Круг что это в математике

Что такое круг: определение, свойства, формулы

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства одной из основных геометрических фигур – круга. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его радиус, диаметр, периметр и площадь (полную и сектора).

Определение круга

Круг – это множество точек на плоскости, ограниченных окружностью (т.е. лежащих внутри окружности). На рисунке ниже всё, что закрашено бирюзовым цветом, является кругом.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Сектор круга – область внутри круга, которая образована двумя радиусами и дугой между ними.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Сегмент круга – область, образованная в результате деления круга хордой, которая в свою очередь является частью секущей (прямой), пересекающей круг.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Свойства круга

Свойство 1

Центр круга совпадает с центром ограничивающей его окружности. Чаще всего, обозначается буквой O.

Свойство 2

Радиус круга (R) является, в т.ч., радиусом граничной окружности. Это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой, лежащей на его границе, т.е. на окружности.

Хорда, проходящая через центр круга называется его диаметром (d).

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Свойство 3

Периметр круга равняется длине ограничивающей его окружности.

Свойство 4

Круг по сравнению с другими фигурами имеет наибольшую площадь при заданном периметре.

Источник

Всё про окружность и круг

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Источник

Окружность

Приступаем к изучению окружности и круга. Вспомним замкнутые и незамкнутые линии. Познакомимся с центром окружности, радиусом и диаметром и научимся определять радиус при известном диаметре и диаметр при известном радиусе.

Окружность и овал

Для начала рассмотрим рисунок и найдём окружность:

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Теперь рассмотрим сходства и различия этих геометрических фигур:

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

РазличияВ овале отрезки от точки O до крайней линии разные, а в окружности – все отрезки одинаковые.

Правило:

Окружность – это замкнутая кривая линия с точкой О в середине, которая называется центром.

Расстояния от центра до линии окружности одинаковые.

Начертить окружность можно при помощи циркуля:

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

А овал рисуют от руки:

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Окружность и круг

Если заполнить пространство внутри окружности, то получим круг.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Диаметр и радиус

Если соединить центр окружности с линией окружности, получим радиус, например, OC, OA и OD.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Радиус – длина отрезка, соединяющего центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности. Радиус составляет половину диаметра.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Если отрезок проходит через центр и соединяет две точки на окружности – это диаметр.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Диаметр – это длина отрезка, проходящего через центр окружности и соединяющего две точки на этой окружности.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Источник

Окружность и круг

теория по математике 📈 планиметрия

Определения

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра окружности). Другими словами – это замкнутая линия, длину которой можно измерить.

На рисунке центр окружности обозначен точкой О. Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математикеОпределения

Радиус – расстояние от центра до любой точки окружности. На рисунке радиус обозначен АО. Все радиусы одной окружности равны. Радиус можно обозначать латинскими буквами R или r.

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. На рисунке диаметр обозначен АВ. Все диаметры одной окружности равны. В одном диаметре содержится два радиуса. Диаметр обозначается буквой d.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Свойство хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Так, на рисунке показаны две пересекающиеся хорды, одна состоит из отрезков a и b, вторая из отрезков d и с, следовательно, ab=dс.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Длина окружности

Длину окружности можно вычислить по формуле:

C=2πR, где π=3,14.

Дуга – часть окружности, которая соединяет две точки. На рисунке мы видим несколько дуг, например, дуги CD (малая и большая). Дуга АВ – называется полуокружностью, так как стягивает концы диаметра. Обозначается дуга значком ∪АВ.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент

Из точки, не лежащей на окружности можно провести касательную – прямую, которая имеет с окружностью только одну общую точку (рисунок 4).

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Свойства касательной

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

На рисунке видно, что АХ=ВХ, угол АХО равен углу ВХО.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Угол АВС (образован касательной АВ и хордой ВС) равен половине дуги m.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Другими словами, круг – это всё, что находится внутри окружности.

Площадь круга вычисляется по формуле:

Сектор и его площадь

Сектор – область круга, ограниченная двумя радиусами. На рисунке сектор выделен сиреневым цветом, он ограничен радиусами ОА и ОВ.

Круг что это в математике. Смотреть фото Круг что это в математике. Смотреть картинку Круг что это в математике. Картинка про Круг что это в математике. Фото Круг что это в математике

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

Сегмент – это область круга, ограниченная хордой и дугой. На рисунке сегмент выделен сиреневым цветом. Также можно сказать, что это часть круга, отсекаемая от него хордой. На рисунке видно, как

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *