Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение простых линейных уравнений

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.

Пример 5. Решить: Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..

Источник

Решение линейных уравнений с одной переменной

В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.

Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.

Что такое линейное уравнение

Такая формулировка использована в учебнике алгебры ( 7 класс) Ю.Н.Макарычева.

Примерами линейных уравнений будут:

3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );

В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.

А вот учебник алгебры ( 7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:

Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:

Принцип решения линейных уравнений

Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.

Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:

Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:

Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.

Примеры решения линейных уравнений

Решение

Ответ: x – любое число.

Источник

Уравнения с одной переменной

Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Содержание:

Определение уравнения. Корни уравнения

Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1.

Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.

Пример 2.

Пример 3.

Уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоене имеет действительных корней.

Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеимеет два мнимых корня: Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое(см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.

Равносильность уравнений

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— ни одно из них не имеет корней.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1.

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеравносильно уравнению Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Теорема 2.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеравносильно уравнению Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое(обе части первого уравнения мы умножили на 3).

Линейные уравнения

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

где Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— действительные числа; Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеназывают коэффициентом при переменной, Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоесвободным членом.

Для линейного уравнения Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоемогут представиться три случая:

1) Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое; в этом случае корень уравнения равен Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое;

2) Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое; в этом случае уравнение принимает вид Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;

3) Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое; в этом случае уравнение принимает вид Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Пример 1.

Решить уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Итак, Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— корень уравнения.

Пример 2.

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Квадратные уравнения

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

где Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— действительные числа, причем Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, называют квадратным уравнением. Если Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, то квадратное уравнение называют приведенным, если Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, то неприведенным. Коэффициенты Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеимеют следующие названия: Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоепервый коэффициент, Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоевторой коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоенаходят по формуле

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Выражение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеназывают дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, можно переписать формулу (2) в виде Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеЕсли Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, то формулу (2) можно упростить:

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Формула (3) особенно удобна, если Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— целое число, т. е. коэффициент Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— четное число.

Пример 1.

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Здесь Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Имеем:

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Так как Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Итак, Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Здесь Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеПо формуле (3) находим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоет. е. х = 3 — единственный корень уравнения.

Пример 3.

Решить уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Рациональные уравнения

Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.

Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример:

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители

Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, где Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— многочлены более низкой степени, чем Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Если Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— корень уравнения Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеа потому хотя бы одно из чисел Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеравно нулю.

Значит, Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— корень хотя бы одного из уравнений

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Верно и обратное: если Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— корень хотя бы одного из уравнений Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоето Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— корень уравнения Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоет. е. уравнения р (х) = 0.

Итак, если Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, где Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеВсе найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.

Пример 1.

Решить уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеЛинейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеоткуда Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоено среди выражений Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеесть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоемогут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.

Пример 2.

Решить уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Имеем Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое; значит, либо Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, либо Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое.Из уравнения Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоенаходим х = 0, из уравнения Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоенаходим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое.

Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.

Решение уравнений методом введения новой переменной

Суть этого метода поясним на примерах.

Пример 1.

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Положив Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, получим уравнение

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

откуда находим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Из второго квадратного уравнения находим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеЛинейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Это корни заданного уравнения.

Пример 2.

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Положим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, тогда

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

и уравнение примет вид

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решив это уравнение (см. п. 145), получим

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Но Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Значит, нам остается решить совокупность уравнений

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Из первого уравнения находим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое; из второго уравнения получаем Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеТем самым найдены четыре корня заданного уравнения.

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называют уравнение вида

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, придем к квадратному уравнению Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Пример:

Решить уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое.

Решение:

Положив Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, получим квадратное уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, откуда находим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеЛинейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеПервое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеЭто — корни заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью составления уравнений

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).

3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Задача 1.

Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?

Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоет груза, а на самом деле грузили Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоет груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Задача 2.

Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Решение:

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Задача 3.

Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение:

Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решив это уравнение, найдем Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.

Задача 4.

Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение:

Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеСогласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеТак как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

решив которое, найдем х = 10.

Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.

Задача 5.

Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение:

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решив это уравнение, найдем два корня: Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеи Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.

Задача 6.

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение:

Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.

Задача 7.

Решение:

Иррациональные уравнения

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеЛинейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:

1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) метод введения новых переменных (см. п. 147).

Метод возведения обеих частей уравнения в одну

и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

в) учитывая, что Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, получают уравнение

г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример 1.

Решить уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Проверка:

Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, т. е. 2 = 2 — верное равенство.

Ответ: 67.

Пример 2.

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Преобразуем уравнение к виду

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

и возведем обе части его в квадрат. Получим

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

откуда Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Проверка:

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— верное равенство.

Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.

2) При х = 197 имеем Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеТаким образом, х = 197 — посторонний корень.

Ответ: 5.

Пример 3.

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Применим метод введения новой переменной.

Положим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеи мы получаем уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, откуда находим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоене имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ: 34.

Показательные уравнения

Показательное уравнение вида

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

где Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеравносильно уравнению f(х) = g(x).

Имеются два основных метода решения показательных уравнений:

1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеа затем к виду f(х) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решить уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеоткуда находим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеРешив это квадратное уравнение, получим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Пример 2.

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Пример 3.

Решить уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Применим метод введения новой переменной. Так как Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое,то данное уравнение можно переписать в виде

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Введем новую переменную, положив Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеПолучим квадратное уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоес корнями Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеТеперь задача сводится к решению совокупности уравнений Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоепри любых значениях х.

Ответ: 2.

Логарифмические уравнения

Чтобы решить логарифмическое уравнение вида

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

где Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоенужно:

1) решить уравнение f(x) = g(x);

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:

1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоезатем к виду f(x) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Пример 2.

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Из последнего уравнения находим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Пример 3.

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Так как Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоезаданное уравнение можно переписать следующим образом:

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Введем новую переменную, положив Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеПолучим

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Но Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое; из уравнения Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоенаходим х = 4.

Ответ: 4.

Примеры решения показательно-логарифмических уравнений

Пример 1.

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Решение:

Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

равносильное уравнению (1). Далее имеем Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеЛинейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Полагая Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеполучим уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеЛинейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, откуда Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеОстается решить совокупность уравнений Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеИз этой совокупности получим Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое— корни уравнения (1).

Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Пример 2.

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое(2)

Решение:

Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Полагая Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, получим уравнение Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоекорнями которого являются Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

если Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, то D = 0 и мы получаем Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, т. е. (поскольку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое) Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое.

Итак, если Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоето действительных корней нет; если Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое= 1, то Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое; если Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое,то Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое; если Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеи Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, то

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Пример 3.

При каких значениях параметра Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеуравнение

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

имеет два различных отрицательных корня?

Решение:

Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеего дискриминант должен быть положительным. Имеем

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Значит, должно выполняться неравенство Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеЛинейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

По теореме Виета для заданного уравнения имеем

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Так как, по условию, Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, то Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеи Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое; из второго Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое; из третьего Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое, либо Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такоеЛинейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Смотреть картинку Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Картинка про Линейное уравнение с одной переменной что это такое. Фото Линейное уравнение с одной переменной что это такое

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *