Линейное уравнение с одной переменной что это
Решение линейных уравнений с одной переменной
В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.
Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.
Что такое линейное уравнение
Такая формулировка использована в учебнике алгебры ( 7 класс) Ю.Н.Макарычева.
Примерами линейных уравнений будут:
3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );
В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.
А вот учебник алгебры ( 7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:
Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:
Принцип решения линейных уравнений
Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.
Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:
Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:
Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.
Примеры решения линейных уравнений
Решение
Ответ: x – любое число.
Решение простых линейных уравнений
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие уравнения
Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа. Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством. Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной. Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз: Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем. Как решать простые уравненияЧтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила. 1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный. Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5 Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть. Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный. Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2. Решим еще один пример: 6x = 5x + 10. Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус. Приведем подобные и завершим решение. 2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок. Применим правило при решении примера: 4x=8. При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение. Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица. Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит: Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения: Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12 Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах. Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные. Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки. Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе. А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе. Примеры линейных уравненийТеперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе! Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19. Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1. 5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1 Ответ: х — любое число. Пример 3. Решить: 4х = 1/8. Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х. Пример 5. Решить: Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4. 5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1 Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х.. Уравнения с одной переменнойУравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Содержание: Определение уравнения. Корни уравненияРавенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения. Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет. Пример 1.Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным. Пример 2.Пример 3.Уравнение Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение Равносильность уравненийУравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней. Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение. Теорема 1. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. Например, уравнение Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Например, уравнение Линейные уравненияЛинейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида где Для линейного уравнения 1) 2) 3) Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным. Пример 1.Решить уравнение Решение: По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению Пример 2.Решение: Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим Квадратные уравнениягде Выражение В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня. Используя обозначение Формула (3) особенно удобна, если Пример 1.Решение: Здесь Так как Итак, Пример 2.Решить уравнение Решение: Здесь Пример 3.Решить уравнение Решение: Рациональные уравненияУравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным. Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения. Чтобы решить рациональное уравнение, нужно: 1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей; 2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель; 3) решить полученное целое уравнение; 4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. Пример:Решение: Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множителиСуть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени Значит, Верно и обратное: если Итак, если Пример 1.Решить уравнение Решение: Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть Пример 2.Решить уравнение Решение: Имеем Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0. Решение уравнений методом введения новой переменнойСуть этого метода поясним на примерах. Пример 1.Решение: Положив откуда находим Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен. Из второго квадратного уравнения находим Пример 2.Решение: Положим и уравнение примет вид Решив это уравнение (см. п. 145), получим Но Из первого уравнения находим Биквадратные уравненияБиквадратным уравнением называют уравнение вида Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив Пример:Решить уравнение Решение: Положив Решение задач с помощью составления уравненийС помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений. 1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин. 2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение). 3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи. 4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи. Задача 1. Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально? Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить Задача 2. Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки. Решение: Задача 3. Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144. Решение: Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем Решив это уравнение, найдем Второй корень не подходит по смыслу задачи. Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24. Задача 4. Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу? Решение: Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна решив которое, найдем х = 10. Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч. Задача 5. Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз? Решение: Решив это уравнение, найдем два корня: Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты. Задача 6. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди? Решение: Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова. Задача 7. Решение: Иррациональные уравненияИррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения Используются два основных метода решения иррациональных уравнений: 1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 2) метод введения новых переменных (см. п. 147). Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем: а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень: в) учитывая, что г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение. Пример 1.Решить уравнение Решение: Проверка: Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим Ответ: 67. Пример 2.Решение: Преобразуем уравнение к виду и возведем обе части его в квадрат. Получим Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат: откуда Проверка: Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения. 2) При х = 197 имеем Ответ: 5. Пример 3.Решение: Применим метод введения новой переменной. Положим Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений Уравнение Ответ: 34. Показательные уравненияПоказательное уравнение вида где Имеются два основных метода решения показательных уравнений: 1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду 2) метод введения новой переменной. Пример 1.Решить уравнение Решение: Данное уравнение равносильно уравнению Пример 2.Решение: Пример 3.Решить уравнение Решение: Применим метод введения новой переменной. Так как Введем новую переменную, положив Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как Ответ: 2. Логарифмические уравненияЧтобы решить логарифмическое уравнение вида где 1) решить уравнение f(x) = g(x); 2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1). Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений: 1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду 2) метод введения новой переменной. Пример 1.Решение: Пример 2.Решение: Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду Из последнего уравнения находим Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств Пример 3.Решение: Так как Введем новую переменную, положив Но Ответ: 4. Примеры решения показательно-логарифмических уравненийПример 1.Решение: Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение равносильное уравнению (1). Далее имеем Полагая Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению Пример 2. Решение: Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду Полагая Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений если Итак, если Пример 3.При каких значениях параметра имеет два различных отрицательных корня? Решение: Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня Значит, должно выполняться неравенство По теореме Виета для заданного уравнения имеем Так как, по условию, В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177): Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»: Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»: Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института. Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
|
---|