. Невозможно и подумать, что вдруг опустеют улицы и шоссе. А еще каких – то сто пятьдесят лет назад этот транспорт был диковинкой. Теперь же автомобиль — самый распространенный и привычный для людей вид транс …

Мы – молодое поколение 21 века! Кому, как не нам, передавать будущим поколениям память о наших прадедах. Музеи – одно из тех мест, где хранится память, они имеют большое историческое значение в нашей жизни, ведь это наследие прошедших эпох, позволяющее …

Источник

Ахиллесова пята математической физики

Все лекции цикла можно посмотреть здесь.

«Книга природы написана на языке математики» – эту знаменитую фразу написал в XVII веке Галилей, один из пионеров науки Нового времени, той науки, которая непрерывно существует с XVII века по сегодняшний день. Самое интересное, что Галилею нужно было доказывать утверждение о том, что физические законы выражаются математически. Потому что существовавшая традиция физики, идущая еще от античности, – физика Аристотеля была не математической, она была качественной. Физика занималась и занимается тем, как это сформулировал Аристотель, то есть изучением движения материальных тел в мире. Но понять это движение по Аристотелю значило интерпретировать это движение в терминах так называемых четырех аристотелевских причин. Это было чисто качественное предприятие. А применять математику к физике и Аристотель, и большинство античных авторов считали очень нелогичным, потому что нужно познавать какую-то сферу сущего, соответственно тому языку, который здесь подходит. А язык математики был, во всяком случае по Аристотелю, языком некоторых воображаемых пространств, языком, в котором существуют точные окружности, абсолютные прямые, там где можно изменять и так далее. Но ничего этого нет в материальном мире, где нет ни абсолютно круглых шаров, нет точных размеров у тел. Кроме того, все это еще и изменяется, знаменитое античное панта рей (все течет), «в одну и ту же реку нельзя войти дважды». Как же измерять что-то, что постоянно изменяется?

Тем не менее с XVII века, как я уже сказал, физика начинает говорить на языке математики. Галилей в своей знаменитой книге «Диалог о двух главных системах мира, Птоломеевой и Коперниковой» как раз много раз пытается доказать это. Но доказать ему, на самом деле, это не удается. Встает вопрос, как вообще так получилось? А вот так получилось, такие парадоксы существуют в истории мысли, что тем не менее математику начали применять. Греки уже обнаружили так называемый факт несоизмеримости: если ставить вопрос о применении математики в физике, т.е. об измерении величин. Оказывается, не все можно измерить и в геометрии, если взять, например, какую-то единицу длины и построить квадрат со стороной этой единицы длины, уже диагональ этого квадрата будет несоизмерима с этой единицей длины, она не будет выразима ни в целых стороны квадрата, ни в его частях. Сегодня мы говорим, что длина ее будет неким иррациональным числом. Если сторона квадрата единица, то длина будет корень из двух. А корень из двух – это иррациональное число – 1, 42… и бесконечное количество знаков после запятой. Но сама по себе эта идея вошла как раз в XVII веке. Сначала, правда, просто делали вид, что все можно измерить и можно применять математику.

Сам по себе импульс этого математического познания шел из определенной реставрации влияний платонизма, потому что математика связана с традицией платонизма. Так было и в античности, и во время Возрождения, когда до этого на Западе Платона знали, но не вполне, а возрожденческие авторы, например Фичино, перевели почти всего Платона, и роль математики стала подниматься выше и выше. В частности под влиянием идеи, что и Сам Бог должен быть геометром, математиком и на основе математики создать этот точный мир, и даже в Библии есть тексты как бы указывающие на это, эта идея была апроприирована, и началось построение математической физики.

Но если подойти ближе, то выясняется, как я уже сказал, то доказательства факта, что все можно измерить в нашем мире, мы не имеем. Можно сказать это очень просто: вроде бы наука может заниматься всем, но если говорить о психологических сторонах, можно ли измерить любовь. Когда мы говорим «он ее так сильно любит», это вообще количественный аспект? Сегодня это привело к тому, что говорят: фильм на 600 миллионов долларов. Можно ли как-то измерить искусство и красоту? Или шедевр фарисейства нашего времени – материальная ценность морального ущерба. Как это вообще можно измерить?

Так что вопрос о том, что все можно измерить, висит. Но он висит и в самой математической физике, потому что, претендуя все измерить, мы используем так называемую концепцию действительного числа, разработанную в самой математике только к концу XIX века. Мы используем понятие иррационального числа, т.е. когда у числа, если мы записываем его в десятичной форме, после запятой бесконечное количество знаков. Но если это количество бесконечное, следовательно, мы не можем знать всех этих знаков. Математическим методом мы можем знать их как угодно далеко, но тем не менее всех их мы не знаем: их по определению бесконечное количество. Стало быть, оперируя такими числами, мы всегда как бы обрезаем эти бесконечные хвосты и используем только приближения к этим числам. Но ведь мы используем это не только в математике, но в физике и технологиях, связанных с физикой, когда делаем различные машины и т.д. Следовательно, когда на чертеже указана определенная длина и она является таким иррациональным числом, то реализовать это иррациональное число мы не можем, просто потому, что мы его не знаем. Практически это делается так, что в физике мы говорим, что эта величина больше этого, но меньше этого. Что значит – отбросить хвост у непериодической дроби? Это значит сказать, что она больше того, что останется после отбрасывания, но меньше, если последний разряд, например, увеличить на единицу. По существу это есть оценка. Другими словами, в так называемой точной науке – физике мы не точно знаем длины, а знаем только их оценки: больше чего и меньше чего. И встает вопрос, а как же тогда технологии, о которых я говорил? Ведь речь идет о том, что нужно делать шестеренку очень точно. Что там шестеренка, речь идет об атомных электростанциях, где какие-то ошибки вообще могут привести к катастрофе. Но на самом деле и там используется эта идея, по-другому мы не можем, теоретически мы говорим о числах с бесконечным количеством знаков, а практически используем только с конечным количеством знаком, то есть актуальная бесконечность не дается. Стало быть, хотя у нас и есть рассчитанные чертежи и т.д., тем не менее механизмы, построенные на основании их: шестеренки, валы всегда сделаны более или менее неточно. А к чему приводит эта неточность? Приведу вам цитату из моей статьи:

«Бросим взгляд на современный автомобиль, сверкающий зеркальным лаковым покрытием, с мягкими аэродинамическими формами, с почти бесшумно работающим двигателем, начиненный всевозможной электроникой и т.д. Какое совершенное создание технологической и научной мысли! Какой гимн пытливому человеческому разуму, проектирующему и создающему столь совершенные творения, спорящие, казалось бы, с созданиями Самого Творца мира. Но если мы «заглянем внутрь», если осознаем весь «блеск и нищету» реального технологического воплощения инженерных разработок, то мы увидим, что все валы сидят в своих отверстиях и гнездах «наискосок», потому что точно выточить отверстия и сделать вал невозможно, все шестеренки, по той же причине, несимметричны, все зазоры сделаны более или менее наугад, и все это видимое великолепие представляет собой отнюдь не то, за что оно себя выдает… А что значит, что «валы сидят в гнездах наискосок»? Это означает, что возникает эксцентрика: несовпадение геометрических и физических центров. А последнее неизбежно ведет за собой к возникновению биений, нарушений в равномерности вращения, и эти биения также неизбежно сотрясают и разрушают все это, казалось бы, совершенное создание… Все идет вразнос! «Своеволие» материи, о которой писал еще Платон, и о котором никогда не забывали древние греки, так и не преодолено!»

В этом смысле математическая физика всегда имеет свою внутреннюю границу – двусмысленное использование актуальной бесконечности.

Источник

Мир, написанный на языке математики.

Можно сказать, что Декарт развоплощает мир. Но у такой картины универсума есть одна, несомненно, сильная сторона: мир оказывается исчислим. Сущность так истолкованного мирозданья может быть выражена числами и показана на графике (сущность мирозданья оказывается геометрична и математична).

Но, если и называть это «метафизикой», то нужно помнить, что именно этот тип теоретического построения лежит в основе классической модели науки. Естествознание и в целом европейская наука делает огромные успехи на протяжении последующих трех веков. На этот прорыв оказывается способным именно математизированное естествознание (ничего подобного в предшествующие века не наблюдалось).

Но вернемся к Декарту. Декарт, развивая мысль Галилея о том, что истинный язык природы – математический, перестраивая философию (а, следовательно, и зависимые от нее области конкретного знания) так, чтобы она стала дедуктивной системой (по образцу геометрии) вовлекает в этот процесс реформации целостной структуры человеческого знания и саму математику: всем известный Декартов метод координат есть способ перевода алгебраических выражений в графические и наоборот. Декарт, реформируя философию, попутно реформирует и математику (его метод, по сути дела, объединяет алгебру с геометрией, делает из двух дисциплин, собственно, одну математику).

Физика Декарта.

Из понимания сущности материи как протяженной субстанции следует, согласно Декарту, что:

1. Вселенная бесконечна. Даже если где-то кончаются тела, что-то, за что может ухватиться взгляд (допустим, за краем галактики или там, где кончаются галактики), там все равно есть некое пространство, мы не можем помыслить себе край мира, за которым нет уже ничего, никакой протяженности.

2. Пустоты не существует. Вернее, не существует пустоты, о которой говорят философы, абсолютной пустоты. В обыденном смысле слова пустота существует, например, если в сосуде, предназначенном для воды нет воды, мы можем сказать, что он пустой. Но в этом сосуде есть воздух, и в этом смысле он не пуст. А если оттуда убрать воздух, если убрать всю, какая есть материю? Ну, Декарту, конечно же, не известно понятие «вакуум» (его еще не изобрели), но он говорит следующее: даже Бог не смог бы сделать так, чтобы между стенками сосуда не было бы никакой материи, и они бы не сомкнулись (это логически невозможно, если между стенками сосуда нет никакой протяженности, они должны были бы соприкасаться). Иными словами, Декарт бы сказал, что вакуум материален (поскольку он протяжен).

Грубо говоря, согласно Декарту, само пространство материально (то пространство, в котором заключен, например, стол, который я вижу, и равным образом то пространство, в котором не заключено ничего из того, что я бы мог обозначить как «вещь»[6]) (и в первом и во втором – одинаковое количество материи, ведь количество материи измеряется у Декарта не весомостью вещи, а самой по себе протяженностью).

3. Не существует атомов. Вернее, не существует атомов, как неделимых частиц материи. Сколь маленькую частицу материи мы бы не помыслили, мы могли бы ее мысленно поделить, а значит, заключает Декарт, она, в принципе делима. Разумеется, Декарт понимает сущность материи геометрично, а, с точки зрения геометрии, любой отрезок может быть поделен пополам!/ К тому же (добавляет Декарт), если бы мы допустили неделимые атомы, то их движение требовало бы наличия пустоты.

4. Существует один мир, миров не может быть много. Ибо мы можем помыслить только такую материю, с такими, а не иными свойствами (а именно, протяженную в длину, ширину и глубину). Если и существует множество миров, то материя в этих мирах – одна и та же (подчиняющаяся одним и тем же законам), а, следовательно, мир, по сути дела, все равно, один.

За сорок с лишним лет до Ньютона, Декарт формулирует «закона природы» (три закона движения). Впрочем, они отличаются от ньютоновских[7]. Содержание первых двух законов природы Декарта соответствует первому закону Ньютона. Но на самом деле здесь Декарт не первый, а второй. Принцип движения, нашедший потом свое воплощение в первом законе Ньютона, впервые был сформулирован Галилеем. Это – галилеевский «принцип инерции».

В процессе научной революции (в 16-м, 17-м веках) меняется понимание природы движения (понимание того, что такое движение). Здесь Декарт – не единственная фигура, помимо него нужно упомянуть, как минимум, Галилея и Ньютона.

В универсуме Аристотеля движение было связано с душой. Согласно Аристотелю (а его продолжает придерживаться вся средневековая физика), одушевленное тело движется постольку, поскольку его приводит в движение его душа. Неодушевленное тело (в норме, по Аристотелю) покоится. Или же движется вынужденным движением: например, моя рука может толкать шар, кинуть камень.

Приведенное в движение чем-то живым, неодушевленное тело будет двигаться, но, рано или поздно оно остановится. Согласно физике Аристотеля, чтобы тело (не имеющее души) двигалось с постоянной скоростью, на него непрерывно должна воздействовать сила.

Принцип инерционного движения, сформулированный Галилеем (это – то, чему нас учат в школе на физике) гласит: тело, на которое не действует сила, сохраняет то количество движения, которое имеет (если оно двигалось, то продолжает двигаться с постоянной скоростью, если покоилось, то продолжает покоиться).

Если мы примем принцип инерции, то этого не потребуется. В мире может не быть ничего живого, но, тем не менее, останутся физические тела, бесконечно движущиеся и обменивающиеся количеством движения. В таком случае душа уже не нужна для объяснения того, почему в мире не уменьшается количество движения, мир может оказаться простой совокупностью физических тел, просто механизмом (который движется сам).

Декарт пишет, что главный предрассудок, оставшийся нам от детства, когда мы еще не умели мыслить критически, состоит в том, что мы полагаем движение связанным с усилием, совершаемым нашим телом. В детстве наша мысль чересчур привязана к телу и к органам чувств, поэтому мы убеждены, что «в движении больше действия, нежели в покое»[8].

Декарт понимает, что при взаимодействии тел количество движения сохраняется (третий закон природы, по Декарту) но Декарт не нашел и не сформулировал числовой зависимости массы тел и того, какую скорость они получают в результате взаимодействия (то, что мы найдем во втором законе Ньютона). Но у Декарта мы не найдем того, что содержится во втором законе Ньютона: точной числовой зависимости массы тела и характера изменения его движения[9].

Более того, Декарт говорит по этому поводу странную вещь. Он полагает, что привести в движение покоящееся тело сложнее, чем изменить траекторию уже движущегося. Рассуждать так, означает утверждать, что покой обладает некой силой. А это уже больше напоминает Аристотеля, нежели Галилея. Похоже на то, что, расшифровывая им же сформулированные законы природы, Декарт запутывается, ему не до конца удается придерживаться «принципа инерции» Галилея.

Декарту не удалось довести дело до конца, как это удалось сделать Ньютону /такое впечатление, что ему мешают это сделать некие оставшиеся установки схоластического мышления/. Но сама идея «законов природы» принадлежит Декарту. Наличие законов природы предполагает, что в мире все происходит единообразным образом. Декарт рассматривает Бога как причину, породившую мир, устроившую механизм мирозданья, сообщившую ему определенное количество движения. И все. Дальше Бог в механизм мирозданья не вмешивается. Он должен работать сам, ведь это – очень хороший механизм (необходимость постоянного вмешательства, поддержания, уронила бы, по мысли Декарта, величие Бога).

Такая картина универсума носит название «картезианский механицизм» (мир – механизм, работающий в соответствии с неизменными законами, Бог – создавший и запустивший его Механик).

Впрочем, что от такой картины мира до классического атеистического материализма один шаг – это понятно: достаточно предположить, что этот механизм никто не создавал, что он вечен, как и законы его движения.

Источник

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемschool85ekt.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » Математика это язык, на котором написана книга природы. (Галилео Галилей) Математика наиболее совершенный способ водить самого себя за нос.(Альберт Эйнштейн)» — Транскрипт:

2 Математика это язык, на котором написана книга природы. (Галилео Галилей) Математика наиболее совершенный способ водить самого себя за нос.(Альберт Эйнштейн) Математика это наука о бесконечном.(Герман Вейл) Чистая математика это такой предмет, где мы не знаем, о чём мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим.(Бертран Рассел) Истинную философию вещает природа; но понять ее может лишь тот, кто научился понимать ее язык, при помощи которого она говорит с нами. Этот язык есть математика.(Галилео Галилей)

4 Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

5 Как в уме умножать на 11? Как быстро в уме умножать двухзначные числа на 11? Всё просто! Просуммируй первую и вторую цифру числа, которое собираешься умножать на 11, и поставь сумму цифр посередине. Получившееся число из трёх цифр и есть результат. В случае если сумма цифр окажется больше 10, например 14, то прибавь 1 к первой цифре, а 4 ставь посередине. Вот примеры, по котором всё станет ясно: 25 x 11 = 2 (2+5) 5 = 275, 34 x 11 = 3 (3+4) 4 = 374, 48 x 11 = 4 (4+8) 8 = 4 (12) 8 = (4+1) (2) 8 = 528.

6 Среди всех фигур с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.

7 На самом деле, миг – это единица времени, которая длится примерно сотую долю секунды.

8 Число 18, является единственным (кроме нуля) числом, сумма цифр которого в два раза меньше него самого.

9 Ноль – единственное число, которое нельзя написать римскими цифрами.

10 С 1995-го года в Тайбэе, на Тайване, жителям разрешено удалять цифру четыре, так как на китайском языке эта цифра звучит тождественно слову «смерть». Во многих зданиях отсутствует четвертый этаж.

11 Считается, что несчастливым число 13 стало из-за Тайной Вечери, на которой присутствовали 13 человек, включая Иисуса. 13-м был Иуда Искариот.

12 Задумай число. Прибавь к нему следующее по порядку. Добавь к результату 9. Раздели на 2 (считай только целые числа). Вычти теперь задуманное число. Сколько получилось? Пять!

13 Первый шаг: день рождения умножить на 2 (два); Второй шаг: к полученному результату прибавить 5 (пять); Третий шаг: полученное число умножить на 50 (пятьдесят) Четвертый шаг: добавить номер месяца, в котором родился; Пятый шаг: от полученной суммы вычитаем 250 (двести пятьдесят); Результатом должно быть три или четыре цифры. Их значение Ты, наверное, поймешь сам.))

14 1. Попросите друга ввести на калькуляторе первые три цифры его телефона, не называя их вслух. Но код мобильного оператора пропускаем (например, 098 или 095). 2. Теперь пусть он умножит эти цифры на Затем нужно добавить к результату Далее умножить число, которое получится, на К исходному числу нужно добавить 4 последние цифры номера друга. Опять же, их он не должен Тебе называть. 6. И. ну хорошо, пусть он прибавит эти четыре цифры еще раз. 7. Попроси отнять от результата А теперь пусть друг разделит число на 2.

16 Давно известно, что охотятся дельфины при помощи ультразвуковых сигналов. Во время охоты они окружают жертву сетью воздушных пузырьков, но для любого акустического прибора такая завеса сигналов означала бы абсолютную невозможность обнаружения цели. Изучив данный факт, ученые пришли к выводу, что дельфины решают такие задачи при помощи высшей математики. Тимоти Лейтон с коллегами попытались перенести процесс охоты дельфинов: они смоделировали передачу ультразвуковых сигналов, рыбой послужил стальной шарик, а специальный прибор имитировал щелчки дельфинов. Благодаря дельфинам ученые изобрели новый метод обнаружения различных предметов на мелководье.

17 1.Чтобы сделать килограмм меда, пчелка должна облететь 2 млн. цветков. 2.Вес страусиного яйца может достигать 1,5 кг. 3.Змеи могут спать 3 года подряд, ничего не принимая в пищу. 4.Крысы появились на Земле на 48 миллионов лет раньше, чем люди. 5.Дельфины спят с одним открытым глазом.

Источник

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает на­стойчивость и упорство в достижении цели. (А. Маркушевич)

«Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней. (А. Дородницын)

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. (А.Н. Крылов)

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе? (Платон)

Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само госу­дарство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться. (Платон)

Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание, в настоящее время они полу­чили еще больше интереса по влиянию своему на искусство и промышленность. (П.Л. Чебышев)

Математика есть лучшее и даже единственное введение в изу­чение природы. (Д.И. Писарев)

Астрономия (как наука) стала существовать с тех пор, как она соединилась с математикой. (А.И. Герцен)

Полет – это математика. (В. Чкалов)

Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии. (А.С. Пушкин)

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов)

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. (Н.Е. Жуковский)

Химия – правая рука физики, математика – ее глаз. (М.В. Ломоносов)

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. (М.В. Ломоносов)

Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. (Р. Петер) Все, что до этого было в науках: гидравлика, аэрометрия, оп­тика и других темно, сомнительно и недостоверно, математика сделала ясным, верным и очевидным. (М.В. Ломоносов)

Стремящийся к ближайшему изучению химии должен быть сведущ и в математике. (М.В. Ломоносов)

Слеп физик без математики. (М.В. Ломоносов)

Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком. (К. Вейерштрасс)

Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. (Н.И. Лобачевский)

Как бы машина хорошо ни работала, она может решать все требуемые от нее задачи, но она никогда не придумает ни од­ной. (А. Эйнштейн)

Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. (Л. Эйлер)

Цифры (числа) не управляют миром, но они показывают, как управляется мир. (И. Гете)

Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики». (Ж. Фурье)

. Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение. (В.Ф. Каган)

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. (Д.Пойа)

Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом. (А. Франц)

Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. (Б. Паскаль)

Источник